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--- mondposition_nach_montenbruck [2024/03/01 03:29] – [Die geozentrischen Koordinaten des Mondes] hcgreier
+++ mondposition_nach_montenbruck [2024/12/20 01:38] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 ====== Mondposition nach Montenbruck & Pfleger ======
-Diese Reihenentwicklungen stammen von den Improved Lunar Ephemeris (ILE) die in den 60ern des letzten Jahrhunderts für das Apollo Mondprogramm entwickelt wurden. [[:literaturhinweise#books_mont1|O. Montenbruck & T. Pfleger]] geben diese Summenterme in ihrem Buch >>Astronomie auf dem PC<< wieder.
+Diese Reihenentwicklungen stammen von den Improved Lunar Ephemeris (ILE) die in den 1960ern Jahren für das Apollo Mondprogramm entwickelt wurden. [[:literaturhinweise#books_mont1|O. Montenbruck & T. Pfleger]] geben diese Summenterme in ihrem Buch »//Astronomie auf dem PC//« wieder.
+$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}\tag{1}$$
-$$T = \frac{JDE - 2451545}{36525}$$
 ===== Störungen der mittleren Längen =====
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="800px"&float=center}}
+\(\begin{align}
-| \(\begin{align} m &= 134\overset{\circ}{.}96292 + 477000\overset{\circ}{.}0\cdot T + 198\overset{\circ}{.}86753\cdot T + 33\overset{''}{.}25\cdot T^2/3600'' \\ l &= 218\overset{\circ}{.}31617\ + 480960\overset{\circ}{.}0\cdot T + 307\overset{\circ}{.}88088\cdot T - 4\overset{''}{.}06\cdot T^2/3600''\\ M &= 357\overset{\circ}{.}52543\ + 35640\overset{\circ}{.}0\cdot T + 359\overset{\circ}{.}04944\cdot T - 0\overset{''}{.}58\cdot T^2/3600'' \\ L &= 280\overset{\circ}{.}4659\ + 36000\overset{\circ}{.}0\cdot T + 0\overset{\circ}{.}76953\cdot T + 1\overset{''}{.}09\cdot T^2/3600'' \\ \Omega &= 125\overset{\circ}{.}04334\ - 1800\overset{\circ}{.}0\cdot T - 134\overset{\circ}{.}13785\cdot T + 7\overset{''}{.}5\cdot T^2/3600'' \\ D = l - L &= 297\overset{\circ}{.}85027\ + 444960\overset{\circ}{.}0\cdot T + 307\overset{\circ}{.}11135\cdot T - 5\overset{''}{.}15\cdot T^2/3600'' \\ F = l - \Omega &= 93\overset{\circ}{.}27283\ + 483120\overset{\circ}{.}0\cdot T + 82\overset{\circ}{.}01873\cdot T - 11\overset{''}{.}56\cdot T^2/3600'' \end{align}\)  |
+m &= 134\overset{\circ}{.}96292 + 477198\overset{\circ}{.}86753\cdot T + 33\overset{''}{.}25\cdot T^2/3600''\\
+l &= 218\overset{\circ}{.}31617\ + 481267\overset{\circ}{.}88088\cdot T - 4\overset{''}{.}06\cdot T^2/3600''\\
+M &= 357\overset{\circ}{.}52543\ + 35999\overset{\circ}{.}04944\cdot T - 0\overset{''}{.}58\cdot T^2/3600'' \\
+L &= 280\overset{\circ}{.}4659\ + 36000\overset{\circ}{.}76953\cdot T + 1\overset{''}{.}09\cdot T^2/3600'' \\
+\Omega &= 125\overset{\circ}{.}04334\ - 1934\overset{\circ}{.}13785\cdot T + 7\overset{''}{.}5\cdot T^2/3600'' \\
+D = l - L &= 297\overset{\circ}{.}85027\ + 445267\overset{\circ}{.}11135\cdot T - 5\overset{''}{.}15\cdot T^2/3600'' \\
+F = l - \Omega &= 93\overset{\circ}{.}27283\ + 483202\overset{\circ}{.}01873\cdot T - 11\overset{''}{.}56\cdot T^2/3600''
+\end{align}\tag{2}\)
 Die Bedeutung der mittleren Bahnelemente sind in diesem [[:mondposition_nach_meeus|Abschnitt]] beschrieben. Die oben angegebenen mittleren Längen unterliegen eigenen Störungen, die korrigiert werden müssen. Dazu werden noch weitere Hilfswerte benötigt:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="800px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align} Q_1 &= 71\overset{\circ}{.}399992662 + 20\overset{\circ}{.}199993462\cdot T \\ Q_2 &= 153\overset{\circ}{.}651286737 - 150\overset{\circ}{.}679479663\cdot T \\ Q_3 &= 53\overset{\circ}{.}7933283741 - 1800\overset{\circ}{.}0\cdot T - 135\overset{\circ}{.}0399484259\cdot T + 7\overset{''}{.}434536643\cdot T^2/3600'' \\ Q_4 &= 100\overset{\circ}{.}327834231 + 16\overset{\circ}{.}218247831\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\ Q_5 &= 60\overset{\circ}{.}579116386 - 132\overset{\circ}{.}861235214\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\ Q_6 &= 330\overset{\circ}{.}500001582 + 119\overset{\circ}{.}000001582\cdot T \\ Q_7 &= 236\overset{\circ}{.}321484183 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T - 170\overset{\circ}{.}433620217\cdot T \\ Q_8 &= 222\overset{\circ}{.}721236567 - 282\overset{\circ}{.}549880233\cdot T \\ Q_9 &= 281\overset{\circ}{.}854104885 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T -314\overset{\circ}{.}107509915\cdot T \\ N &= 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3\cdot T \end{align}\]  |
+Q_1 &= 71\overset{\circ}{.}399992662 + 20\overset{\circ}{.}199993462\cdot T \\
+Q_2 &= 153\overset{\circ}{.}651286737 - 150\overset{\circ}{.}679479663\cdot T \\
+Q_3 &= 53\overset{\circ}{.}7933283741 - 1800\overset{\circ}{.}0\cdot T - 135\overset{\circ}{.}0399484259\cdot T + 7\overset{''}{.}434536643\cdot T^2/3600'' \\
+Q_4 &= 100\overset{\circ}{.}327834231 + 16\overset{\circ}{.}218247831\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\
+Q_5 &= 60\overset{\circ}{.}579116386 - 132\overset{\circ}{.}861235214\cdot T + 33\overset{''}{.}023174391\cdot T^2/3600'' \\
+Q_6 &= 330\overset{\circ}{.}500001582 + 119\overset{\circ}{.}000001582\cdot T \\
+Q_7 &= 236\overset{\circ}{.}321484183 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T - 170\overset{\circ}{.}433620217\cdot T \\
+Q_8 &= 222\overset{\circ}{.}721236567 - 282\overset{\circ}{.}549880233\cdot T \\
+Q_9 &= 281\overset{\circ}{.}854104885 - 720\overset{\circ}{.}0\cdot T -314\overset{\circ}{.}107509915\cdot T \\
+N &= 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3\cdot T
+\end{align}\tag{3}\]
 Die korrigierten Mittelwerte werden dann durch Addition bestimmt:
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 D' &= D + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta D_n}{3600''} \ G_n \\
 F' &= F + \sum_{n = 1}^{11} \frac{\Delta F_n}{3600''} \ G_n
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{4}\]
 und die korrespondierenden Koeffizienten aus der Tabelle für die Störungsterme entnommen:
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="50px,100px,100px,100px,120px,100px,120px"&float=center}}
+^  Tabelle 1  |||||||
 ^ n ^ $\Delta l_n['']$ ^ $\Delta m_n['']$ ^ $\Delta M_n['']$ ^ $\Delta F_n['']$ ^ $\Delta D_n['']$ ^ $G_n$ ^
 | $01$ | $+7.261$  | $+9.337$  | $+0.00$  | $-88.699$  | $+7.261$   | $\sin(\Omega)$     |
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 ===== Planetare Störungen =====
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="820px"&float=center}}
+\(\begin{align}
-| \(\begin{align} \text{Störungsterm: } V &= 134\overset{\circ}{.}25 + 38\overset{\circ}{.}5\cdot T \\\\
+\text{Störungsterm: } V &= 134\overset{\circ}{.}25 + 38\overset{\circ}{.}5\cdot T \\\\
 \text{Venus: } M_2 &= 179\overset{\circ}{.}8849972242 + 58320\overset{\circ}{.}0\cdot T + 197\overset{\circ}{.}8158694482\cdot T\\\\
 \text{Erde: } M_3 &= 98\overset{\circ}{.}3716361111 + 35640\overset{\circ}{.}0\cdot T + 359\overset{\circ}{.}3728833347\cdot T\\\\
 \text{Mars: } M_4 &= 353\overset{\circ}{.}3610202404 + 19080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 60\overset{\circ}{.}3113452404\cdot T\\\\
 \text{Jupiter: } M_5 &= 32\overset{\circ}{.}2594777798 + 2880\overset{\circ}{.}0\cdot T + 154\overset{\circ}{.}9071583378\cdot T + 0\overset{\circ}{.}33 \cdot\sin(V) \\\\
-\text{Saturn: } M_6 &= 47\overset{\circ}{.}9866138904 + 1080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 142\overset{\circ}{.}1171055596\cdot T - 0\overset{\circ}{.}83\cdot \sin(V) \end{align}\)  |
+\text{Saturn: } M_6 &= 47\overset{\circ}{.}9866138904 + 1080\overset{\circ}{.}0\cdot T + 142\overset{\circ}{.}1171055596\cdot T - 0\overset{\circ}{.}83\cdot \sin(V)
+\end{align}\tag{5}\)
-Die Summenterme sind:
+Die Summenterme sind: (Man achte auf die Indizes!)
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="800px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
 \Delta\gamma &= -3.33179\cdot 10^{-6}\cdot\cos(\Omega) - 5.3858\cdot 10^{-7}\cdot\cos(\Omega + N) - 6.4043\cdot 10^{-8}\cdot\sin(Q_3) \\
-\Phi_2 &= \sum_{n=1}^{12} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_2 + \varphi) \\
+\Phi_2 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{1}}^{\color{#ff0000}{12}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_2 + \varphi) \\
-\Phi_4 &= \sum_{n=13}^{14} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_4 + \varphi) \\
+\Phi_4 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{13}}^{\color{#ff0000}{14}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_4 + \varphi) \\
-\Phi_5 &= \sum_{n=15}^{26} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_5 + \varphi)
+\Phi_5 &= \sum_{n=\color{#ff0000}{15}}^{\color{#ff0000}{26}} h_n\cdot\sin(p_n\cdot m + q_n\cdot M + r_n\cdot F + s_n D + a_n\cdot M_3 + b_n\cdot M_5 + \varphi)
-\end{align}\] |
+\end{align}\tag{6}\]
-Die Koeffizienten stammen aus der Tabelle:
+++++ Tabelle 2 (zum Aufklappen)|
+Die Koeffizienten stammen aus der folgenden Tabelle:
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="50px,100px,50px,50px,50px,50px,50px,50px,80px"&float=center}}
+^  Tabelle 2  |||||||||
 ^  n     ^  $h_n['']$  ^  $p_n$  ^  $q_n$  ^  $r_n$  ^  $s_n$  ^  $a_n$  ^  $b_n$  ^  $\varphi[^{\circ}]$  ^
-|  $01$  |  $+0.822$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+1$   |  $-1$   |  $0.0  $              |
+|  $01$  |  $+0.822$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+1$   |  $-1$   |  $0.0  $  |
-|  $02$  |  $+0.307$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $-2$   |  $179.8$              |
+|  $02$  |  $+0.307$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $-2$   |  $179.8$  |
-|  $03$  |  $+0.348$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+3$   |  $-2$   |  $272.9$              |
+|  $03$  |  $+0.348$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+3$   |  $-2$   |  $272.9$  |
-|  $04$  |  $+0.176$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+4$   |  $-3$   |  $271.7$              |
+|  $04$  |  $+0.176$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+4$   |  $-3$   |  $271.7$  |
-|  $05$  |  $+0.129$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+1$   |  $180.0$              |
+|  $05$  |  $+0.129$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+1$   |  $180.0$  |
-|  $06$  |  $+0.152$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+1$   |  $-1$   |  $0.0  $              |
+|  $06$  |  $+0.152$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+1$   |  $-1$   |  $0.0  $  |
-|  $07$  |  $+0.127$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+3$   |  $-3$   |  $180.0$              |
+|  $07$  |  $+0.127$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+3$   |  $-3$   |  $180.0$  |
-|  $08$  |  $+0.136$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+2$   |  $-2$   |  $179.5$              |
+|  $08$  |  $+0.136$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+2$   |  $-2$   |  $179.5$  |
-|  $09$  |  $+0.662$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+3$   |  $-3$   |  $180.0$              |
+|  $09$  |  $+0.662$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+3$   |  $-3$   |  $180.0$  |
-|  $10$  |  $+0.137$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $-2$   |  $+2$   |  $0.0  $              |
+|  $10$  |  $+0.137$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $-2$   |  $+2$   |  $0.0  $  |
-|  $11$  |  $+0.133$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+1$   |  $-1$   |  $0.0  $              |
+|  $11$  |  $+0.133$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+1$   |  $-1$   |  $0.0  $  |
-|  $12$  |  $+0.157$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+2$   |  $-2$   |  $179.6$              |
+|  $12$  |  $+0.157$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+2$   |  $-2$   |  $179.6$  |
-|  $13$  |  $+0.195$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $+2$   |  $180.2$              |
+|  $13$  |  $+0.195$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $+2$   |  $180.2$  |
-|  $14$  |  $+0.327$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+2$   |  $224.4$              |
+|  $14$  |  $+0.327$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+2$   |  $224.4$  |
-|  $15$  |  $+0.643$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+1$   |  $178.8$              |
+|  $15$  |  $+0.643$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+1$   |  $178.8$  |
-|  $16$  |  $+0.187$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $+2$   |  $359.6$              |
+|  $16$  |  $+0.187$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $+2$   |  $359.6$  |
-|  $17$  |  $+0.165$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+2$   |  $241.5$              |
+|  $17$  |  $+0.165$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+2$   |  $241.5$  |
-|  $18$  |  $+0.144$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+1$   |  $-1$   |  $1.0  $              |
+|  $18$  |  $+0.144$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+1$   |  $-1$   |  $1.0  $  |
-|  $19$  |  $+0.158$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+1$   |  $179.0$              |
+|  $19$  |  $+0.158$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-1$   |  $+1$   |  $179.0$  |
-|  $20$  |  $+0.190$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $+2$   |  $180.0$              |
+|  $20$  |  $+0.190$   |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $+2$   |  $180.0$  |
-|  $21$  |  $+0.167$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $-1$   |  $+1$   |  $178.5$              |
+|  $21$  |  $+0.167$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $-1$   |  $+1$   |  $178.5$  |
-|  $22$  |  $+1.137$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+2$   |  $-2$   |  $180.3$              |
+|  $22$  |  $+1.137$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+2$   |  $-2$   |  $180.3$  |
-|  $23$  |  $+0.211$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $-1$   |  $+1$   |  $178.4$              |
+|  $23$  |  $+0.211$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $-1$   |  $+1$   |  $178.4$  |
-|  $24$  |  $+0.436$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+2$   |  $-3$   |  $7.5  $              |
+|  $24$  |  $+0.436$   |  $-1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |  $+2$   |  $-3$   |  $7.5  $  |
-|  $25$  |  $+0.240$   |  $+2$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $-2$   |  $+2$   |  $179.9$              |
+|  $25$  |  $+0.240$   |  $+2$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $-2$   |  $+2$   |  $179.9$  |
-|  $26$  |  $+0.284$   |  $+2$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $-2$   |  $+3$   |  $172.5$              |
+|  $26$  |  $+0.284$   |  $+2$   |  $+0$   |  $+0$   |  $-2$   |  $-2$   |  $+3$   |  $172.5$  |
+++++
 ===== Hauptstörungen für den Mond =====
 Hier werden die obigen, korrigierten Mittelwerte verwendet
+\[\begin{align}
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
-| \[\begin{align}
 \Delta\lambda &= \sum_n a_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\
 \Delta S &= \sum_n b_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\
@@ Zeile 98: / Zeile 120: @@
 \gamma C &= \sum_n d_n\cdot \sin(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D') \\
 \Delta\sin(\Pi) &= \sum_n e_n\cdot \cos(p_n\cdot m' + q_n\cdot M' + r_n\cdot F' + s_n\cdot D')
-\end{align}\] |
+\end{align}\tag{7}\]
 und die korrespondierenden Koeffizienten aus der nachfolgenden Tabelle für die Länge $\lambda$ und den Radius $R$ entnommen:
+++++ Tabelle 3 (zum Aufklappen)  |
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="70px,140px,140px,130px,130px,50px,50px,50px,50px"&float=center}}
+^  Tabelle 3  |||||||||
 ^  n      ^  $a_n['']$      ^  $b_n['']$     ^  $d_n['']$  ^  $e_n['']$     ^  $p_n$  ^  $q_n$  ^  $r_n$  ^  $s_n$  ^
 |  $001$  |  $+0.127     $  |  $+0.6      $  |  $-0.042 $  |  $+0.0082   $  |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+6$   |
 |  $002$  |  $+13.902    $  |  $+14.06    $  |  $-0.001 $  |  $+0.2607   $  |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+4$   |
 |  $003$  |  $+0.403     $  |  $-4.06     $  |  $+0.394 $  |  $+0.0023   $  |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+3$   |
-|  $004$  |  $+2369.912 $   |  $+2373.36 $   |  $+0.601 $  |  $+28.2333  $  |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |
+|  $004$  |  $+2369.912  $  |  $+2373.36  $  |  $+0.601 $  |  $+28.2333  $  |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+2$   |
 |  $005$  |  $-125.154   $  |  $-112.79   $  |  $-0.725 $  |  $-0.9781   $  |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+1$   |
 |  $006$  |  $+1.979     $  |  $+6.98     $  |  $-0.445 $  |  $+0.0433   $  |  $+1$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+4$   |
@@ Zeile 221: / Zeile 246: @@
 |  $116$  |  $+0.113     $  |  $+0.00     $  |  $+0.000 $  |  $+0.0000   $  |  $+5$   |  $+0$   |  $+0$   |  $+0$   |
-Die Tabelle gilt für die Breite $\beta$:
+++++
+Die folgende Tabelle gilt für die Breite $\beta$:
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="50px,120px,50px,50px,50px,50px"&float=center}}
+^  Tabelle 4  ||||||
 ^  n     ^  $c_n['']$   ^  $p_n$  ^  $q_n$  ^  $r_n$  ^  $s_n$  ^
 |  $01$  |  $-526.069$  |  $+0$   |  $+0$   |  $+1$   |  $-2$   |
@@ Zeile 238: / Zeile 266: @@
 ==== Die geozentrischen Koordinaten des Mondes ====
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="800px"&float=center}}
+$$P = 1.000002208^{|p_n|}\cdot (1.0 - 0.002495388\cdot (T+1))^{|q_n|}\cdot (1.000002708 + 139.978\cdot \Delta\gamma)^{|r_n|}\tag{8}$$
-| \[P = 1.000002208^{|p_n|}\cdot (1.0 - 0.002495388\cdot (T+1))^{|q_n|}\cdot (1.000002708 + 139.978\cdot \Delta\gamma)^{|r_n|}\] |
 Der Faktor $P$ ist aufgrund der Exponenten in $P$ mit jedem einzelnen Term in der obigen Reihenentwicklung von $\Delta\lambda$, $\Delta S$, $\gamma C$ und $\Delta \sin(\Pi)$ zu multiplizieren.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="850px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
 \lambda &= l' + \frac{\Delta\lambda + \Phi_2 + \Phi_4 + \Phi_5 + \Delta\lambda_N}{3600''} \\\\
 \beta &= \frac{(1.000002708 + 139.978\Delta\gamma)\cdot (18519\overset{''}{.}7 + \gamma C)}{3600''}\cdot \sin(U) \\
-      & - \frac{6\overset{''}{.}24}{3600''}\cdot \sin\big(3 \cdot U \big) + \frac{4\overset{''}{.}0}{3600''}\cdot 10^{-3}\cdot \sin\big(5 \cdot U\big) + \frac{\Delta\beta}{3600''} \quad \text{mit} \quad
+      & - \frac{6\overset{''}{.}24}{3600''}\cdot \sin\big(3 \cdot U \big) + \frac{4\overset{''}{.}0}{3600''}\cdot 10^{-3}\cdot \sin\big(5 \cdot U\big) + \frac{\Delta\beta}{3600''} \quad \text{mit} \quad U = \frac{\Delta S}{3600} + F \\\\
-       U = \frac{\Delta S}{3600} + F \\\\
+\Delta &= \frac{6378.14\text{ km}}{\sin(\Pi)} \quad \textsf{mit} \quad \sin(\Pi) = \left(0.999953253\cdot0\overset{\circ}{.}95075 + \frac{\Delta\sin(\Pi)}{3600''}\right) \cdot \frac{\pi}{180^\circ}
-\Delta &= \frac{6378.14\text{ km}}{\sin(\Pi)} \quad \textsf{mit} \quad \sin(\Pi) = 0.999953253\cdot\left(0\overset{\circ}{.}9507213148471 + \frac{\Delta\sin(\Pi)}{3600''}\right) \cdot \frac{\pi}{180^\circ}
+\end{align}\tag{9}\]
-\end{align}\] |
 <WRAP center round info 100%>
-$\Delta \sin(\Pi)$ in der obigen Gleichung ist als ein einziger Wert oder einzige Variable zu verstehen. Deshalb wird hier $\sin(\Pi)$ separat berechnet und daraus dann der Abstand $\Delta$ bestimmt. Der Korrekturfaktor $0.999953253$ für die Parallaxe $\Pi$
+$\Delta \sin(\Pi)$ in der obigen Gleichung ist als ein einziger Wert oder einzige Variable zu verstehen. Deshalb wird hier $\sin(\Pi)$ separat berechnet und daraus dann der Abstand $\Delta$ bestimmt. Der Korrekturfaktor $0.999953253$ für die Parallaxe $\Pi$ und den Mondabstand $\Delta$ entstand durch die Überarbeitung der Brownschen Mondtheorie in der ILE und muss lt.Montenbruck/Pfleger zum konstanten Wert $3422\overset{''}{.}77 = 0\overset{\circ}{.}95075$ multipliziert werden, obwohl der Wert nahe Eins liegt. Nimmt man - wie in der ILE vorgeschlagen - den Wert $3422\overset{''}{.}54$, so entfällt der Multiplikator.
-und den Mondabstand $\Delta$ entstand durch die Überarbeitung der Brownschen Mondtheorie in der ILE und muss multipliziert werden, obwohl der Wert nahe Eins liegt.
 </WRAP>
+<WRAP center round box 100%>
+==== Beispiel ====
+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten des Mondes für den 15.4.2023 um 22:15 mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) mit der Methode von Montenbruck/Pfleger**
+----
+Für den gegebenen Zeitpunkt wurde der Julianische Tag [[:julianischer_tag_jd#beispiel_1|hier bereits ermittelt]] zu $JD=2460050.34375$. Im Jahr 2023 war der Wert von [[:dynamische_zeit_und_delta_t#delta_t_tab5|$\Delta T = 69^{s}$]], diese müssen hinzugefügt werden, um die Position der Mondes in der gleichmäßigen Skala der dynamischen Zeit $TD$ zu erhalten. Ein Tag hat 86400 Sekunden, daher folgt
+\(\begin{align}
+JDE &= 2460050.34375 + \frac{69^{s}}{86400\frac{s}{d}}\\&= 2460050.34455
+\end{align}\)
+Daraus erhält man die julianischen Jahrhunderte bezüglich der Epoche $J2000$ zu
+\(\begin{align}
+T &= \frac{(2460050.34455 - 2451545.0)}{36525}\\
+&= 0.232863642672
+\end{align}\)
+Für alle großen bzw. negativen Winkelwerte wird im Weiteren die [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] verwendet, um die Werte auf das Intervall [0°-360°] zu bringen.
+Mittels $T$ erhält die mittleren Längen $m, l, M, L, \Omega, D$ und $F$ sukzessive
+\(\begin{align}
+m &= 111257\overset{\circ}{.}22999303279\\
+  &= 17\overset{\circ}{.}229993\\
+l &= 112288\overset{\circ}{.}10795180977\\
+  &= 328\overset{\circ}{.}107952\\
+M &= 8740\overset{\circ}{.}395206607433\\
+  &= 100\overset{\circ}{.}395207\\
+L &= 8663\overset{\circ}{.}736248185152\\
+  &= 23\overset{\circ}{.}736248\\
+\Omega &= -325\overset{\circ}{.}3469322119048\\
+  &= 34\overset{\circ}{.}653068\\
+D &= 103984\overset{\circ}{.}37170362461\\
+  &= 304\overset{\circ}{.}371704\\
+F &= 112613\overset{\circ}{.}45488402166\\
+  &= 293\overset{\circ}{.}454884
+\end{align}\)
+Für die Hilfswerte $Q_1$ bis $Q_9$ bzw. $N$ erhält man
+\(\begin{align}
+Q_1 &= 76\overset{\circ}{.}103837\\
+Q_2 &= 118\overset{\circ}{.}563514\\
+Q_3 &= -396\overset{\circ}{.}80701074935945\\
+    &= 323\overset{\circ}{.}192989\\
+Q_4 &= 104\overset{\circ}{.}104972\\
+Q_5 &= 29\overset{\circ}{.}641063\\
+Q_6 &= 358\overset{\circ}{.}210775\\
+Q_7 &= 28\overset{\circ}{.}971868\\
+Q_8 &= 156\overset{\circ}{.}925642\\
+Q_9 &= 41\overset{\circ}{.}048063\\
+N &= 272\overset{\circ}{.}214414
+\end{align}\)
+Die Korrekturen der mittleren Längen sind die Summe der 11 Terme der ersten Tabelle.
+\(\begin{align}
+\sum_{1}^{11} \frac{\Delta l_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00348276\\
+\sum_{1}^{11} \frac{\Delta m_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00432656\\
+\sum_{1}^{11} \frac{\Delta M_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = -0\overset{\circ}{.}00212285\\
+\sum_{1}^{11} \frac{\Delta D_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = 0\overset{\circ}{.}00560835\\
+\sum_{1}^{11} \frac{\Delta F_{n}}{3600''}\cdot G_{n} = -0\overset{\circ}{.}00812755
+\end{align}\)
+Daraus ergeben sich die korrigierten Winkel zu
+\(\begin{align}
+m' &= 17\overset{\circ}{.}234320\\
+l' &= 328\overset{\circ}{.}111435\\
+M' &= 100\overset{\circ}{.}393084\\
+D' &= 304\overset{\circ}{.}377312\\
+F' &= 293\overset{\circ}{.}446756
+\end{align}\)
+Die planetaren Störungen $V, M_2, M_3, M_4, M_5$ und der Faktor $\Delta \gamma$ sind
+\(\begin{align}
+V  &= 143\overset{\circ}{.}215250\\
+M_2 &= 13806\overset{\circ}{.}556761819184\\
+   &= 126\overset{\circ}{.}556762\\
+M_3 &= 8481\overset{\circ}{.}316739647977\\
+   &= 201\overset{\circ}{.}316740\\
+M_4 &= 4810\overset{\circ}{.}443641977762\\
+   &= 130\overset{\circ}{.}443642\\
+M_5 &= 739\overset{\circ}{.}1766212912058\\
+   &= 19\overset{\circ}{.}176621\\
+Δγ &= -3.0255243\cdot 10^{-6}
+\end{align}\)
+Bei den Termen für die planetaren Störungen ist darauf zu achten, dass die Summierung über **verschiedene Indizes** läuft: $\Phi_2$ geht von <color #ed1c24>1-12</color>, $\Phi_4$ von <color #ed1c24>13-14</color> sowie $\Phi_5$ von <color #ed1c24>15-26</color>.
+\(\begin{align}
+\Phi_2 &= -0\overset{\circ}{.}17383184773270005\\
+      &= 359\overset{\circ}{.}826168\\
+\Phi_4 &= -0\overset{\circ}{.}19606005774737872\\
+      &= 359\overset{\circ}{.}803940\\
+\Phi_5 &= 0\overset{\circ}{.}108794
+\end{align}\)
+Nun bildet man die Summen der Werte aus der großen Tabelle mit 116 Termen. Dabei wird der Faktor $P$ mit **jedem** Term multipliziert, man erhält
+\(\begin{align}
+\Delta\lambda &= 991\overset{''}{.}324785\\
+\Delta S &= 1225\overset{''}{.}090898\\
+\gamma C &= -0\overset{''}{.}727399\\
+\Delta\sin \Pi &= 152\overset{''}{.}594321
+\end{align}\)
+Das $\Delta\beta$ wird separat mithilfe der zugehörigen Tabelle (10 Terme) ermittelt.
+$\Delta\beta = -365\overset{''}{.}718418$
+Schließlich erhält man die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten mit den oben angegebenen Gleichungen. Der Fator $U$ wird für die Breite $\beta$ benötigt mit
+\(\begin{align}
+U &= \frac{\Delta S}{3600} + F\\
+  &= 293\overset{\circ}{.}795187
+\end{align}\)
+Es ergeben sich damit
+\(\begin{align}
+\lambda &= 328\overset{\circ}{.}386730\\
+\beta &= -4\overset{\circ}{.}807033\\
+\Delta &= 368001.4\;\textsf{km}
+\end{align}\)
+Zum Vergleich die Daten, die von der Astronomie-Software SOLEX 12.1 angegeben werden. Die Einstellungen in SOLEX wurden ebenfalls auf $\Delta T = 69^s$ gesetzt.
+{{anchor:mont_moon_bsp}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto}}
+^             ^  Dieses Beispiel                ^  SOLEX 12.1                       ^  Differenz             ^
+|  $\lambda=$ |  $328\overset{\circ}{.}386730$  |  $328\overset{\circ}{.}3869343 $  |  $0\overset{''}{.}74$  |
+|    $\beta=$ |  $-4\overset{\circ}{.}807033$   |  $-4\overset{\circ}{.}8055938  $  |  $5\overset{''}{.}18$  |
+|   $\Delta=$ |  $368001.4 \textsf{ km}$        |  $367995.46 \textsf{ km}$         |  $-5.94 \textsf{ km}$  |
+Man vergleiche diese Werte mit jenen aus [[:mondposition_nach_meeus#meeus_moon_bsp|Mondposition nach Meeus]].
+</WRAP>