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mathematische_grundlagen [2024/09/01 13:15] – [Trigonometrische Funktionen] hcgreiermathematische_grundlagen [2025/10/15 22:11] (aktuell) – [kartesisch → sphärisch] quern
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 ====== Mathematische Grundlagen ====== ====== Mathematische Grundlagen ======
  
-In diesem Kapitel werden die wichtigsten Formeln - die hier im Wiki vorkommen - illustriert.+In diesem Kapitel werden die wichtigsten Formeln -- die hier im Wiki vorkommen -- illustriert.
  
-===== Grad- und Bogenmaß =====+===== Grad- und Bogenmass =====
  
-==== Gradmaß ====+==== Gradmass ====
  
 Ein voller Kreis wird in 360° geteilt. $1^\circ$ ist dann logischerweise der $\frac{1}{360}$ Teil eines Vollkreises. Ein voller Kreis wird in 360° geteilt. $1^\circ$ ist dann logischerweise der $\frac{1}{360}$ Teil eines Vollkreises.
  
-<imgcaption image1|>{{ :gradmass.png |Gradmaß}}</imgcaption>+<imgcaption image1|>{{ :gradmass.png |Gradmass}}</imgcaption>
  
-Mit Hilfe der Kreiszahl $\pi = 3.14159265\ldots$ wird aus dem Bogenmaß $s$ das Gradmaß $\alpha$ berechnet:+Mit Hilfe der Kreiszahl $\pi = 3.14159265\ldots$ wird aus dem Bogenmass $s$ das Gradmass $\alpha$ berechnet:
 $$\alpha = \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot s\tag{1}$$ $$\alpha = \frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot s\tag{1}$$
  
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   * $1''$ = 1 Bogensekunde = $\tfrac{1}{60}$ Teil einer Bogenminute = $\tfrac{1}{1296000}$ Teil eines Vollkreises   * $1''$ = 1 Bogensekunde = $\tfrac{1}{60}$ Teil einer Bogenminute = $\tfrac{1}{1296000}$ Teil eines Vollkreises
  
-==== Bogenmaß ====+==== Bogenmass ====
  
-<imgcaption image2|>{{ bogenmass.png |Bogenmaß}}</imgcaption>+<imgcaption image2|>{{ bogenmass.png |Bogenmass}}</imgcaption>
  
-Das Bogenmaß eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens $s$ zum Radius $r$. Der Vollkreis, also der gesamte Bogen des Kreises (Umfang) lautet $2\pi r$. Das Bogenmaß für den Vollkreis lautet daher $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$.+Das Bogenmass eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis der Länge des Kreisbogens $s$ zum Radius $r$. Der Vollkreis, also der gesamte Bogen des Kreises (Umfang) lautet $2\pi r$. Das Bogenmass für den Vollkreis lautet daher $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$.
  
 Die Umkehrung erfolgt mit der Gleichung: Die Umkehrung erfolgt mit der Gleichung:
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 ==== Tabelle Grad/Radiant ==== ==== Tabelle Grad/Radiant ====
 +
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="140px,140px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="140px,140px"&float=center}}
 ^  Tabelle 1  || ^  Tabelle 1  ||
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 <WRAP center round info 100%> <WRAP center round info 100%>
-Die Floor-Funktion hat noch etliche andere Bezeichnungen, z.B. Int-Funktion, Gauß- oder Entierklammer.+Die Floor-Funktion hat noch etliche andere Bezeichnungen, z.B. Int-Funktion, Gauss- oder Entierklammer.
 </WRAP> </WRAP>
  
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 <imgcaption image4|>{{ :ceiling_funktion.png |Ceiling-Funktion}}</imgcaption> <imgcaption image4|>{{ :ceiling_funktion.png |Ceiling-Funktion}}</imgcaption>
  
-Die Ceilingfunktion bestimmt die nächstgrößere **ganze** Zahl (ceiling => englisch für "//Decke//").+Die Ceilingfunktion bestimmt die nächstgrössere **ganze** Zahl (ceiling => englisch für "//Decke//").
  
 $$\mathrm{ceil}(x)=\lceil x\rceil\tag{6}$$ $$\mathrm{ceil}(x)=\lceil x\rceil\tag{6}$$
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 <WRAP center round box 100%> <WRAP center round box 100%>
-==== Beispielcode für JavaScript ====+==== Beispielcode für JavaScript und Python ====
  
 <code> <code>
 +// JavaScript
 function red(deg) { function red(deg) {
   return (deg % 360 + 360) % 360;   return (deg % 360 + 360) % 360;
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 </code> </code>
  
-Die Funktion übernimmt eine dezimale Winkelgröße ''deg'' und ermittelt mithilfe der Modulo-Funktion ''%'' das Intervall von [0°-360°]. Durch die 2-malige Verwendung der Modulo-Funktion ist der obige Ausdruck auch für negative Zahlen gültig.+Die Funktion übernimmt eine dezimale Winkelgrösse ''deg'' und ermittelt mithilfe der Modulo-Funktion ''%'' das Intervall von [0°-360°]. Durch die 2-malige Verwendung der Modulo-Funktion ist der obige Ausdruck auch für negative Zahlen gültig. 
 + 
 +<code> 
 +# Python 
 +def red(deg): 
 +    return (deg % 360 + 360) % 360 
 +</code>
 </WRAP> </WRAP>
  
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 Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte //kaufmännische Rundung//. Diese Funktion rundet den Wert $x$ auf $y$ Stellen hinter dem Komma. Es handelt sich um die sogenannte //kaufmännische Rundung//.
  
-==== Sexagesimalsystem ====+===== Sexagesimalsystem =====
  
 Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter. Das Sexagesimalsystem ist eine formatierte Ausgabe, basierend auf dem $\tfrac{1}{60}$ Teil der Zahl $W$. Die Konvertierung vom Dezimalsystem zum Sexagesimalsystem ist folgender: Man startet mit W in Umdrehungen oder Tagen. Liegt $W$ jedoch in Grad oder Stunden vor, so ist der Wert vorab entsprechend durch 360$^{\circ}$ bzw. 24$^h$ zu teilen. Ggf. überspringt man $a$ und macht mit $b$ weiter.
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 $\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt. $\arcsin (\dots)$ wird manchmal auch zu $\text{asn}(\dots)$ abgekürzt.
 +
 ==== Cosinus und Arcuscosinus ==== ==== Cosinus und Arcuscosinus ====
  
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 <WRAP center round important 100%> <WRAP center round important 100%>
-In den gängigen Programmiersprachen werden die Argumente von trigonometrischen Funktionen ''sin'', ''cos'', ''tan'' immer in **Radiant** (Bogenmaß) verlangt. Viele Algorithmen auf diesen Seiten verwenden Winkelangaben in **Grad**. Man sollte daher nicht vergessen, diese Gradwerte mittels Multiplikation mit $\tfrac{\pi}{180}$ [[:mathematische_grundlagen#bogenmass|in Radiant umzurechnen]]!+In den gängigen Programmiersprachen werden die Argumente von trigonometrischen Funktionen ''sin'', ''cos'', ''tan'' immer in **Radiant** (Bogenmass) verlangt. Viele Algorithmen auf diesen Seiten verwenden Winkelangaben in **Grad**. Man sollte daher nicht vergessen, diese Gradwerte mittels Multiplikation mit $\tfrac{\pi}{180}$ [[:mathematische_grundlagen#bogenmass|in Radiant umzurechnen]]!
 </WRAP> </WRAP>
  
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,180px,180px,180px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,180px,180px,180px"&float=center}}
 ^  Tabelle 4  |||| ^  Tabelle 4  ||||
-^  Funktion    ^  ausgedrückt durch  ^^^+^  Funktion   ^  ausgedrückt durch  ^^^
 |             |  $\sin$                                     |  $\cos$                                     |  $\tan$                                       | |             |  $\sin$                                     |  $\cos$                                     |  $\tan$                                       |
 |  $\sin(x)$  |  $\sin(x)$                                  |  $\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$                    |  $\pm\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$  | |  $\sin(x)$  |  $\sin(x)$                                  |  $\pm\sqrt{1-\cos^2(x)}$                    |  $\pm\frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}}$  |
-|  $\cos(x)$  |  $\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$                    |  $\cos(x)$                                  |  $\pm\frac{1}{\sqrt{1 +\tan^2(x)}}$    |+|  $\cos(x)$  |  $\pm\sqrt{1-\sin^2(x)}$                    |  $\cos(x)$                                  |  $\pm\frac{1}{\sqrt{1 +\tan^2(x)}}$  |
 |  $\tan(x)$  |  $\pm\frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}$  |  $\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}$  |  $\tan(x)$                                   | |  $\tan(x)$  |  $\pm\frac{\sin(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}$  |  $\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{\cos(x)}$  |  $\tan(x)$                                   |
 ==== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ==== ==== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ====
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 \[\begin{align} \[\begin{align}
 \cosh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{26}\\ \cosh(x) &= \frac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\tag{26}\\
-&= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6!} + \dots+&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots
 \end{align}\] \end{align}\]
  
Zeile 353: Zeile 362:
 ==== Umkehrfunktionen ==== ==== Umkehrfunktionen ====
  
-Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittles dem natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:+Die Umkehrfunktionen werden als Areasinus, Areacosinus und Areatangens bezeichnet. Sie sind mittels des natürlichen Logarithmus wie folgt darstellbar:
  
 \[\begin{align} \[\begin{align}
 \operatorname{arsinh}(x) &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\\ \operatorname{arsinh}(x) &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\\
 \operatorname{arcosh}(x) &= \ln(x - \sqrt{x^2 - 1})\quad x\ge 1\tag{28}\\ \operatorname{arcosh}(x) &= \ln(x - \sqrt{x^2 - 1})\quad x\ge 1\tag{28}\\
-\operatorname{artanh}(x) &= \frac{1}{2}\cdot \ln(\frac{1+x}{1-x})\quad \forall x\ne 1+\operatorname{artanh}(x) &= \frac{1}{2}\cdot \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\quad \forall x\ne 1
 \end{align}\] \end{align}\]
  
Zeile 366: Zeile 375:
 auch als Eulersche Identität bezeichnet. auch als Eulersche Identität bezeichnet.
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,300px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="300px,300px"&float=center}}
-| $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$                        | $\cosh(x) \pm \sin(x) =\mathrm{e}^{\pm x}$        | +| $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ | $\cosh(x) \pm \sin(x) =\mathrm{e}^{\pm x}$ | 
-| $\cosh \big(\operatorname{arsinh}(x)\big) = \sqrt{x^2 + 1}$  | $\sinh\big(\operatorname{arcosh}(x)\big) = \sqrt{x^2 - 1}$  | +| $\cosh \big(\operatorname{arsinh}(x)\big) = \sqrt{x^2 + 1}$ | $\sinh\big(\operatorname{arcosh}(x)\big) = \sqrt{x^2 - 1}$ | 
-| $\cosh(\mathrm{i}\cdot x) = \cos(x)$                | $\sinh(\mathrm{i}\cdot x) = \sin(x)$                |+| $\cosh(\mathrm{i}\cdot x) = \cos(x)$ | $\sinh(\mathrm{i}\cdot x) = \sin(x)$ |
  
 ===== Exponentialfunktion ===== ===== Exponentialfunktion =====
Zeile 411: Zeile 420:
 $$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$ $$\log_b(x\cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\tag{33}$$
  
-$$\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$+$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\tag{34}$$
  
 $$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$ $$\log_b(x^y) = y\cdot \log_b(x)\tag{35}$$
Zeile 427: Zeile 436:
 ===== Sphärische Trigonometrie ===== ===== Sphärische Trigonometrie =====
  
-Die sphärische Trigonometrie wird unter anderem in der Transformation der Koordinaten gebraucht. Die geometrische Definition der Großkreise ist die Schnittlinie zwischen einer Kugel und einer Ebene, die durch den Mittelpunkt $M$ der Kugel verläuft.+Die sphärische Trigonometrie wird unter anderem in der Transformation der Koordinaten gebraucht. Die geometrische Definition der Grosskreise ist die Schnittlinie zwischen einer Kugel und einer Ebene, die durch den Mittelpunkt $M$ der Kugel verläuft.
  
 <imgcaption image13|>{{ :nautisches_dreieck.png?600 |Das sphärische Dreieck}}</imgcaption> <imgcaption image13|>{{ :nautisches_dreieck.png?600 |Das sphärische Dreieck}}</imgcaption>
  
-Verbindet man drei Punkte auf einer Kugeloberfläche durch Großkreisestücke, so erhält man ein sphärisches Dreieck wie in **Abb.13** dargestellt. Es wird beschrieben durch die **Winkel** $a$, $b$ und $c$, unter denen die Eckpunkte vom Kugelmittelpunkt $M$ aus erscheinen (kurz Seiten genannt) und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, unter denen sich diese Großkreisestücke in den Eckpunkten schneiden.+Verbindet man drei Punkte auf einer Kugeloberfläche durch Großkreisestücke, so erhält man ein sphärisches Dreieck wie in **Abb.13** dargestellt. Es wird beschrieben durch die **Winkel** $a$, $b$ und $c$, unter denen die Eckpunkte vom Kugelmittelpunkt $M$ aus erscheinen (kurz Seiten genannt) und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, unter denen sich diese Grosskreisestücke in den Eckpunkten schneiden.
  
 ==== Der Cosinussatz im sphärischen Dreieck ==== ==== Der Cosinussatz im sphärischen Dreieck ====
Zeile 473: Zeile 482:
 \end{align}\tag{42}\] \end{align}\tag{42}\]
  
-===== karthesisch ↔ sphärisch =====+===== kartesisch ↔ sphärisch =====
  
-Die Umrechnung zwischen karthesisch und sphärisch ist wichtig bei den Koordinatentransformationen.+Die Umrechnung zwischen kartesisch und sphärisch ist wichtig bei den Koordinatentransformationen.
  
-<imgcaption image14|>{{ :koordinaten_kartesisch_sphaerisch.png |Karthesische und sphärische Koordinaten}}</imgcaption>+<imgcaption image14|>{{ :koordinaten_kartesisch_sphaerisch.png |Kartesische und sphärische Koordinaten}}</imgcaption>
  
-==== sphärisch → karthesisch ====+==== sphärisch → kartesisch ====
  
-Die Umwandlung in die karthesischen Koordinaten ist einfach. Sei $\alpha$ die Länge in der $x,y$-Ebene und $\beta$ die Breite über- oder unterhalb dieser Ebene. $r$ ist der Abstand des Objekts vom Ursprung.+Die Umwandlung in die kartesischen Koordinaten ist einfach. Sei $\alpha$ die Länge in der $x,y$-Ebene und $\beta$ die Breite über- oder unterhalb dieser Ebene. $r$ ist der Abstand des Objekts vom Ursprung.
  
 \[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\ \[\begin{align} x &= r\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\alpha)\\
Zeile 487: Zeile 496:
 z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{43}\] z &= r\cdot \sin(\beta)\end{align}\tag{43}\]
  
-==== karthesisch → sphärisch ====+==== kartesisch → sphärisch ====
  
-Die Umrechnung von karthesisch zu sphärisch ist komplexer, weil die quadrantenrichtige Darstellung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird die Breite $\beta$ bestimmt mit+Die Umrechnung von kartesisch zu sphärisch ist komplexer, weil die quadrantenrichtige Darstellung berücksichtigt werden muss. Zunächst wird die Breite $\beta$ bestimmt mit
  
 $$\beta = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) \quad \text{mit} \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{44}$$ $$\beta = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) \quad \text{mit} \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag{44}$$
Zeile 515: Zeile 524:
 $$\alpha = \varphi$$ $$\alpha = \varphi$$
  
 +Eine ausführliche Beschreibung der quadrantentreuen Darstellung wird auf einer [[:der_richtige_quadrant|eigenen Seite]] illustriert.
 ==== Additionstheoreme ==== ==== Additionstheoreme ====
  
Zeile 527: Zeile 537:
 $$\tan(2\cdot\varphi) = \frac{2\cdot\tan \varphi}{1 - \tan^2(\varphi)}\tag{53}$$ $$\tan(2\cdot\varphi) = \frac{2\cdot\tan \varphi}{1 - \tan^2(\varphi)}\tag{53}$$
  
-===== Interpolation =====+===== Mathematische Anwendungen ===== 
 + 
 +Weitere mathematische Anwendungen werden auf einer eigenen [[:mehr_mathe|Seite]] behandelt. 
 + 
 +==== Interpolation ====
  
-Die Interpolation hat aufgrund ihres Umfangs eine [[:interpolation|eigene Seite erhalten]].+Die Interpolation hat aufgrund ihres Umfangs eine [[:interpolation|eigene Seite]] erhalten.
  
-===== Iteration =====+==== Iteration ====
  
-Auch die Iteration (also das Prinzip des rekursiven Einsetzens unter Einhaltung der Konvergenz) wird in einer [[:iteration|eigenen Seite dokumentiert]].+Auch die Iteration (also das Prinzip des rekursiven Einsetzens unter Einhaltung der Konvergenz) wird in einer [[:iteration|eigenen Seite]] dokumentiert.
mathematische_grundlagen.1725189306.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/12/20 01:34 (Externe Bearbeitung)
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