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--- mehr_mathe [2025/09/09 19:04] – [Determinante] hcgreier
+++ mehr_mathe [2025/10/15 18:24] (aktuell) – quern
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 \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
 \sin(\beta)\end{matrix}\right) = r\cdot \vec{e}\tag{4}\]
 ==== Betrag ====
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 $$\vert \vec{u} \vert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\tag{6}$$
 ==== Skalarprodukt (Punktprodukt) ====
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 \right) = \vec{e}(\alpha,0)\tag{19}\]
-Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die z - Achse erhält man:
+Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die $z$-Achse erhält man:
 \[\vec{r} = \left(
   \begin{matrix}
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 \vec{r}(\alpha,0)\tag{21}\]
-Die Drehungen um die x (R$_1$), y (R$_2$) und die z - Achse (R$_3$):
+Die Drehungen um einen Winkel $\varphi$ um die $x$-Achse ($R_1$), $y$-Achse ($R_2$) und die $z$-Achse ($R_3$):
 \[R_1(\varphi) = \left(
   \begin{array}{ccc}
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 ==== Determinante ====
-Die Determinante ist der skalare Wert einer Matrix. Die **Regel von Sarrus** berechnet die Determinante (Abb. 2):
+Die Determinante ist der skalare Wert einer Matrix. Die **Regel von Sarrus** berechnet die Determinante (Abb. 3) wie folgt:
+Die ersten beiden Spalten der Matrix werden rechts nochmals angeschrieben. Entlang der grünen und roten Pfeile werden die Werte multipliziert. Die drei grünen Produkte werden addiert und die drei roten Produkte anschließend subtrahiert.
-<imgcaption image3|Regel von Sarrus>{{ :sarrus_regel.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image3|Regel von Sarrus>{{ :sarrus_regel.png?440 |}}</imgcaption>
 \[\det(\mathbf{M}) = \left|
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 \end{array}
 \right| = \begin{array}{c}
-  + a_{11} \ a_{22} \ a_{33} + a_{12} a_{23} \ a_{31}
+  \color{green}{+ a_{11} \cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}} \\
-  + a_{13} \ a_{21} \ a_{32} \\
+  \color{red}{- a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13} - a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11} - a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}}
-  - a_{31} \ a_{22} \ a_{13} - a_{32} \ a_{23} \ a_{11}
-  - a_{33} \ a_{21} \ a_{12}
 \end{array}\tag{25}\]
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 \[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\tag{26}\]
-det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten. Die invertierte Matrix ist dann:
+det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten $b_{ik}$. Die invertierte Matrix ist dann:
 \[M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}
 \left(\begin{array}{ccc}
-  b_{11} & b_{21} & b_{13} \\
+  b_{11} & b_{21} & b_{31} \\
   b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
-  b_{31} & b_{23} & b_{33}
+  b_{13} & b_{23} & b_{33}
 \end{array}\right)\tag{27}\]
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 $$z^{*} = a - i\cdot b\tag{35}$$
-auf, so ist diese konjungiert komplex zu $z$.
+auf, so bezeichnet man diese Zahl als konjungiert komplex zu $z$.
 $$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\tag{36}$$
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 Es gilt $z\cdot z^{*} = a^2 + b^2$, eine reelle Zahl.
-<imgcaption image4|komplexe Zahlen>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image4|Eine komplexe Zahl z und ihre konjugiert komplexe Zahl z*>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
 Eine anschauliche Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatenkreuz. $z$ kann als ein um den Ursprung kreisenden Radius vorgestellt werden. $a$, $b$ und $z$ bilden die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die konjugiert komplexe Form ist die Spiegelung an der reellen Achse.