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--- loesung_der_keplergleichung [2025/10/23 23:30] – quern
+++ loesung_der_keplergleichung [2025/10/26 22:14] (aktuell) – quern
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 $A$ = Aphel (Sonnenferne)\\
 $K$ = umlaufender Körper (Planet, Komet,...)\\
-$a = \overline{ZP}\dots$ große Halbachse\\
+$a = \overline{ZP}$ = große Halbachse\\
-$e = \overline{ZS}\dots$ lineare Exzentrizität\\
+$e = \overline{ZS}$ = lineare Exzentrizität\\
 $b$ = kleine Halbachse, $b^2 = a^2 - e^2$\\
 $\epsilon = \frac{\overline{ZS}}{\overline{ZP}} = \frac{e}{a}\dots$ numerische Exzentrizität\\
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 </WRAP>
-Die Strecke $\overline{PA} $ ist die große Achse der Bahn. Das Zentrum $Z$ der Ellipse liegt sowohl exakt in der Mitte zwischen dem Perihel $P$ und dem Aphel $A$ als auch in der Mitte zwischen den Brennpunkten.
+Die Strecke $\overline{PA}$ ist die große Achse der Bahn. Das Zentrum $Z$ der Ellipse liegt sowohl exakt in der Mitte zwischen dem Perihel $P$ und dem Aphel $A$ als auch in der Mitte zwischen den Brennpunkten.
 $K$ (für //Körper//) ist die Position des Objekts zu einem gegebenen Zeitpunkt. Die Strecke $\overline{SK}$ ist der Radiusvektor $r$ des Objekts zu diesem Zeitpunkt; diese Entfernung wird in [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Astronomischen Einheiten]] $AU$ angegeben. Die wahre Anomalie $\nu$ zu diesem Zeitpunkt ist der Winkel zwischen $\overline{SP}$ und $\overline{SK}$; das ist der von dem Objekt seit dem Durchlaufen des Perihels $P$ beschriebene Winkel.
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 <imgcaption image2|Maßgebliche Winkel für die Keplergleichung>{{ :keplergleichung_winkel.png?800 |}}</imgcaption>
-Die mittlere Anomalie $M$ ist also der Winkelabstand zum Perihel, den der Planet haben würde, wenn er mit konstanter Geschwindigkeit die Sonne umliefe.
+Die mittlere Anomalie $M$ ist also der Winkelabstand zum Perihel, den der Planet haben würde, wenn er mit konstanter Geschwindigkeit die Sonne umlaufen würde.
 Definitionsgemäß wächst der Winkel $M$ linear (gleichförmig) mit der Zeit. Der Wert von $M$ ist leicht zu finden, da im Perihel $M = 0^{\circ}$ gilt und der Winkel während eines vollständigen Umlaufes um exakt $360^{\circ}$ zunimmt.
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 In die Formel der Keplergleichung müssen die Winkel $M$ und $E$ in **Bogenmaß** eingesetzt werden. In den Programmiersprachen werden die Argumente von trigonometrischen Funktionen ohnehin im Bogenmaß erwartet. Soll die Berechnung aber im //Gradmodus// durchgeführt werden, dann muss $\epsilon$ mit dem Umrechnungsfaktor $\tfrac{180}{\pi}$ vom [[:mathematische_grundlagen#grad-_und_bogenmass|Bogenmaß in Grad]], multipliziert werden. Man nennt die umgerechnete Größe $\epsilon_0$ modifizierte Exzentrizität. Die Keplergleichung lautet dann
-\[ E = M + \epsilon_0\cdot \sin E \tag{7}\]
+\[E = M + \epsilon_0\cdot \sin E \tag{7}\]
 <WRAP center round box 100%>
-$\epsilon_0 = \epsilon\cdot \tfrac{180}{\pi}\dots$ modifizierte Exzentrizität \\
+$\epsilon_0 = \epsilon\cdot \tfrac{180}{\pi}$ = modifizierte Exzentrizität \\
-$E, M\dots$ Winkel in Grad
+$E, M$ = Winkel in Grad
 </WRAP>
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 | 24  | 30.533515      | 48  | 32.334417      | 72  | 32.360643                  | 96  | 32.361002      |
-Die ersten beiden //kursiven// Zahlen sind die Startwerte, also die ersten beiden berechneten Werte, mit denen die Iterationsschleife gestartet wird. Die restlichen sind die 94 Iterationen, bis eine Genauigkeit von 6 Kommastellen erreicht wird, d.h. die Differenz in der 6. Kommastelle = 0 wird. Nach 50 Iterationen weicht das Ergebnis (<wrap em>rot:</wrap> $32\overset{\circ}{.}345452$) immer noch um mehr als $0\overset{\circ}{.}01$ vom korrekten Wert ($32\overset{\circ}{.}361002$) ab!
+Die ersten beiden //kursiven// Zahlen sind die Startwerte, also die ersten beiden berechneten Werte, mit denen die Iterationsschleife gestartet wird. Die restlichen sind die 94 Iterationen, bis eine Genauigkeit von 6 Kommastellen erreicht wird, d.h., die Differenz in der 6. Kommastelle = 0 wird. Nach 50 Iterationen weicht das Ergebnis (<wrap em>rot:</wrap> $32\overset{\circ}{.}345452$) immer noch um mehr als $0\overset{\circ}{.}01$ vom korrekten Wert ($32\overset{\circ}{.}361002$) ab!
 Es zeigt sich, dass derart viele Iterationen nur bei sehr großen Werten für $\epsilon$ auftreten, die sehr nahe an $1$ liegen. Die höchste Exzentrizität der Planeten hat Merkur* mit etwa $\epsilon = 0.205631^{\circ}$ (für Epoche $J2000$). Die Berechnung für alle Planeten mit dieser Methode sollte daher keine Probleme bereiten. Für Kometen, die eine sehr hohe Exzentrizität haben können, empfiehlt sich diese Methode nicht.