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--- planetenpositionen [2024/05/03 15:19] – ↷ Seitename wurde von planetpos auf planetenpositionen geändert hcgreier
+++ planetenpositionen [2025/07/20 15:49] (aktuell) – [Fourierreihe] hcgreier
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 Die Störungsterme der **DE200** [[:literaturhinweise#books_mont1|O. Montenbruck & T. Pfleger]] und der **VSOP87** [[:literaturhinweise#books_meeus|J. Meeus]] begegnen dem Astronomen in zweierlei Form: In der Sinus-Cosinus Darstellung und bzw. in der Amplituden-Phasen Form. Beide lassen sich leicht in der jeweiligen mathematischen Darstellung präsentieren. Die DE200 und die VSOP87 können nicht ineinander überführt werden, weil die DE200 auf der klassischen Planetentheorie aus dem JPL (Jet Propulsion Laboratory) aufbaut, während die VSOP87 auf der allgemeinen Theorie in der komplexen Ebene aus dem IMCCE (//Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides//) beruht.
-Die allgemeine Planetentheorie VSOP87 ist analytischer Natur und bei den inneren Planeten handlicher als die klassische Theorie, während die klassische Planetentheorie DE200 auf numerischer Basis beruht und bei den äußeren Planeten aufgrund der höheren Genauigkeit eine bessere Anwendung findet. Sowohl Meeus als auch Montenbruck/Pfleger haben diese Fourierreihen jeweils unabhängig voneinander durch die Methode der kleinsten Quadrate berechnet. Sowohl die VSOP87 als auch die DE200 sind inzwischen veraltet, liefern aber im Hobbyastronomenbereich immer noch gute Ergebnisse. Aktuellle Planetentheorien sind die DE431 und die INPOP21.
+Die allgemeine Planetentheorie VSOP87 ist analytischer Natur und bei den inneren Planeten handlicher als die klassische Theorie, während die klassische Planetentheorie DE200 auf numerischer Basis beruht und bei den äußeren Planeten aufgrund der höheren Genauigkeit eine bessere Anwendung findet. Sowohl Meeus als auch Montenbruck/Pfleger haben diese Fourierreihen jeweils unabhängig voneinander durch die Methode der kleinsten Quadrate berechnet. Sowohl die VSOP87 als auch die DE200 sind inzwischen veraltet, liefern aber im Hobbyastronomenbereich immer noch gute Ergebnisse. Aktuellle Planetentheorien sind die DE441 und die INPOP21.
 ==== Amplituden-Phasen Darstellung (Meeus) ====
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 Die Amplituden-Phasen Darstellung heißt auch Spektraldarstellung. Sie hat die Form:
-$$\sum_k c_k\cdot \cos(\omega_k\cdot t - \varphi_k)$$
+$$\sum_k c_k\cdot \cos(\omega_k\cdot t - \varphi_k)\tag{1}$$
 $c_k$ ist die Amplitude, $\varphi_k$ ist die Phase und $\omega_k\cdot t$ ist die Periode innerhalb des $k$-ten Terms. Die Periode tritt in der Form einer Linearkombination (Harmonien genannt) von Indizes $i,j,k,\dots$ und mittleren Anomalien $H_n = M$ (DE200) oder mittleren Längen $H_n = L$ (VSOP87) auf:
-$$i\cdot H_1 + j\cdot  H_2 + k\cdot  H_3 + ...$$
+$$i\cdot H_1 + j\cdot  H_2 + k\cdot  H_3 + ...\tag{2}$$
 Diese Harmonien werden durch eine Fourieranalyse bestimmt. Mit Hilfe der [[:mathematische_grundlagen#additionstheoreme|Additionstheoreme]] lassen sie sich leicht in die Sin-Cos Darstellung überführen:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="560px"&float=center}}
+$$\cos(\omega_k\cdot t - \varphi_k) = \cos(\omega_k\cdot t)\cdot \cos(\varphi_k) + \sin(\omega_k\cdot t)\cdot \sin(\varphi_k)\tag{3}$$
-| $$\cos(\omega_k\cdot t - \varphi_k) = \cos(\omega_k\cdot t)\cdot \cos(\varphi_k) + \sin(\omega_k\cdot t)\cdot \sin(\varphi_k)$$  |
 Daraus folgt für die Amplituden mit
-$$a_k = c_k\cdot \cos(\varphi_k) \quad\text{und}\quad b_k = c_k\cdot \sin(\varphi_k)$$
+$$a_k = c_k\cdot \cos(\varphi_k) \quad\text{und}\quad b_k = c_k\cdot \sin(\varphi_k)\tag{4}$$
 die Sin-Cos Form.
 ==== Sin-Cos Darstellung (Montenbruck/Pfleger) ====
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
-| $$\sum_k c_k\cdot \cos(\omega_k\cdot t - \varphi_k) = \sum_k a_k\cdot \cos(\omega_k\cdot t) + \sum_k b_k\cdot \sin(\omega_k\cdot t)$$  |
+$$\sum_k c_k\cdot \cos(\omega_k\cdot t - \varphi_k) = \sum_k a_k\cdot \cos(\omega_k\cdot t) + \sum_k b_k\cdot \sin(\omega_k\cdot t)\tag{5}$$
 Jetzt geht es an die Umkehrung. Sind $a_k$ und $b_k$ bekannt, so erhält man $c_k$ ganz einfach mit dem Pythagoras:
-$$c_k = \sqrt{a_k^2+ b_k^2}$$
+$$c_k = \sqrt{a_k^2+ b_k^2}\tag{6}$$
 Und der Phasenwinkel $\varphi_k$ ermittelt man mit:
-$$\varphi_k = \operatorname{arctan2}\left(\frac{b_k}{a_k}\right)$$
+$$\varphi_k = \operatorname{arctan2}\left(\frac{b_k}{a_k}\right)\tag{7}$$
 Es ist auf eine [[:der richtige quadrant|quandrantentreue]] Darstellung zu achten.
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 $B_1$, $B_2$, ... dienen zur Berechnung der heliozentrischen Breite $b$ und schließlich benötigt man die Reihen $R_0$, $R_1$, $R_2$, ... zum Berechnen des Radiusvektors $r$. Der Aufbau der Terme in einer Fourierreihe mit $\tau = \frac{T}{10}$ ist folgenderweise:
-$$D_k = \sum_n A_n\cdot \cos(B_n + C_n\cdot \tau) \qquad \tau = \frac{T}{10}$$
+$$D_k = \sum_n A_n\cdot \cos(B_n + C_n\cdot \tau) \qquad \tau = \frac{T}{10}\tag{8}$$
 Die Größen $B_n$ und $C_n$ sind in Bogenmaß angegeben und die Koeffizienten $A_n$ sind in Einheiten von 10$^{-8}$ rad bei Länge und Breite und in Einheiten von 10$^{-8}$ [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|AE]] beim Radius gegeben. Die Reihenentwicklungen $D_k$ setzen sich noch zusätzlich zusammen zu
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="670px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} D &= \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot 10^{-8}\cdot \big( D_0 + D_1\cdot\tau + D_2\cdot\tau^2 + D_3\cdot\tau^3 + D_4\cdot\tau^4 + D_5\cdot\tau^5 \big)\\   &= \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot 10^{-8}\cdot \sum_{k=0}^5 D_k\cdot\tau^k \end{align}\]  |
+D &= \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot 10^{-8}\cdot \big( D_0 + D_1\cdot\tau + D_2\cdot\tau^2 + D_3\cdot\tau^3 + D_4\cdot\tau^4 + D_5\cdot\tau^5 \big)\\
+&= \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot 10^{-8}\cdot \sum_{k=0}^5 D_k\cdot\tau^k \end{align}\tag{9}\]
 wobei $D_k$ und $D$ stellvertretend für $L_k$ und $l$ bzw. $B_k$ und $b$, sowie für $R_k$ und $r$ stehen. Die Amplituden, Phasen und Perioden erhält man aus den [[tabellen_vsop87_de200|Tabellen]]. Man bekommt rasch die heliozentrischen Koordinaten der Planeten. Die Vorgehensweise bei der DE200 ist aufwendiger und komplexer, dafür hat man aber kleinere Tabellen.
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 Aus Gründen der Nachvollziehbarkeit der einzelnen Rechenschritte werden nachfolgend **alle Kommastellen** stehen gelassen. Bei einer praktischen Berechnung sollten die Werte natürlich vernünftig gerundet werden!
 </WRAP>
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 $\tau = \frac{T}{10} = 0.\color{#ed1c24}{0}23286364267244272$
-Sieht man in die [[:#|VSOP-Tabellen für Mars]], erkennt man folgende Termanzahl
+Sieht man in die [[tabellen:mars_vsop87|VSOP-Tabellen für Mars]], erkennt man folgende Termanzahl
   * $L_0, L_1, L_2, L_3, L_4, L_5$: 160 Terme
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 \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
-{{L_k}}\\
+{{L_k}}\\{{B_k}}\\{{R_k}}
-{{B_k}}\\
-{{R_k}}
 \end{array}} \right\} = \sum\limits_{n=1}^{N} {{A_n} \cdot \cos \left( {{B_n} + {C_n} \cdot \tau } \right)} \)
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 <WRAP center round info 100%>
-Man beachte, dass in der VSOP87 die Argumente der Cosinusfunktion bereits in **Radiant** gegeben sind, es ist keine Umrechnung mehr erforderlich!
+Man beachte, dass in der VSOP87 die Argumente der Cosinusfunktion bereits im **Bogenmaß** gegeben sind, es ist **keine Umrechnung** mehr erforderlich!
 </WRAP>
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 | $L_4 = -112.51382654008763$  |  8 Terme         |
 | $L_5 = -1.8253893030598152$  |  2 Terme         |
+| | |
 | $B_0 = 3223542.8031612244$   |  16 Terme        |
 | $B_1 = 11284.078539209313$   |  9 Terme         |
@@ Zeile 135: / Zeile 133: @@
 | $B_4 = 23.536915616272903$   |  3 Terme         |
 | $B_5 = 0$                    |  0 Terme         |
+| | |
 | $R_0 = 165598729.85506132$   |  45 Terme        |
 | $R_1 = -242854.4318958305$   |  27 Terme        |
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 | $R_5 = 0$                    |  0 Terme         |
-Nicht alle Planeten haben in der gekürzten Version der VSOP87 Werte für alle Größen $L_k,B_k,R_k$, so hat z.B. Mars keine Tabellenwerte für $B_5$ bzw. $R_5$, weswegen diese Wert $0$ sind.
+Nicht alle Planeten haben in der gekürzten Version der VSOP87 Werte für alle Größen $L_k,B_k,R_k$, so hat z.B. Mars keine Tabellenwerte für $B_5$ bzw. $R_5$, weswegen diese Werte $0$ sind.
 Die Koeffizienten $A_n$ für die Länge und Breite sind in Einheiten von $10^{-8}$ Radiant gegeben, und der Koeffizient für den Radiusvektor in Einheiten von $10^{-8}\;\textrm{AE}$. Die heliozentrischen Koordinaten des Planeten sind nun gegeben durch die Polynome
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 \end{align}\)
-Die Umwrechnung in Grad und Reduktion auf das Intervall [0-360°] mithilfe der [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]] ergibt
+Die Umrechnung in Grad und Reduktion auf das Intervall [0-360°] mithilfe der [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]] ergibt
 \(\begin{align}
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 $R = 1.6559305473697807\;\textrm{AE}$
 {{anchor:ergebnis_bsp1}}
-^ Mars am 15.4.2023, 22:15 MESZ (heliozentrisch, geometrisch)                 |||
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}}
-| $l =$ | $136\overset{\circ}{.}719994$ | $= +136^{\circ}43'12\overset{''}{.}0$ |
+^ Mars am 15.4.2023, 22:15 MESZ (heliozentrisch, geometrisch)                                                                          ||^ SOLEX v12.1 (DE431)             ^ Fehler                 ^
-| $b =$ | $1\overset{\circ}{.}847098$   | $= +01^{\circ}50'49\overset{''}{.}6$  |
+| $l =$                                                        | $136\overset{\circ}{.}719994$  | $= +136^{\circ}43'12\overset{''}{.}0$  | $136\overset{\circ}{.}7203941$  | $1\overset{''}{.}44$   |
-| $r =$ | $1.655931\;\textsf{AE}$       | $= 247723684\;\textsf{km}$            |
+| $b =$                                                        | $1\overset{\circ}{.}847098$    | $= +01^{\circ}50'49\overset{''}{.}6$   | $1\overset{\circ}{.}8471338$    | $0\overset{''}{.}13$   |
+| $r =$                                                        | $1.655931\;\textsf{AE}$        | $= 247723684\;\textsf{km}$             | $1.65593234\;\textsf{AE}$       | $200.5\;\textsf{km}$  |
 Man vergleiche die Werte mit jenen aus der DE200 [[#ergebnis_bsp2|weiter unten]].
 </WRAP>
 ==== DE200 ====
-Man berechnet die [[:julianischer_tag_jd|julianischen Jahrhunderte $T$]] bezüglich der Epoche $J2000.0$. Die Tabellen der Planeten teilen sie pro Planet in drei Teile auf: Die Keplerterme, ein störender Planet und zwei störende Planeten.
+Man berechnet die [[:julianischer_tag_jd|julianischen Jahrhunderte $T$]] bezüglich der Epoche $J2000.0$. Die Tabellen der Planeten teilen sich pro Planet in drei Teile auf: Die Keplerterme, ein störender Planet und zwei störende Planeten.
-Die Keplerterme: Der erste Term steht für ein Vielfaches ($p_n$) der mittleren Anomalie des betrachteten Planeten. Der zweite Term ist ein Vielfaches ($s_n$) der mittleren Anomalie des störenden Planeten. Für die Keplerterme gibt es keinen dritten Term. $t$ ist der Exponent für die Zeit $T$. $s_n$ ist bei den Keplertermen immer gleich Null.
+Die Keplerterme: Der erste Term steht für ein Vielfaches ($p_n$) der mittleren Anomalie des betrachteten Planeten. Der zweite Term ist ein Vielfaches ($s_n$) der mittleren Anomalie des störenden Planeten. Für die Keplerterme gibt es keinen dritten Term. $t_n$ ist der Exponent für die Zeit $T$. $s_n$ ist bei den Keplertermen immer gleich Null.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="690px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} dl &= \sum_n T^{t_n}\cdot (a_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s) + b_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s)) \\ db &= \sum_n T^{t_n}\cdot (c_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s) + d_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s)) \\ dr &= \sum_n T^{t_n}\cdot (e_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s) + f_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s)) \end{align}\] |
+dl &= \sum_n T^{t_n}\cdot (a_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s) + b_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s)) \\
+db &= \sum_n T^{t_n}\cdot (c_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s) + d_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s)) \\
+dr &= \sum_n T^{t_n}\cdot (e_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s) + f_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s))
+\end{align}\tag{10}\]
 Werden Störungen durch einen Planet berechnet, so gelten für Merkur bis Mars die Relationen mit $t_n = 0$:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="780px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} dl &= \sum_n a_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + b_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \\ db &= \sum_n c_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + d_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \\ dr &= \sum_n e_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + f_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \end{align}\] |
+dl &= \sum_n a_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + b_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \\
+db &= \sum_n c_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + d_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \\
+dr &= \sum_n e_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + f_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \end{align}\tag{11}\]
 Im Falle von Jupiter bis Neptun wird der Index $t_n$ wieder aktiv. Es gilt dann mit $s_n \neq 0$:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="850px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} dl &= \sum_n T^{t_n}\cdot (a_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + b_n \cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t)) \\ db &= \sum_n T^{t_n}\cdot(c_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + d_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t)) \\ dr &= \sum_n T^{t_n}\cdot(e_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + f_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t)) \end{align}\] |
+dl &= \sum_n T^{t_n}\cdot (a_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + b_n \cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t)) \\
+db &= \sum_n T^{t_n}\cdot(c_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + d_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t)) \\
+dr &= \sum_n T^{t_n}\cdot(e_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + f_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t)) \end{align}\tag{12}\]
 In einigen Fällen gibt es Störungen durch **zwei** Planeten gleichzeitig ($T^{t_n}$ entfällt bei diesen Termen). Die Störungsterme sind dann in folgender Weise aufgebaut: Der erste Term steht für ein Vielfaches $q_n$ der mittleren Anomalie des betrachteten Planeten. Die zweiten und dritten Terme stehen für ein Vielfaches $s_n$ und $t_n$ der mittleren Anomalien der beiden störenden Planeten. Ist $t_n$ jedoch Null (zweite Tabelle), so beeinflusst nur ein Planet.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="780px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} dl &= \sum_n a_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + b_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \\ db &= \sum_n c_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + d_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \\ dr &= \sum_n e_n\cdot \cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + f_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \end{align}\] |
+dl &= \sum_n a_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + b_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \\
+db &= \sum_n c_n\cdot\cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + d_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \\
+dr &= \sum_n e_n\cdot \cos(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) + f_n\cdot\sin(p_n\cdot M_p + s_n\cdot M_s + t_n\cdot M_t) \end{align}\tag{13}\]
 Man erhält die korrespondierenden Werte aus den [[:tabellen_vsop87_de200|Tabellen]].
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 \end{align}\)
 {{anchor:ergebnis_bsp2}}
-^ Mars am 15.4.2023, 22:15 MESZ (heliozentrisch, geometrisch)                 |||
+^ Mars am 15.4.2023, 22:15 MESZ (heliozentrisch, geometrisch)                 ^^^ SOLEX v12.1 (DE431) ^ Fehler ^
-| $l =$ | $136\overset{\circ}{.}719866$ | $= +136^{\circ}43'11\overset{''}{.}5$ |
+| $l =$ | $136\overset{\circ}{.}719866$ | $= +136^{\circ}43'11\overset{''}{.}5$ | $136\overset{\circ}{.}7203941$ | $1\overset{''}{.}90$ |
-| $b =$ | $1\overset{\circ}{.}846974$   | $= +01^{\circ}50'49\overset{''}{.}1$  |
+| $b =$ | $1\overset{\circ}{.}846974$   | $= +01^{\circ}50'49\overset{''}{.}1$  | $1\overset{\circ}{.}8471338$ | $0\overset{''}{.}56$ |
-| $r =$ | $1.655938\;\textsf{AE}$       | $= 247724825\;\textsf{km}$            |
+| $r =$ | $1.655938\;\textsf{AE}$       | $= 247724825\;\textsf{km}$            | $1.65593234\;\textsf{AE}$ | $-846.7\;\textsf{km} $ |
 Man vergleiche die Werte mit jenen aus der VSOP87 [[#ergebnis_bsp1|weiter oben]].
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 === Störungstheorien  I ===
-Wenn die obigen Berechnungsvorgänge zu aufwendig sind, kann man abgekürzte Störungsrechnungen mit geringerer aber dennoch ausreichender Genauigkeit durchführen. Dies gilt für die äußeren Planeten von Jupiter bis Neptun. Für die inneren Planeten Merkur bis Mars sind die Störterme zu klein als dass sie signifikante Resultate in der Korrektur erzielen. Berücksichtigt werden hier die größten Störungsterme von Jupiter bis Neptun in der heliozentrischen Länge $l$. In der DE200 ist das Term Nr. 25 für Jupiter und Term Nr. 29 für Saturn. In der VSOP87 sind das die Terme Nr. 3 für jeweils Jupiter und Saturn. In der DE200 ist das Term Nr. 21 für Uranus und Term Nr. 10 für Neptun. In der VSOP87 sind das die Terme Nr. 3 für jeweils Uranus und Neptun.
+Wenn die obigen Berechnungsvorgänge zu aufwendig sind, kann man abgekürzte Störungsrechnungen mit geringerer aber dennoch ausreichender Genauigkeit durchführen. Dies gilt für die äußeren Planeten von Jupiter bis Neptun. Für die inneren Planeten Merkur bis Mars sind die Störterme zu klein als dass sie signifikante Resultate in der Korrektur erzielen. Berücksichtigt werden hier die größten Störungsterme von Jupiter bis Neptun in der heliozentrischen Länge $l$.
-$$d = JDE - 2451545$$
+  * In der DE200 ist das Term Nr. 25 für Jupiter und Term Nr. 29 für Saturn.
+  * In der VSOP87 sind das die Terme Nr. 3 für jeweils Jupiter und Saturn.
+  * In der DE200 ist das Term Nr. 21 für Uranus und Term Nr. 10 für Neptun.
+  * In der VSOP87 sind das die Terme Nr. 3 für jeweils Uranus und Neptun.
+$$d = JDE - 2451545\tag{14}$$
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="125px,340px,370px"&float=center}}
-^                ^ DE200                                                                    ^ VSOP87                                                                       ^
+^  Tabelle 1  |||
-| Hilfsterm:     | $V^∗ = 172\overset{\circ}{.}74820 + 0\overset{\circ}{.}00111624\cdot d$  | $V = 172\overset{\circ}{.}74786 + 0\overset{\circ}{.}00111588\cdot d$        |
+^  ^  DE200  ^  VSOP87  ^
-| Jupiter:       | $\Delta l_5 = +0\overset{\circ}{.}32865\cdot\sin(V^∗)$                       | $\Delta l_5 = +0\overset{\circ}{.}32865\cdot\sin(V−0.00920^{\circ})$             |
+| Hilfsterm:     | $V^∗ = 172\overset{\circ}{.}74820 + 0\overset{\circ}{.}00111624\cdot d$  | $V = 172\overset{\circ}{.}74786 + 0\overset{\circ}{.}00111588\cdot d$  |
-| Saturn:        | $\Delta l_6 = −0\overset{\circ}{.}81025\cdot\sin(V^∗)$                       | $\Delta l_6 = −0\overset{\circ}{.}81025^{\circ}\cdot\sin(V)$                     |
+| Jupiter:       | $\Delta l_5 = +0\overset{\circ}{.}32865\cdot\sin(V^∗)$  | $\Delta l_5 = +0\overset{\circ}{.}32865\cdot\sin(V−0.00920^{\circ})$  |
-| 1. Hilfsterm:  | $V_7 = 49\overset{\circ}{.}72697 + 0\overset{\circ}{.}00999611\cdot d$   | $V = 62\overset{\circ}{.}17717 + 0\overset{\circ}{.}00023287\cdot d$         |
+| Saturn:        | $\Delta l_6 = −0\overset{\circ}{.}81025\cdot\sin(V^∗)$  | $\Delta l_6 = −0\overset{\circ}{.}81025^{\circ}\cdot\sin(V)$  |
-| 2. Hilfsterm:  | $V_8 = 270\overset{\circ}{.}42993 + 0\overset{\circ}{.}07710592\cdot d$  | $-$                                                                          |
+| 1. Hilfsterm:  | $V_7 = 49\overset{\circ}{.}72697 + 0\overset{\circ}{.}00999611\cdot d$  | $V = 62\overset{\circ}{.}17717 + 0\overset{\circ}{.}00023287\cdot d$  |
-| Uranus:        | $\Delta l_7 = +0\overset{\circ}{.}03972\cdot\sin(V_7)$                       | $\Delta l_7 = +0\overset{\circ}{.}86187\cdot \sin(V)$                             |
+| 2. Hilfsterm:  | $V_8 = 270\overset{\circ}{.}42993 + 0\overset{\circ}{.}07710592\cdot d$  | $-$  |
-| Neptun:        | $\Delta l_8 = +0\overset{\circ}{.}00949\cdot\sin(V_8)$                       | $\Delta l_8 = +0\overset{\circ}{.}58426\cdot \sin(V − 0\overset{\circ}{.}01199)$  |
+| Uranus:        | $\Delta l_7 = +0\overset{\circ}{.}03972\cdot\sin(V_7)$  | $\Delta l_7 = +0\overset{\circ}{.}86187\cdot \sin(V)$  |
+| Neptun:        | $\Delta l_8 = +0\overset{\circ}{.}00949\cdot\sin(V_8)$  | $\Delta l_8 = +0\overset{\circ}{.}58426\cdot \sin(V − 0\overset{\circ}{.}01199)$  |
 Man braucht $\Delta l_k$ nur zur mittleren Anomalie oder Länge zu addieren.
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="110px,520px"&float=center}}
+^  Tabelle 2  |||
 | **DE200:**   | \(\begin{align} \Delta b_6 =& −0\overset{\circ}{.}01962\cdot\cos(2\cdot M_5 − 4\cdot M_6 − 3\overset{\circ}{.}50341)\\ &+ 0\overset{\circ}{.}01775\cdot\cos(2\cdot M_5 − 6\cdot M_6 − 6\overset{\circ}{.}97510) \end{align}\)                             |
 | **VSOP87:**  | \(\begin{align} \Delta b_6 =& −0\overset{\circ}{.}01955\cdot\cos(32\overset{\circ}{.}82876 + 0\overset{\circ}{.}032343769\cdot d)\\ &+ 0\overset{\circ}{.}01768\cdot\cos(199\overset{\circ}{.}64256 + 0\overset{\circ}{.}034575535\cdot d) \end{align}\)  |
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 veröffentlichte E.M. Standish Störungsterme, die zur Berechnung von $M$ für Jupiter bis Pluto, (Gültigkeit 3000 v.Chr. bis 3000 n.Chr.), wie oben beschrieben, hinzugefügt werden müssen.
-$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}$$
+$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}\tag{15}$$
+$$M = L - \varpi +b\cdot T^2 + c\cdot\cos(f\cdot T) + s\cdot\sin(f\cdot T)\tag{16}$$
-$$M = L - \varpi +b\cdot T^2 + c\cdot\cos(f\cdot T) + s\cdot\sin(f\cdot T)$$
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,170px,170px,170px,170px"&float=center}}
-^           ^  $b\;\big[\frac{\circ}{Jht^2}\big]$  ^  $c\;[^{\circ}]$  ^  $s\;[^{\circ}]$  ^  $f\;\big[\frac{\circ}{Jht^2}\big]$  ^
+^  Tabelle 3  |||||
-| Jupiter:  |  $-0.00012452$                       |  $ 0.06064060$    |  $-0.35635438$    |  $38.35125000$                       |
+^  ^  $b\;\big[\frac{\circ}{Jht^2}\big]$  ^  $c\;[^{\circ}]$  ^  $s\;[^{\circ}]$  ^  $f\;\big[\frac{\circ}{Jht^2}\big]$  ^
-| Saturn:   |  $ 0.00025899$                       |  $-0.13434469$    |  $ 0.87320147$    |  $38.35125000$                       |
+| Jupiter:  |  $-0.00012452$  |  $ 0.06064060$  |  $-0.35635438$  |  $38.35125000$  |
-| Uranus:   |  $ 0.00058331$                       |  $-0.97731848$    |  $ 0.17689245$    |  $ 7.67025000$                       |
+| Saturn:   |  $ 0.00025899$  |  $-0.13434469$  |  $ 0.87320147$  |  $38.35125000$  |
-| Neptun:   |  $-0.00041348$                       |  $ 0.68346318$    |  $-0.10162547$    |  $ 7.67025000$                       |
+| Uranus:   |  $ 0.00058331$  |  $-0.97731848$  |  $ 0.17689245$  |  $ 7.67025000$  |
-| Pluto:    |  $-0.01262724$                       |                   |                   |                                      |
+| Neptun:   |  $-0.00041348$  |  $ 0.68346318$  |  $-0.10162547$  |  $ 7.67025000$  |
+| Pluto:    |  $-0.01262724$  |                 |                 |                 |