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--- mathematische_grundlagen [2025/08/23 15:08] – [Mathematische Grundlagen] hcgreier
+++ mathematische_grundlagen [2025/10/15 22:11] (aktuell) – [kartesisch → sphärisch] quern
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 ==== Tabelle Grad/Radiant ====
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 ^  Tabelle 1  ||
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 Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte //kaufmännische Rundung//.
-==== Sexagesimalsystem ====
+===== Sexagesimalsystem =====
 Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter.
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 $\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt.
 ==== Cosinus und Arcuscosinus ====
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 ^  Tabelle 4  ||||
-^  Funktion    ^  ausgedrückt durch  ^^^
+^  Funktion   ^  ausgedrückt durch  ^^^
 |             |  $\sin$                                     |  $\cos$                                     |  $\tan$                                       |
 |  $\sin(x)$  |  $\sin(x)$                                  |  $\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$                    |  $\pm\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$  |
-|  $\cos(x)$  |  $\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$                    |  $\cos(x)$                                  |  $\pm\frac{1}{\sqrt{1 +\tan^2(x)}}$    |
+|  $\cos(x)$  |  $\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$                    |  $\cos(x)$                                  |  $\pm\frac{1}{\sqrt{1 +\tan^2(x)}}$  |
 |  $\tan(x)$  |  $\pm\frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}$  |  $\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}$  |  $\tan(x)$                                   |
 ==== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ====
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 ==== Umkehrfunktionen ====
-Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittles dem natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:
+Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittels des natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:
 \[\begin{align}
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 auch als Eulersche Identität bezeichnet.
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-| $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$                        | $\cosh(x) \pm \sin(x) =\mathrm{e}^{\pm x}$        |
+| $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ | $\cosh(x) \pm \sin(x) =\mathrm{e}^{\pm x}$ |
-| $\cosh \big(\operatorname{arsinh}(x)\big) = \sqrt{x^2 + 1}$  | $\sinh\big(\operatorname{arcosh}(x)\big) = \sqrt{x^2 - 1}$  |
+| $\cosh \big(\operatorname{arsinh}(x)\big) = \sqrt{x^2 + 1}$ | $\sinh\big(\operatorname{arcosh}(x)\big) = \sqrt{x^2 - 1}$ |
-| $\cosh(\mathrm{i}\cdot x) = \cos(x)$                | $\sinh(\mathrm{i}\cdot x) = \sin(x)$                |
+| $\cosh(\mathrm{i}\cdot x) = \cos(x)$ | $\sinh(\mathrm{i}\cdot x) = \sin(x)$ |
 ===== Exponentialfunktion =====
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 $$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$
-$$\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$
+$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$
 $$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$
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 $$\alpha = \varphi$$
+Eine ausführliche Beschreibung der quadrantentreuen Darstellung wird auf einer [[:der_richtige_quadrant|eigenen Seite]] illustriert.
 ==== Additionstheoreme ====