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mathematische_grundlagen [2025/02/13 23:19] – [Reduktionsfunktion] hcgreiermathematische_grundlagen [2025/10/15 22:11] (aktuell) – [kartesisch → sphärisch] quern
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 ====== Mathematische Grundlagen ====== ====== Mathematische Grundlagen ======
  
-In diesem Kapitel werden die wichtigsten Formeln - die hier im Wiki vorkommen - illustriert.+In diesem Kapitel werden die wichtigsten Formeln -- die hier im Wiki vorkommen -- illustriert.
  
 ===== Grad- und Bogenmass ===== ===== Grad- und Bogenmass =====
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 ==== Tabelle Grad/Radiant ==== ==== Tabelle Grad/Radiant ====
 +
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="140px,140px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="140px,140px"&float=center}}
 ^  Tabelle 1  || ^  Tabelle 1  ||
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 Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte //kaufmännische Rundung//. Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte //kaufmännische Rundung//.
  
-==== Sexagesimalsystem ====+===== Sexagesimalsystem =====
  
 Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter. Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter.
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 $\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt. $\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt.
 +
 ==== Cosinus und Arcuscosinus ==== ==== Cosinus und Arcuscosinus ====
  
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,180px,180px,180px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,180px,180px,180px"&float=center}}
 ^  Tabelle 4  |||| ^  Tabelle 4  ||||
-^  Funktion    ^  ausgedrückt durch  ^^^+^  Funktion   ^  ausgedrückt durch  ^^^
 |             |  $\sin$                                     |  $\cos$                                     |  $\tan$                                       | |             |  $\sin$                                     |  $\cos$                                     |  $\tan$                                       |
 |  $\sin(x)$  |  $\sin(x)$                                  |  $\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$                    |  $\pm\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$  | |  $\sin(x)$  |  $\sin(x)$                                  |  $\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$                    |  $\pm\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$  |
-|  $\cos(x)$  |  $\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$                    |  $\cos(x)$                                  |  $\pm\frac{1}{\sqrt{1 +\tan^2(x)}}$    |+|  $\cos(x)$  |  $\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$                    |  $\cos(x)$                                  |  $\pm\frac{1}{\sqrt{1 +\tan^2(x)}}$  |
 |  $\tan(x)$  |  $\pm\frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}$  |  $\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}$  |  $\tan(x)$                                   | |  $\tan(x)$  |  $\pm\frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}$  |  $\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}$  |  $\tan(x)$                                   |
 ==== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ==== ==== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ====
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 \[\begin{align} \[\begin{align}
 \cosh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{26}\\ \cosh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{26}\\
-&= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6!} + \dots+&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots
 \end{align}\] \end{align}\]
  
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 ==== Umkehrfunktionen ==== ==== Umkehrfunktionen ====
  
-Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittles dem natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:+Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittels des natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:
  
 \[\begin{align} \[\begin{align}
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 auch als Eulersche Identität bezeichnet. auch als Eulersche Identität bezeichnet.
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,300px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,300px"&float=center}}
-| $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$                        | $\cosh(x) \pm \sin(x) =\mathrm{e}^{\pm x}$        | +| $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ | $\cosh(x) \pm \sin(x) =\mathrm{e}^{\pm x}$ | 
-| $\cosh \big(\operatorname{arsinh}(x)\big) = \sqrt{x^2 + 1}$  | $\sinh\big(\operatorname{arcosh}(x)\big) = \sqrt{x^2 - 1}$  | +| $\cosh \big(\operatorname{arsinh}(x)\big) = \sqrt{x^2 + 1}$ | $\sinh\big(\operatorname{arcosh}(x)\big) = \sqrt{x^2 - 1}$ | 
-| $\cosh(\mathrm{i}\cdot x) = \cos(x)$                | $\sinh(\mathrm{i}\cdot x) = \sin(x)$                |+| $\cosh(\mathrm{i}\cdot x) = \cos(x)$ | $\sinh(\mathrm{i}\cdot x) = \sin(x)$ |
  
 ===== Exponentialfunktion ===== ===== Exponentialfunktion =====
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 $$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$ $$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$
  
-$$\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$+$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$
  
 $$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$ $$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$
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 <imgcaption image13|>{{ :nautisches_dreieck.png?600 |Das sphärische Dreieck}}</imgcaption> <imgcaption image13|>{{ :nautisches_dreieck.png?600 |Das sphärische Dreieck}}</imgcaption>
  
-Verbindet man drei Punkte auf einer Kugeloberfläche durch Grosskreisestücke, so erhält man ein sphärisches Dreieck wie in **Abb.13** dargestellt. Es wird beschrieben durch die **Winkel** $a$, $b$ und $c$, unter denen die Eckpunkte vom Kugelmittelpunkt $M$ aus erscheinen (kurz Seiten genannt) und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, unter denen sich diese Grosskreisestücke in den Eckpunkten schneiden.+Verbindet man drei Punkte auf einer Kugeloberfläche durch Großkreisestücke, so erhält man ein sphärisches Dreieck wie in **Abb.13** dargestellt. Es wird beschrieben durch die **Winkel** $a$, $b$ und $c$, unter denen die Eckpunkte vom Kugelmittelpunkt $M$ aus erscheinen (kurz Seiten genannt) und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, unter denen sich diese Grosskreisestücke in den Eckpunkten schneiden.
  
 ==== Der Cosinussatz im sphärischen Dreieck ==== ==== Der Cosinussatz im sphärischen Dreieck ====
Zeile 480: Zeile 482:
 \end{align}\tag{42}\] \end{align}\tag{42}\]
  
-===== karthesisch ↔ sphärisch =====+===== kartesisch ↔ sphärisch =====
  
-Die Umrechnung zwischen karthesisch und sphärisch ist wichtig bei den Koordinatentransformationen.+Die Umrechnung zwischen kartesisch und sphärisch ist wichtig bei den Koordinatentransformationen.
  
-<imgcaption image14|>{{ :koordinaten_kartesisch_sphaerisch.png |Karthesische und sphärische Koordinaten}}</imgcaption>+<imgcaption image14|>{{ :koordinaten_kartesisch_sphaerisch.png |Kartesische und sphärische Koordinaten}}</imgcaption>
  
-==== sphärisch → karthesisch ====+==== sphärisch → kartesisch ====
  
-Die Umwandlung in die karthesischen Koordinaten ist einfach. Sei $\alpha$ die Länge in der $x,y$-Ebene und $\beta$ die Breite über- oder unterhalb dieser Ebene. $r$ ist der Abstand des Objekts vom Ursprung.+Die Umwandlung in die kartesischen Koordinaten ist einfach. Sei $\alpha$ die Länge in der $x,y$-Ebene und $\beta$ die Breite über- oder unterhalb dieser Ebene. $r$ ist der Abstand des Objekts vom Ursprung.
  
 \[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\ \[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\
Zeile 494: Zeile 496:
 z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{43}\] z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{43}\]
  
-==== karthesisch → sphärisch ====+==== kartesisch → sphärisch ====
  
-Die Umrechnung von karthesisch zu sphärisch ist komplexer, weil die quadrantenrichtige Darstellung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird die Breite $\beta$ bestimmt mit+Die Umrechnung von kartesisch zu sphärisch ist komplexer, weil die quadrantenrichtige Darstellung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird die Breite $\beta$ bestimmt mit
  
 $$\beta = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) \quad \text{mit} \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{44}$$ $$\beta = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) \quad \text{mit} \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{44}$$
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 $$\alpha = \varphi$$ $$\alpha = \varphi$$
  
 +Eine ausführliche Beschreibung der quadrantentreuen Darstellung wird auf einer [[:der_richtige_quadrant|eigenen Seite]] illustriert.
 ==== Additionstheoreme ==== ==== Additionstheoreme ====
  
mathematische_grundlagen.1739485156.txt.gz · Zuletzt geändert: 2025/02/13 23:19 von hcgreier
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