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--- mehr_mathe [2025/08/31 17:53] – [Betrag] hcgreier
+++ mehr_mathe [2025/10/15 18:24] (aktuell) – quern
@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
 \sin(\beta)\end{matrix}\right) = r\cdot \vec{e}\tag{4}\]
 ==== Betrag ====
@@ Zeile 54: / Zeile 53: @@
 $$\vert \vec{u} \vert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}\tag{6}$$
 ==== Skalarprodukt (Punktprodukt) ====
-$$\vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + + v_3 \cdot u_3\tag{5}$$
+$$\vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + + v_3 \cdot u_3\tag{7}$$
 Rechenregeln:
-$$\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}\tag{6}$$
+$$\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}\tag{8}$$
-$$\vec{u} \cdot \vec{u} = |u|^2\tag{7}$$
+$$\vec{u} \cdot \vec{u} = |u|^2\tag{9}$$
-$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot \cos(\theta)\tag{8}$$
+$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot \cos(\theta)\tag{10}$$
 senkrecht $\theta = 90^\circ$:
-$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\tag{9}$$
+$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\tag{11}$$
 parallel $\theta = 0^\circ$:
-$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\tag{10}$$
+$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\tag{12}$$
 ==== Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ====
@@ Zeile 75: / Zeile 73: @@
 $$\vec{v} \times \vec{u} = \left(\begin{array}
 vv_2 \cdot u_3 - v_3 \cdot u_2 \\ v_3 \cdot u_1 - u_3 \cdot v_1 \\ v_1 \cdot u_2 - u_1 \cdot v_2
-\end{array}\right)\tag{11}$$
+\end{array}\right)\tag{13}$$
 Rechenregeln:
-$$\vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}\tag{12}$$
+$$\vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}\tag{14}$$
-$$\vec{u} \times \vec{u} = 0\tag{13}$$
+$$\vec{u} \times \vec{u} = 0\tag{15}$$
-$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot \sin(\theta)\tag{14}$$
+$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot \sin(\theta)\tag{16}$$
 senkrecht $\theta = 90^\circ$:
-$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\tag{15}$$
+$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\tag{17}$$
 parallel $\theta = 0^\circ$:
-$$\vec{u} \times \vec{v} = 0\tag{16}$$
+$$\vec{u} \times \vec{v} = 0\tag{18}$$
 ===== Matrizen =====
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     \sin(\alpha) \\ 0 \\
   \end{matrix}
-\right) = \vec{e}(\alpha,0)\tag{17}\]
+\right) = \vec{e}(\alpha,0)\tag{19}\]
+Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die $z$-Achse erhält man:
-Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die z - Achse erhält man:
 \[\vec{r} = \left(
   \begin{matrix}
@@ Zeile 134: / Zeile 133: @@
     + x \ 0 & + y \ 0 & + z \ 1
   \end{array}
-\right)\tag{18}\]
+\right)\tag{20}\]
 \[\Rightarrow
@@ Zeile 154: / Zeile 153: @@
   \end{matrix}
   \right) = R_3(\varphi)
-\vec{r}(\alpha,0)\tag{19}\]
+\vec{r}(\alpha,0)\tag{21}\]
+Die Drehungen um einen Winkel $\varphi$ um die $x$-Achse ($R_1$), $y$-Achse ($R_2$) und die $z$-Achse ($R_3$):
-Die Drehungen um die x (R$_1$), y (R$_2$) und die z - Achse (R$_3$):
 \[R_1(\varphi) = \left(
   \begin{array}{ccc}
@@ Zeile 164: / Zeile 164: @@
   \end{array}
   \right)
-\tag{20}\]
+\tag{22}\]
 \[R_2(\varphi) = \left(
@@ Zeile 173: / Zeile 173: @@
   \end{array}
   \right)
-\tag{21}\]
+\tag{23}\]
 \[R_3(\varphi) = \left(
@@ Zeile 181: / Zeile 181: @@
 & 0 & 1
   \end{array}
-\right)\tag{22}\]
+\right)\tag{24}\]
 ==== Determinante ====
-Die Determinante ist der skalare Wert einer Matrix. Die Regel von Sarrus berechnet die Determinante (Abb. 2):
+Die Determinante ist der skalare Wert einer Matrix. Die **Regel von Sarrus** berechnet die Determinante (Abb. 3) wie folgt:
+Die ersten beiden Spalten der Matrix werden rechts nochmals angeschrieben. Entlang der grünen und roten Pfeile werden die Werte multipliziert. Die drei grünen Produkte werden addiert und die drei roten Produkte anschließend subtrahiert.
-<imgcaption image3|Regel von Sarrus>{{ :sarrus_regel.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image3|Regel von Sarrus>{{ :sarrus_regel.png?440 |}}</imgcaption>
 \[\det(\mathbf{M}) = \left|
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 \end{array}
 \right| = \begin{array}{c}
-  + a_{11} \ a_{22} \ a_{33} + a_{12} a_{23} \ a_{31}
+  \color{green}{+ a_{11} \cdot a_{22}\cdot a_{33} + a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}} \\
-  + a_{13} \ a_{21} \ a_{32} \\
+  \color{red}{- a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13} - a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11} - a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}}
-  - a_{31} \ a_{22} \ a_{13} - a_{32} \ a_{23} \ a_{11}
+\end{array}\tag{25}\]
-  - a_{33} \ a_{21} \ a_{12}
-\end{array}\tag{23}\]
 ==== Invertierte Matrix ====
 Die Invertierung (Umkehrung) der Matrix M erfolgt mit Hilfe der Cramerschen Regel: Die Bildung einer Unterdeterminante N$_{ik}$ durch das Herausstreichen der i - ten Spalte und k - ten Zeile.
-\[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\tag{24}\]
+\[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\tag{26}\]
-det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten. Die invertierte Matrix ist dann:
+det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten $b_{ik}$. Die invertierte Matrix ist dann:
 \[M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}
 \left(\begin{array}{ccc}
-  b_{11} & b_{21} & b_{13} \\
+  b_{11} & b_{21} & b_{31} \\
   b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
-  b_{31} & b_{23} & b_{33}
+  b_{13} & b_{23} & b_{33}
-\end{array}\right)\tag{25}\]
+\end{array}\right)\tag{27}\]
 Für die oben genannten Drehmatrizen gilt $R^{-1}(\varphi) = R(-\varphi)$.
@@ Zeile 226: / Zeile 226: @@
   a_{31} & a_{32} & a_{33}
 \end{array}
-\right)\tag{26}\]
+\right)\tag{28}\]
 so ist die transponierte Matrix $M^t$:
@@ Zeile 235: / Zeile 235: @@
   a_{13} & a_{23} & a_{33}
 \end{array}
-\right)\tag{27}\]
+\right)\tag{29}\]
 Es vertauschen sich alle Elemente bis auf die Diagonalelemente gegenseitig. Überträgt man die transponierte Matrix $M^t$ auf die Drehmatrix $R(\varphi)$, so zeigt sich, daß $R^t(\varphi)$ = $R(-\varphi)$ gilt.
@@ Zeile 244: / Zeile 244: @@
 Das Taylorpolynom (auch Taylorreihe/-entwicklung) ist die beliebteste Anwendung zur Näherung von Funktionen an der Stelle $r_0$ mit $|\vec{r} - \vec{r}_0| \ll 1$.
-\[f_{r_0}(\vec{r}) = f(\vec{r}_0) + f'(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) + \frac{1}{2} \cdot f''(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0)^2 + \cdots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot \frac{d^k}{d\vec{r}_0^k} f(\vec{r}_0) \cdot(\vec{r} - \vec{r}_0)^k\tag{28}\]
+\[f_{r_0}(\vec{r}) = f(\vec{r}_0) + f'(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) + \frac{1}{2} \cdot f''(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0)^2 + \cdots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot \frac{d^k}{d\vec{r}_0^k} f(\vec{r}_0) \cdot(\vec{r} - \vec{r}_0)^k\tag{30}\]
-Ein Rechenbeispiel sind die trigonometrischen Funktionen und die e - Funktion:
+Ein Rechenbeispiel sind die trigonometrischen Funktionen und die e-Funktion:
 \[\begin{split}
 e^{\pm\varphi} &= 1 \pm \frac{\varphi}{1!} -
@@ Zeile 258: / Zeile 258: @@
 \frac{\varphi^5}{5!} - ... = \sum_{n=0}^\infty
 \frac{(-1)^n \varphi^{2n+1}}{(2n+1)!}
-\end{split}\tag{29}\]
+\end{split}\tag{31}\]
 ==== Stirling-Interpolation ====
@@ Zeile 276: / Zeile 276: @@
 Die entsprechende Interpolationsgleichung lautet
-$$f(x_0 \pm t h) = f(x_0) \pm t \cdot \delta^1 f(x_0) + \frac{t^2}{2} \cdot \delta^2 f(x_0) \pm \frac{(t + 1) t (t - 1)}{6} \cdot \delta^3 f(x_0) + \frac{(t + 1) t^2 (t - 1)}{24} \cdot \delta^4 f(x_0) \pm \cdots\tag{30}$$
+$$f(x_0 \pm t h) = f(x_0) \pm t \cdot \delta^1 f(x_0) + \frac{t^2}{2} \cdot \delta^2 f(x_0) \pm \frac{(t + 1) t (t - 1)}{6} \cdot \delta^3 f(x_0) + \frac{(t + 1) t^2 (t - 1)}{24} \cdot \delta^4 f(x_0) \pm \cdots\tag{32}$$
 mit
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 \delta^1 f(x_0) &= \frac{1}{2} (\nabla^1 f(x_0 - \frac{1}{2} h) + \Delta^1 f(x_0 + \frac{1}{2} h)) \\
 \delta^3 f(x_0) &= \frac{1}{2} (\nabla^3 f(x_0 - \frac{1}{2} h) + \Delta^3 f(x_0 + \frac{1}{2} h))
-\end{align}\tag{31}\]
+\end{align}\tag{33}\]
 Eine Anwendungsmöglichkeit ist die Bestimmung der mittleren Bahnelemente aus den oskulierenden Bahnelementen. Diese sind jedoch nur innerhalb des Interpolationszeitraums gültig.
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 Komplexe Zahlen entstehen, wenn Quadratwurzeln negative Argumente bei der Berechnung erhalten. Diese werden dann mit $i = \sqrt{-1}$ dargestellt. Eine komplexe Zahl $z$ setzt sich aus einem imaginären Anteil $b$ und einem realen Anteil $a$ zusammen:
-$$z = a + i\cdot b \qquad\text{mit}\qquad i = \sqrt{-1}\tag{32}$$
+$$z = a + i\cdot b \qquad\text{mit}\qquad i = \sqrt{-1}\tag{34}$$
 Für $i$ gilt:
@@ Zeile 304: / Zeile 304: @@
 Tritt die Variante
-$$z^{*} = a - i\cdot b\tag{33}$$
+$$z^{*} = a - i\cdot b\tag{35}$$
-auf, so ist diese konjungiert komplex zu $z$.
+auf, so bezeichnet man diese Zahl als konjungiert komplex zu $z$.
-$$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\tag{34}$$
+$$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\tag{36}$$
-$$\text{komplex:} \qquad (a + ib)(a - ib) = a^2 + a ib - ib a - i^2b^2 = a^2 + b^2\tag{35}$$
+$$\text{komplex:} \qquad (a + ib)(a - ib) = a^2 + a ib - ib a - i^2b^2 = a^2 + b^2\tag{37}$$
 Es gilt $z\cdot z^{*} = a^2 + b^2$, eine reelle Zahl.
-<imgcaption image4|komplexe Zahlen>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image4|Eine komplexe Zahl z und ihre konjugiert komplexe Zahl z*>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
 Eine anschauliche Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatenkreuz. $z$ kann als ein um den Ursprung kreisenden Radius vorgestellt werden. $a$, $b$ und $z$ bilden die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die konjugiert komplexe Form ist die Spiegelung an der reellen Achse.