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--- mittlere_entfernung_erde_mond [2025/10/10 17:03] – [[4] Große Halbachse der Umlaufbahn] quern
+++ mittlere_entfernung_erde_mond [2025/10/10 17:11] (aktuell) – [[6] Zeitlicher Mittelwert] quern
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 Angenommen, der Wert der variablen Größe $A$ ist gegeben durch die Formel
-$A = 60 + 2\cdot\cos t + 0.3\cdot\cos 2t\tag{1}\label{glg_1}$
+$A = 60 + 2\cdot\cos(t) + 0.3\cdot\cos(2t)\tag{1}\label{glg_1}$
-d. h. die Konstante $60$ plus zwei periodische Terme. Was ist der Mittelwert von $A$? Hierfür könnten wir per Definition den konstanten Term der Formel, nämlich $60$, übernehmen.
+d.h., die Konstante $60$ plus zwei periodische Terme. Was ist der Mittelwert von $A$? Hierfür könnten wir per Definition den konstanten Term der Formel, nämlich $60$, übernehmen. Die Extremwerte von $A$ sind $62.3$ (für $t = 0^\circ$) und $58.3$ (für $t = 180^\circ$). Definieren wir den Mittelwert von $A$ als arithmetisches Mittel dieser beiden Extreme, so erhalten wir $60.3$.
-Die Extremwerte von $A$ sind $62.3$ (für $t = 0^\circ$) und $58.3$ (für $t = 180^\circ$). Definieren wir den Mittelwert von $A$ als arithmetisches Mittel dieser beiden Extreme, so erhalten wir $60.3$.
 Nehmen wir nun jedoch an, dass wir die genaue Formel gar nicht kennen und nur den folgenden Ausdruck zur Berechnung des //Inversen// von $A$ haben:
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 $\begin{align}
 \frac{1}{A} &= 0.01667607303 \\
-&-0.00055325576\cdot\cos t \\
+&-0.00055325576\cdot\cos(t) \\
-&-0.00007420329\cdot\cos 2t \\
+&-0.00007420329\cdot\cos(2t) \\
-&+0.00000261746\cdot\cos 3t \tag{2}\label{glg_2}\\
+&+0.00000261746\cdot\cos(3t) \tag{2}\label{glg_2}\\
-&+0.00000014196\cdot\cos 4t \\
+&+0.00000014196\cdot\cos(4t) \\
-&-0.00000000885\cdot\cos 5t \\
+&-0.00000000885\cdot\cos(5t) \\
-&-0.00000000019\cdot\cos 6t
+&-0.00000000019\cdot\cos(6t)
 \end{align}$
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 ==== [1] Brown'sche Mondtheorie ====
-In der Mondtheorie, die E. W. Brown zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelte und die später mehrfach korrigiert und verbessert wurde, wird die horizontale Äquatorialparallaxe $\pi$ des Mondes, ausgedrückt in Grad, durch eine lange Reihe periodischer Terme angegeben, von denen die wichtigsten sind
+In der Mondtheorie, die E.W. Brown zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelte und die später mehrfach korrigiert und verbessert wurde, wird die horizontale Äquatorialparallaxe $\pi$ des Mondes, ausgedrückt in Grad, durch eine lange Reihe periodischer Terme angegeben, von denen die wichtigsten sind
 $\begin{align}
 \pi &= 0\overset{\circ}{.}9507245 \\
-&+0\overset{\circ}{.}0518128\cdot\cos (m) \\
+&+0\overset{\circ}{.}0518128\cdot\cos(m) \\
-&+0\overset{\circ}{.}0095303\cdot\cos (2\cdot D - m)\tag{3}\label{glg_3} \\
+&+0\overset{\circ}{.}0095303\cdot\cos(2\cdot D - m)\tag{3}\label{glg_3} \\
-&+0\overset{\circ}{.}0078422\cdot\cos (2\cdot D) \\
+&+0\overset{\circ}{.}0078422\cdot\cos(2\cdot D) \\
-&+0\overset{\circ}{.}0008571\cdot\cos (2\cdot D + m) \\
+&+0\overset{\circ}{.}0008571\cdot\cos(2\cdot D + m) \\
 &+\dots
 \end{align}$
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 wobei $m$ die mittlere Anomalie des Mondes und $D$ die mittlere Elongation des Mondes von der Sonne ist, was hier aber irrelevant ist. Brown lieferte also keine Formel zur direkten Berechnung der Erde-Mond-Distanz, sondern eine Formel für die Parallaxe $\pi$. Sobald $\pi$ bekannt ist, kann die Erde-Mond-Distanz berechnet werden aus
-$\large\Delta=\frac{6378.14\;km}{\sin\pi}\tag{4}\label{glg_4}$
+$\Delta=\frac{6378.14\;km}{\sin\pi}\tag{4}\label{glg_4}$
 Dabei ist der Wert im Zähler der Äquatorradius der Erde. Die Entfernung ist also umgekehrt proportional zu $\sin\pi$ und, da $\pi$ ein kleiner Winkel ist, auch fast umgekehrt proportional zu $\pi$ selbst. (Wie man sieht, kommt hier der Kehrwert der Entfernung ins Spiel!).
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 Vielleicht wäre es besser, anstelle einer „mittleren Entfernung“ die große Halbachse $a$ der elliptischen Mondbahn zu betrachten. Obwohl die Mondbewegung durch die Anziehungskraft der Sonne stark gestört wird, können wir die mittlere Länge der siderischen Umdrehung $P$ des Mondes verwenden, die sehr genau bekannt ist. Die zu verwendende Formel lautet:
-$\Large a^{\frac{3}{2}} = \frac{\mathrm{k}\cdot P\cdot\sqrt{\Sigma\;m}}{2\cdot\pi}\tag{6}\label{glg_6}$
+$a^{\frac{3}{2}} = \frac{\mathrm{k}\cdot P\cdot\sqrt{\Sigma\;m}}{2\cdot\pi}\tag{6}\label{glg_6}$
 <WRAP center round box 100%>
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 Es lässt sich zeigen (siehe z.B. A. Danjon, //Astronomie Générale//, Seite 173 der Ausgabe von 1959), dass im Fall einer rein elliptischen Bewegung (= einer keplerschen Umlaufbahn) die mittlere Entfernung bezogen auf die Zeit zum Zentralkörper gleich
-$\large a\cdot\left(1 + \frac{\epsilon^2}{2}\right)\tag{7}\label{glg_7}$
+$a\cdot\left(1 + \frac{\epsilon^2}{2}\right)\tag{7}\label{glg_7}$
 ist, wobei $\epsilon$ die Bahnexzentrizität ist. Für die Erdumlaufbahn ergibt sich mit dem Wert $\epsilon = 0.01670862$ (Epoche J2000.0) eine durchschnittliche Entfernung von $a = 149618752\;km$.
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 Aus diesem Grund wird die tatsächliche durchschnittliche Zeitdistanz etwas von dem gerade ermittelten Wert von $384978\;km$ abweichen. Diese durchschnittliche Zeitdistanz lässt sich leicht ermitteln: Sie ist der konstante Term in Ausdruck (5), gerundet auf die nächste ganze Zahl ergibt dies $385001\;km$. Um herauszufinden, ob es sich tatsächlich um diesen Wert handelt, könnten wir uns vorstellen, den Mittelwert jedes Terms über einen sehr langen Zeitraum zu bilden. Dann ist der (zeitliche) Mittelwert jedes Kosinus null (das Argument jedes Kosinus ist eine **lineare Funktion** der Zeit). In einem solchen Fall bleibt im Durchschnitt nur der allererste, konstante Term übrig.
-Aber wie man sieht ist das alles nicht so einfach. Es ist eben nur eine Frage der Definition...=)
+Aber wie man sieht ist das alles nicht so einfach. Es ist eben nur eine Frage der Definition.