Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen der Seite angezeigt.

--- mehr_mathe [2025/09/09 19:36] – [Determinante] hcgreier
+++ mehr_mathe [2025/10/15 18:24] (aktuell) – quern
@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
 \sin(\beta)\end{matrix}\right) = r\cdot \vec{e}\tag{4}\]
 ==== Betrag ====
@@ Zeile 54: / Zeile 53: @@
 $$\vert \vec{u} \vert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\tag{6}$$
 ==== Skalarprodukt (Punktprodukt) ====
@@ Zeile 111: / Zeile 109: @@
 \right) = \vec{e}(\alpha,0)\tag{19}\]
-Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die z - Achse erhält man:
+Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die $z$-Achse erhält man:
 \[\vec{r} = \left(
   \begin{matrix}
@@ Zeile 156: / Zeile 155: @@
 \vec{r}(\alpha,0)\tag{21}\]
-Die Drehungen um die x (R$_1$), y (R$_2$) und die z - Achse (R$_3$):
+Die Drehungen um einen Winkel $\varphi$ um die $x$-Achse ($R_1$), $y$-Achse ($R_2$) und die $z$-Achse ($R_3$):
 \[R_1(\varphi) = \left(
   \begin{array}{ccc}
@@ Zeile 187: / Zeile 187: @@
 Die Determinante ist der skalare Wert einer Matrix. Die **Regel von Sarrus** berechnet die Determinante (Abb. 3) wie folgt:
-Entlang der grünen und roten Pfeile werden die Werte multipliziert. Die drei grünen Produkte werden addiert und die drei roten Produkte anschließend subtrahiert.
+Die ersten beiden Spalten der Matrix werden rechts nochmals angeschrieben. Entlang der grünen und roten Pfeile werden die Werte multipliziert. Die drei grünen Produkte werden addiert und die drei roten Produkte anschließend subtrahiert.
 <imgcaption image3|Regel von Sarrus>{{ :sarrus_regel.png?440 |}}</imgcaption>
@@ Zeile 198: / Zeile 198: @@
 \end{array}
 \right| = \begin{array}{c}
-  \color{green}{+ a_{11} \ a_{22} \ a_{33} + a_{12} a_{23} \ a_{31} + a_{13} \ a_{21} \ a_{32}} \\
+  \color{green}{+ a_{11} \cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}} \\
-  \color{red}{- a_{31} \ a_{22} \ a_{13} - a_{32} \ a_{23} \ a_{11} - a_{33} \ a_{21} \ a_{12}}
+  \color{red}{- a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13} - a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11} - a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}}
 \end{array}\tag{25}\]
@@ Zeile 207: / Zeile 207: @@
 \[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\tag{26}\]
-det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten. Die invertierte Matrix ist dann:
+det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten $b_{ik}$. Die invertierte Matrix ist dann:
 \[M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}
 \left(\begin{array}{ccc}
-  b_{11} & b_{21} & b_{13} \\
+  b_{11} & b_{21} & b_{31} \\
   b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
-  b_{31} & b_{23} & b_{33}
+  b_{13} & b_{23} & b_{33}
 \end{array}\right)\tag{27}\]
@@ Zeile 306: / Zeile 306: @@
 $$z^{*} = a - i\cdot b\tag{35}$$
-auf, so ist diese konjungiert komplex zu $z$.
+auf, so bezeichnet man diese Zahl als konjungiert komplex zu $z$.
 $$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\tag{36}$$
@@ Zeile 313: / Zeile 313: @@
 Es gilt $z\cdot z^{*} = a^2 + b^2$, eine reelle Zahl.
-<imgcaption image4|komplexe Zahlen>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image4|Eine komplexe Zahl z und ihre konjugiert komplexe Zahl z*>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
 Eine anschauliche Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatenkreuz. $z$ kann als ein um den Ursprung kreisenden Radius vorgestellt werden. $a$, $b$ und $z$ bilden die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die konjugiert komplexe Form ist die Spiegelung an der reellen Achse.