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--- mittlere_entfernung_erde_mond [2025/07/01 17:19] – [[2.]] hcgreier
+++ mittlere_entfernung_erde_mond [2025/07/02 17:46] (aktuell) – hcgreier
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 Dann erhält man $A$ durch die Berechnung des Kehrwerts des Ergebnisses. Durch die Berechnung für einen bestimmten Wert von $t$ kann der Leser überprüfen, ob die Formeln $\eqref{glg_1}$ und $\eqref{glg_2}$ äquivalent sind. Nehmen wir beispielsweise $t = 33^\circ$; beide Formeln sollten für $A$ dasselbe Ergebnis liefern. \\
-In Formel $\eqref{glg_2}$ ist der konstante Term $0.01667607303$. Wir könnten als Mittelwert von $A$ den Kehrwert dieser Konstanten annehmen. Dieser Kehrwert ist
+In Formel $\eqref{glg_2}$ ist der konstante Term $0.01667607303$. Wir könnten als Mittelwert von $A$ den Kehrwert dieser Konstanten annehmen. Dieser Kehrwert ist $\frac{1}{0.01667607303}=59.966156$, und nicht $60$.
-$\frac{1}{0.01667607303}=59.966156$, und nicht $60$.
+Der Leser mag sich fragen, warum man eine Formel zur Berechnung des Kehrwerts von $A$ verwenden sollte. Sehen wir uns im weiteren an, was über die Mondparallaxe gesagt wird. Nun haben wir drei verschiedene Mittelwerte für $A$ gefunden, nämlich $60$, $60.3$ und $59.966156$. Welcher ist der beste Wert? Es ist nur eine Frage der Definition! Aber wie man sieht sollte man sich im Klaren sein, wovon man spricht...
-Der Leser mag sich fragen, warum man eine Formel zur Berechnung des Kehrwerts von $A$ verwenden sollte. Sehen wir uns im weiteren an, was über die Mondparallaxe gesagt wird.
-Nun haben wir drei verschiedene Mittelwerte für $A$ gefunden, nämlich $60$, $60.3$ und $59.966156$. Welcher ist der beste Wert? Es ist nur eine Frage der Definition! Aber wie man sieht sollte man sich im Klaren sein, wovon man spricht...
 ===== Zurück zum Mond =====
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 $\large\Delta=\frac{6378.14\;km}{\sin\pi}\tag{4}\label{glg_4}$
-Dabei ist der Wert im Zähler der Äquatorradius der Erde. Die Entfernung ist also umgekehrt proportional zu $\sin x$ und, da $x$ ein kleiner Winkel ist, auch fast umgekehrt proportional zu $x$ selbst. (Wie man sieht kommt hier der Kehrwert der Entfernung ins Spiel!).
+Dabei ist der Wert im Zähler der Äquatorradius der Erde. Die Entfernung ist also umgekehrt proportional zu $\sin\pi$ und, da $\pi$ ein kleiner Winkel ist, auch fast umgekehrt proportional zu $\pi$ selbst. (Wie man sieht, kommt hier der Kehrwert der Entfernung ins Spiel!).
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-Per Definition könnten wir den konstanten Term dieser Reihe als die mittlere Entfernung der Erde zum Mond annehmen. Auf den nächsten Kilometer gerundet ergibt dies $385001\;km$. Dieser Wert unterscheidet sich vom vorhergehenden, ebenso wie sich der mittlere Wert von $A$ basierend auf Reihe $\eqref{glg_2}$ etwas von dem basierend auf Reihe $\eqref{glg_1}$ unterscheidet.
+Per Definition könnten wir den konstanten Term dieser Reihe als die mittlere Entfernung der Erde zum Mond annehmen. Auf den nächsten Kilometer gerundet ergibt dies $385001\;km$. Dieser Wert unterscheidet sich vom vorhergehenden, ebenso wie sich der mittlere Wert von $A$ basierend auf Reihe $\eqref{glg_2}$ sich vom Wert der Reihe $\eqref{glg_1}$ unterscheidet.
-==== [3.] ====
+==== [3] Extremwerte ====
 Wie wir im Artikel »[[:die_extremwerte_der_mondentfernung|Die Extremwerte der Mondentfernung zur Erde]]« bereits gesehen haben, betragen die extremen Entfernungen zwischen Erde und Mond im Zeitraum von 1500 bis 2500 n. Chr. $356371\;km$ bzw. $406720 \;km$. Der Mittelwert liegt nahe dem arithmetischen Mittel dieser beiden Werte: $381546\;km$.
-Es ist jedoch gefährlich, dies als Definition für die mittlere Entfernung zu betrachten. Im Fall der Kurve in **Abb.1** ist offensichtlich, dass das arithmetische Mittel der Höhen der Extrempunkte $A$ und $B$ keine gute Wahl für die mittlere Höhe ist.
+Es ist jedoch nicht sinnvoll, diesen als Definition für die mittlere Entfernung zu betrachten. Im Fall der Kurve in **Abb.1** ist offensichtlich, dass das arithmetische Mittel der Höhen der Extrempunkte $A$ und $B$ keine gute Wahl für die mittlere Höhe ist.
 <imgcaption Abb1|Der Mittelwert einer Funktion ist nicht der Mittelwert der Extrema>{{ :artikel_mean_value_exampl_01.png?800 |}}</imgcaption>
-==== [4.] ====
+==== [4] Große Halbachse der Umlaufbahn ====
 Vielleicht wäre es besser, anstelle einer „mittleren Entfernung“ die große Halbachse $a$ der elliptischen Mondbahn zu betrachten. Obwohl die Mondbewegung durch die Anziehungskraft der Sonne stark gestört wird, können wir die mittlere Länge der siderischen Umdrehung $P$ des Mondes verwenden, die sehr genau bekannt ist. Die zu verwendende Formel lautet:
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 Anschließend wird die große Halbachse $a$ der Mondbahn in astronomischen Einheiten $AU$ ausgedrückt. Wir erhalten $a = 0.0025718814\;AU$. Multipliziert man diesen Wert mit $149597870$ (der Entfernung Erde-Sonne), erhält man das gewünschte Ergebnis in Kilometern: $384748\;km$. Dieser Wert ist z.B. auch auf Seite XXXVIII des astronomischen Jahrbuches //[[https://de.wikipedia.org/wiki/Connaissance_des_temps|Connaissance des Temps]]// von 1984 angegeben.
-==== [5.] ====
+==== [5] Umlaufperiode ====
 Doch damit ist die Geschichte noch nicht zu Ende. Die Gravitationsanziehung der Sonne stört nicht nur die Mondbewegung stark (daher die vielen periodischen Terme in den Ausdrücken für Länge, Breite und Entfernung des Mondes), sondern führt auch dazu, dass Formel $\eqref{glg_6}$ nicht „exakt“ ist. Aufgrund der Anwesenheit der Sonne ist die siderische Umlaufperiode $P$ des Mondes nicht gleich dem Wert, der sich aus dem Wert von $a$ mithilfe von Formel $\eqref{glg_6}$ ableiten ließe. Laut A. Danjon (Astronomic Generale, Paris, S. 275 der Ausgabe von 1959) verhält es sich so, als würde die Anwesenheit der Sonne die Erde-Mond-Anziehung um den Faktor $F = 1.002723$ verringern.
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 Die wahre (mittlere) große Halbachse der Mondbahn lässt sich dann mithilfe von Formel $\eqref{glg_6}$ unter der Bedingung finden, dass $\Sigma\;m$ durch die oben genannte Größe $F$ geteilt wird. Man erhält dann $a = 384399\;km$. Dies ist (ganz zufällig?) genau der Wert, den wir zuvor auf der Grundlage des konstanten Terms im Ausdruck für die Mondparallaxe gefunden haben!
-==== [6.] ====
+==== [6] Zeitlicher Mittelwert ====
-Man kann schließlich auch auch den Mittelwert der zeitlichen Entfernung betrachten. Dieser ist nicht dasselbe wie die große Halbachse der Umlaufbahn.
+Man kann schließlich auch auch den Mittelwert der zeitlichen Entfernung betrachten. Dieser ist nicht derselbe wie die große Halbachse der Umlaufbahn. Die große Halbachse der elliptischen Umlaufbahn der Erde um die Sonne beträgt $a = 149597870\;km$. Sehr oft, vor allem in populären Büchern, wird dieser Wert als „mittlere Entfernung der Erde zur Sonne“ bezeichnet. $a$ ist jedoch nicht die durchschnittliche zeitliche Entfernung, wie ein Extremfall deutlich macht: der periodische Komet Halley. Bei diesem Kometen entspricht $a$ ungefähr 18 Astronomischen Einheiten. Der Körper verweilt jedoch sehr lange in der Nähe seines fernen Aphels, etwa $35\;AU$ von der Sonne entfernt, wo er sich sehr langsam bewegt. Der Komet verweilt nur kurze Zeit in Sonnennähe, nahe dem Perihel seiner Umlaufbahn, da dort seine Geschwindigkeit sehr hoch ist. Es ist daher ganz offensichtlich, dass für diesen Kometen die mittlere Entfernung zur Sonne (der zeitliche Mittelwert) viel größer sein muss als $a = 18\;AU$.
-Die große Halbachse der elliptischen Umlaufbahn der Erde um die Sonne beträgt $a = 149597870\;km$. Sehr oft, vor allem in populären Büchern, wird dieser Wert als „mittlere Entfernung der Erde zur Sonne“ bezeichnet. $a$ ist jedoch nicht die durchschnittliche zeitliche Entfernung, wie ein Extremfall deutlich macht: der periodische Komet Halley. Bei diesem Kometen entspricht $a$ ungefähr 18 Astronomischen Einheiten. Der Körper verweilt jedoch sehr lange in der Nähe seines fernen Aphels, etwa $35\;AU$ von der Sonne entfernt, wo er sich sehr langsam bewegt. Der Komet verweilt nur kurze Zeit in Sonnennähe, nahe dem Perihel seiner Umlaufbahn, da dort seine Geschwindigkeit sehr hoch ist. Es ist daher ganz offensichtlich, dass für diesen Kometen die mittlere Entfernung zur Sonne (der zeitliche Mittelwert) viel größer sein muss als $a = 18\;AU$.
 Es lässt sich zeigen (siehe z.B. A. Danjon, //Astronomie Générale//, Seite 173 der Ausgabe von 1959), dass im Fall einer rein elliptischen Bewegung (= einer keplerschen Umlaufbahn) die mittlere Entfernung bezogen auf die Zeit zum Zentralkörper gleich
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 Führt man eine ähnliche Berechnung für den Mond durch, mit dem oben ermittelten Wert $a = 384399\;km$ und dem Mittelwert $\epsilon = 0.05490$ für die Exzentrizität, erhält man $\Delta = 384978\;km$.
-Der Mond folgt jedoch keiner ungestörten elliptischen Bahn. Dies lässt sich aus Formel $\eqref{glg_5}$ ersehen. Dort stellen die Terme in $\cos m$ und $\cos 2m$ keine Störungen durch die Sonne dar; es handelt sich um die periodischen Terme, die sich aus der Beschreibung der elliptischen Umlaufbahn des Mondes ergeben: die sogenannte [[:kegelschnitte#mittelpunktsgleichung|Mittelpunktsgleichung]]. Es gibt auch kleinere Terme in $3m, 4m,\dots$, aber alle anderen periodischen Terme sind echte Störungen aufgrund der Anziehungskraft der Sonne.
+Der Mond folgt jedoch keiner ungestörten elliptischen Bahn. Dies lässt sich aus Formel $\eqref{glg_5}$ ersehen. Dort stellen die Terme in $\cos(m)$ und $\cos(2m)$ keine Störungen durch die Sonne dar; es handelt sich um die periodischen Terme, die sich aus der Beschreibung der elliptischen Umlaufbahn des Mondes ergeben: die sogenannte [[:kegelschnitte#mittelpunktsgleichung|Mittelpunktsgleichung]]. Es gibt auch kleinere Terme in $3m, 4m,\dots$, aber alle anderen periodischen Terme sind echte Störungen aufgrund der Anziehungskraft der Sonne.
 Aus diesem Grund wird die tatsächliche durchschnittliche Zeitdistanz etwas von dem gerade ermittelten Wert von $384978\;km$ abweichen. Diese durchschnittliche Zeitdistanz lässt sich leicht ermitteln: Sie ist der konstante Term in Ausdruck (5), gerundet auf die nächste ganze Zahl ergibt dies $385001\;km$. Um herauszufinden, ob es sich tatsächlich um diesen Wert handelt, könnten wir uns vorstellen, den Mittelwert jedes Terms über einen sehr langen Zeitraum zu bilden. Dann ist der (zeitliche) Mittelwert jedes Kosinus null (das Argument jedes Kosinus ist eine **lineare Funktion** der Zeit). In einem solchen Fall bleibt im Durchschnitt nur der allererste, konstante Term übrig.
 Aber wie man sieht ist das alles nicht so einfach. Es ist eben nur eine Frage der Definition...=)
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