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--- mehr_mathe [2025/09/09 19:43] – [Drehmatrizen] hcgreier
+++ mehr_mathe [2025/10/15 18:24] (aktuell) – quern
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 \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
 \sin(\beta)\end{matrix}\right) = r\cdot \vec{e}\tag{4}\]
 ==== Betrag ====
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 $$\vert \vec{u} \vert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\tag{6}$$
 ==== Skalarprodukt (Punktprodukt) ====
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 \right) = \vec{e}(\alpha,0)\tag{19}\]
-Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die z - Achse erhält man:
+Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die $z$-Achse erhält man:
 \[\vec{r} = \left(
   \begin{matrix}
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 \vec{r}(\alpha,0)\tag{21}\]
-Die Drehungen um die $x$-Achse (R$_1$), $y$-Achse (R$_2$) und die $z$-Achse (R$_3$):
+Die Drehungen um einen Winkel $\varphi$ um die $x$-Achse ($R_1$), $y$-Achse ($R_2$) und die $z$-Achse ($R_3$):
 \[R_1(\varphi) = \left(
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 \[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\tag{26}\]
-det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten. Die invertierte Matrix ist dann:
+det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten $b_{ik}$. Die invertierte Matrix ist dann:
 \[M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}
 \left(\begin{array}{ccc}
-  b_{11} & b_{21} & b_{13} \\
+  b_{11} & b_{21} & b_{31} \\
   b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
-  b_{31} & b_{23} & b_{33}
+  b_{13} & b_{23} & b_{33}
 \end{array}\right)\tag{27}\]
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 $$z^{*} = a - i\cdot b\tag{35}$$
-auf, so ist diese konjungiert komplex zu $z$.
+auf, so bezeichnet man diese Zahl als konjungiert komplex zu $z$.
 $$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\tag{36}$$
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 Es gilt $z\cdot z^{*} = a^2 + b^2$, eine reelle Zahl.
-<imgcaption image4|komplexe Zahlen>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image4|Eine komplexe Zahl z und ihre konjugiert komplexe Zahl z*>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
 Eine anschauliche Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatenkreuz. $z$ kann als ein um den Ursprung kreisenden Radius vorgestellt werden. $a$, $b$ und $z$ bilden die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die konjugiert komplexe Form ist die Spiegelung an der reellen Achse.