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--- mehr_mathe [2024/12/16 18:13] – [Stirling-Interpolation] quern
+++ mehr_mathe [2025/04/28 12:25] (aktuell) – [Lineare Gleichungssysteme] hcgreier
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 b_2 &= a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y + a_{23} \cdot z \\
 b_3 &= a_{31} \cdot x + a_{32} \cdot y + a_{33} \cdot z
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{1}\]
 so kann man diese leicht als Matrix und Vektor darstellen:
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 \left(\begin{matrix}
 x \\ y \\ z
-\end{matrix}\right)\]
+\end{matrix}\right)\tag{2}\]
 Die Multiplikation erfolgt mit der folgenden graphischen Rechenregel:
-<imgcaption image1|Drehmatrix um die x - Achse>{{ ::matrize_mal_vektor.png?600 |}}</imgcaption>
+<imgcaption image1|Drehmatrix um die x-Achse>{{ :matrize_mal_vektor.png?600 |}}</imgcaption>
 ===== Vektoren =====
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 \[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\
 y &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
-z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\]
+z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{3}\]
 formt man den Vektor
@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\
 \cos(\beta)\cdot \sin(\alpha)\\
-\sin(\beta)\end{matrix}\right) = r \vec{e}\]
+\sin(\beta)\end{matrix}\right) = r \vec{e}\tag{4}\]
 ==== Skalarprodukt (Punktprodukt) ====
-$$\vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + + v_3 \cdot u_3$$
+$$\vec{v} \cdot \vec{u} = v_1 \cdot u_1 + v_2 \cdot u_2 + + v_3 \cdot u_3\tag{5}$$
 Rechenregeln:
-$$\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}$$
+$$\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}\tag{6}$$
-$$\vec{u} \cdot \vec{u} = |u|^2$$
+$$\vec{u} \cdot \vec{u} = |u|^2\tag{7}$$
-$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos(\theta)$$
+$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos(\theta)\tag{8}$$
 senkrecht $\theta = 90^\circ$:
-$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$
+$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\tag{9}$$
 parallel $\theta = 0^\circ$:
-$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|$$
+$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\tag{10}$$
 ==== Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ====
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 $$\vec{v} \times \vec{u} = \left(\begin{array}
 vv_2 \cdot u_3 - v_3 \cdot u_2 \\ v_3 \cdot u_1 - u_3 \cdot v_1 \\ v_1 \cdot u_2 - u_1 \cdot v_2
-\end{array}\right)$$
+\end{array}\right)\tag{11}$$
 Rechenregeln:
-$$\vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}$$
+$$\vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v}\tag{12}$$
-$$\vec{u} \times \vec{u} = 0$$
+$$\vec{u} \times \vec{u} = 0\tag{13}$$
-$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \sin(\theta)$$
+$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \sin(\theta)\tag{14}$$
 senkrecht $\theta = 90^\circ$:
-$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|$$
+$$\vec{u} \times \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\tag{15}$$
 parallel $\theta = 0^\circ$:
-$$\vec{u} \times \vec{v} = 0$$
+$$\vec{u} \times \vec{v} = 0\tag{16}$$
 ===== Matrizen =====
@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 ==== Drehmatrizen ====
-<imgcaption image2|passive Drehung>{{ :playground:drehung_passiv.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image2|passive Drehung>{{ :drehung_passiv.png |}}</imgcaption>
 Ein Vektor wird mit Hilfe einer Drehmatrix in eine neues Koordinatensystem (i.e. neuer Vektor) gedreht (Abb. 1).
@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
     \sin(\alpha) \\ 0 \\
   \end{matrix}
-\right) = \vec{e}(\alpha,0)\]
+\right) = \vec{e}(\alpha,0)\tag{17}\]
 Nach einer Drehung mit dem Winkel $\varphi$ um die z - Achse erhält man:
@@ Zeile 120: / Zeile 120: @@
     + x \ 0 & + y \ 0 & + z \ 1
   \end{array}
-\right)\]
+\right)\tag{18}\]
 \[\Rightarrow
@@ Zeile 140: / Zeile 140: @@
   \end{matrix}
   \right) = R_3(\varphi)
-\vec{r}(\alpha,0)\]
+\vec{r}(\alpha,0)\tag{19}\]
 Die Drehungen um die x (R$_1$), y (R$_2$) und die z - Achse (R$_3$):
@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
   \end{array}
   \right)
-\]
+\tag{20}\]
 \[R_2(\varphi) = \left(
@@ Zeile 159: / Zeile 159: @@
   \end{array}
   \right)
-\]
+\tag{21}\]
 \[R_3(\varphi) = \left(
@@ Zeile 167: / Zeile 167: @@
 & 0 & 1
   \end{array}
-\right)\]
+\right)\tag{22}\]
 ==== Determinante ====
@@ Zeile 173: / Zeile 173: @@
 Die Determinante ist der skalare Wert einer Matrix. Die Regel von Sarrus berechnet die Determinante (Abb. 2):
-<imgcaption image3|Regel von Sarrus>{{ :playground:sarrus_regel.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image3|Regel von Sarrus>{{ :sarrus_regel.png |}}</imgcaption>
 \[\det(\mathbf{M}) = \left|
@@ Zeile 186: / Zeile 186: @@
   - a_{31} \ a_{22} \ a_{13} - a_{32} \ a_{23} \ a_{11}
   - a_{33} \ a_{21} \ a_{12}
-\end{array}\]
+\end{array}\tag{23}\]
 ==== Invertierte Matrix ====
 Die Invertierung (Umkehrung) der Matrix M erfolgt mit Hilfe der Cramerschen Regel: Die Bildung einer Unterdeterminante N$_{ik}$ durch das Herausstreichen der i - ten Spalte und k - ten Zeile.
-\[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\]
+\[\det(N_{ik}) = (-1)^{i+k} \mathbf{M} \quad und \quad b_{ik} = \frac{\det(N_{ik})}{\det(M)}\tag{24}\]
 det($N_{ik}$) ist eine Streich- oder Unterdeterminante von M. Sie wird aus M gebildet, wenn die i - te Zeile und die k - te Spalte gestrichen wurde. Bei einer 3 $\times$ 3 Matrix sind es neun Unterdeterminanten. Die invertierte Matrix ist dann:
@@ Zeile 199: / Zeile 199: @@
   b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
   b_{31} & b_{23} & b_{33}
-\end{array}\right)\]
+\end{array}\right)\tag{25}\]
 Für die oben genannten Drehmatrizen gilt $R^{-1}(\varphi) = R(-\varphi)$.
@@ Zeile 212: / Zeile 212: @@
   a_{31} & a_{32} & a_{33}
 \end{array}
-\right)\]
+\right)\tag{26}\]
 so ist die transponierte Matrix $M^t$:
@@ Zeile 221: / Zeile 221: @@
   a_{13} & a_{23} & a_{33}
 \end{array}
-\right)\]
+\right)\tag{27}\]
 Es vertauschen sich alle Elemente bis auf die Diagonalelemente gegenseitig. Überträgt man die transponierte Matrix $M^t$ auf die Drehmatrix $R(\varphi)$, so zeigt sich, daß $R^t(\varphi)$ = $R(-\varphi)$ gilt.
@@ Zeile 230: / Zeile 230: @@
 Das Taylorpolynom (auch Taylorreihe/-entwicklung) ist die beliebteste Anwendung zur Näherung von Funktionen an der Stelle $r_0$ mit $|\vec{r} - \vec{r}_0| \ll 1$.
-\[f_{r_0}(\vec{r}) = f(\vec{r}_0) + f'(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) + \frac{1}{2} \cdot f''(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0)^2 + \cdots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot \frac{d^k}{d\vec{r}_0^k} f(\vec{r}_0) \cdot(\vec{r} - \vec{r}_0)^k\]
+\[f_{r_0}(\vec{r}) = f(\vec{r}_0) + f'(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) + \frac{1}{2} \cdot f''(\vec{r}_0) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0)^2 + \cdots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot \frac{d^k}{d\vec{r}_0^k} f(\vec{r}_0) \cdot(\vec{r} - \vec{r}_0)^k\tag{28}\]
 Ein Rechenbeispiel sind die trigonometrischen Funktionen und die e - Funktion:
@@ Zeile 244: / Zeile 244: @@
 \frac{\varphi^5}{5!} - ... = \sum_{n=0}^\infty
 \frac{(-1)^n \varphi^{2n+1}}{(2n+1)!}
-\end{split}\]
+\end{split}\tag{29}\]
 ==== Stirling-Interpolation ====
@@ Zeile 262: / Zeile 262: @@
 Die entsprechende Interpolationsgleichung lautet
-$$f(x_0 \pm t h) = f(x_0) \pm t \cdot \delta^1 f(x_0) + \frac{t^2}{2} \cdot \delta^2 f(x_0) \pm \frac{(t + 1) t (t - 1)}{6} \cdot \delta^3 f(x_0) + \frac{(t + 1) t^2 (t - 1)}{24} \cdot \delta^4 f(x_0) \pm \cdots$$
+$$f(x_0 \pm t h) = f(x_0) \pm t \cdot \delta^1 f(x_0) + \frac{t^2}{2} \cdot \delta^2 f(x_0) \pm \frac{(t + 1) t (t - 1)}{6} \cdot \delta^3 f(x_0) + \frac{(t + 1) t^2 (t - 1)}{24} \cdot \delta^4 f(x_0) \pm \cdots\tag{30}$$
 mit
@@ Zeile 268: / Zeile 268: @@
 \delta^1 f(x_0) &= \frac{1}{2} (\nabla^1 f(x_0 - \frac{1}{2} h) + \Delta^1 f(x_0 + \frac{1}{2} h)) \\
 \delta^3 f(x_0) &= \frac{1}{2} (\nabla^3 f(x_0 - \frac{1}{2} h) + \Delta^3 f(x_0 + \frac{1}{2} h))
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{31}\]
 Eine Anwendungsmöglichkeit ist die Bestimmung der mittleren Bahnelemente aus den oskulierenden Bahnelementen. Diese sind jedoch nur innerhalb des Interpolationszeitraums gültig.
@@ Zeile 279: / Zeile 279: @@
 Komplexe Zahlen entstehen, wenn Quadratwurzeln negative Argumente bei der Berechnung erhalten. Diese werden dann mit $i = \sqrt{-1}$ dargestellt. Eine komplexe Zahl $z$ setzt sich aus einem imaginären Anteil $b$ und einem realen Anteil $a$ zusammen:
-$$z = a + i\cdot b \qquad\text{mit}\qquad i = \sqrt{-1}$$
+$$z = a + i\cdot b \qquad\text{mit}\qquad i = \sqrt{-1}\tag{32}$$
 Für $i$ gilt:
@@ Zeile 290: / Zeile 290: @@
 Tritt die Variante
-$$z^{*} = a - i\cdot b$$
+$$z^{*} = a - i\cdot b\tag{33}$$
 auf, so ist diese konjungiert komplex zu $z$.
-$$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$$
+$$\text{real:} \qquad (a + b)(a - b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2\tag{34}$$
-$$\text{komplex:} \qquad (a + ib)(a - ib) = a^2 + a ib - ib a - i^2b^2 = a^2 + b^2$$
+$$\text{komplex:} \qquad (a + ib)(a - ib) = a^2 + a ib - ib a - i^2b^2 = a^2 + b^2\tag{35}$$
 Es gilt $z\cdot z^{*} = a^2 + b^2$, eine reelle Zahl.
-<imgcaption image4|komplexe Zahlen>{{ :playground:komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image4|komplexe Zahlen>{{ :komplexe_zahlenebene.png |}}</imgcaption>
 Eine anschauliche Darstellung der komplexen Zahlen im Koordinatenkreuz. $z$ kann als ein um den Ursprung kreisenden Radius vorgestellt werden. $a$, $b$ und $z$ bilden die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks. Die konjugiert komplexe Form ist die Spiegelung an der reellen Achse.