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Zuletzt gesehen: • Mondposition nach Montenbruck & Pfleger • Einfache Bahnbestimmung von Kometen • Mondposition nach Meeus • Lösung der Keplergleichung • Gültigkeitszeiträume
loesung_der_keplergleichung

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loesung_der_keplergleichung [2025/10/23 23:26] – quernloesung_der_keplergleichung [2025/10/26 22:14] (aktuell) – quern
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 $A$ = Aphel (Sonnenferne)\\ $A$ = Aphel (Sonnenferne)\\
 $K$ = umlaufender Körper (Planet, Komet,...)\\ $K$ = umlaufender Körper (Planet, Komet,...)\\
-$a = \overline{ZP}\dots$ große Halbachse\\ +$a = \overline{ZP}$ = große Halbachse\\ 
-$e = \overline{ZS}\dots$ lineare Exzentrizität\\ +$e = \overline{ZS}$ = lineare Exzentrizität\\ 
-$b\dots$ kleine Halbachse, $b^2 = a^2 - e^2$\\+$b$ = kleine Halbachse, $b^2 = a^2 - e^2$\\
 $\epsilon = \frac{\overline{ZS}}{\overline{ZP}} = \frac{e}{a}\dots$ numerische Exzentrizität\\ $\epsilon = \frac{\overline{ZS}}{\overline{ZP}} = \frac{e}{a}\dots$ numerische Exzentrizität\\
 $\overline{SP} = q = a\cdot(1 - \epsilon)\dots$ Perihelabstand\\ $\overline{SP} = q = a\cdot(1 - \epsilon)\dots$ Perihelabstand\\
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 </WRAP> </WRAP>
  
-Die Strecke $\overline{PA} $ ist die große Achse der Bahn. Das Zentrum $Z$ der Ellipse liegt sowohl exakt in der Mitte zwischen dem Perihel $P$ und dem Aphel $A$ als auch in der Mitte zwischen den Brennpunkten.+Die Strecke $\overline{PA}$ ist die große Achse der Bahn. Das Zentrum $Z$ der Ellipse liegt sowohl exakt in der Mitte zwischen dem Perihel $P$ und dem Aphel $A$ als auch in der Mitte zwischen den Brennpunkten.
  
 $K$ (für //Körper//) ist die Position des Objekts zu einem gegebenen Zeitpunkt. Die Strecke $\overline{SK}$ ist der Radiusvektor $r$ des Objekts zu diesem Zeitpunkt; diese Entfernung wird in [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Astronomischen Einheiten]] $AU$ angegeben. Die wahre Anomalie $\nu$ zu diesem Zeitpunkt ist der Winkel zwischen $\overline{SP}$ und $\overline{SK}$; das ist der von dem Objekt seit dem Durchlaufen des Perihels $P$ beschriebene Winkel. $K$ (für //Körper//) ist die Position des Objekts zu einem gegebenen Zeitpunkt. Die Strecke $\overline{SK}$ ist der Radiusvektor $r$ des Objekts zu diesem Zeitpunkt; diese Entfernung wird in [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Astronomischen Einheiten]] $AU$ angegeben. Die wahre Anomalie $\nu$ zu diesem Zeitpunkt ist der Winkel zwischen $\overline{SP}$ und $\overline{SK}$; das ist der von dem Objekt seit dem Durchlaufen des Perihels $P$ beschriebene Winkel.
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 <imgcaption image2|Maßgebliche Winkel für die Keplergleichung>{{ :keplergleichung_winkel.png?800 |}}</imgcaption> <imgcaption image2|Maßgebliche Winkel für die Keplergleichung>{{ :keplergleichung_winkel.png?800 |}}</imgcaption>
  
-Die mittlere Anomalie $M$ ist also der Winkelabstand zum Perihel, den der Planet haben würde, wenn er mit konstanter Geschwindigkeit die Sonne umliefe.+Die mittlere Anomalie $M$ ist also der Winkelabstand zum Perihel, den der Planet haben würde, wenn er mit konstanter Geschwindigkeit die Sonne umlaufen würde.
  
 Definitionsgemäß wächst der Winkel $M$ linear (gleichförmig) mit der Zeit. Der Wert von $M$ ist leicht zu finden, da im Perihel $M = 0^{\circ}$ gilt und der Winkel während eines vollständigen Umlaufes um exakt $360^{\circ}$ zunimmt. Definitionsgemäß wächst der Winkel $M$ linear (gleichförmig) mit der Zeit. Der Wert von $M$ ist leicht zu finden, da im Perihel $M = 0^{\circ}$ gilt und der Winkel während eines vollständigen Umlaufes um exakt $360^{\circ}$ zunimmt.
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 In die Formel der Keplergleichung müssen die Winkel $M$ und $E$ in **Bogenmaß** eingesetzt werden. In den Programmiersprachen werden die Argumente von trigonometrischen Funktionen ohnehin im Bogenmaß erwartet. Soll die Berechnung aber im //Gradmodus// durchgeführt werden, dann muss $\epsilon$ mit dem Umrechnungsfaktor $\tfrac{180}{\pi}$ vom [[:mathematische_grundlagen#grad-_und_bogenmass|Bogenmaß in Grad]], multipliziert werden. Man nennt die umgerechnete Größe $\epsilon_0$ modifizierte Exzentrizität. Die Keplergleichung lautet dann In die Formel der Keplergleichung müssen die Winkel $M$ und $E$ in **Bogenmaß** eingesetzt werden. In den Programmiersprachen werden die Argumente von trigonometrischen Funktionen ohnehin im Bogenmaß erwartet. Soll die Berechnung aber im //Gradmodus// durchgeführt werden, dann muss $\epsilon$ mit dem Umrechnungsfaktor $\tfrac{180}{\pi}$ vom [[:mathematische_grundlagen#grad-_und_bogenmass|Bogenmaß in Grad]], multipliziert werden. Man nennt die umgerechnete Größe $\epsilon_0$ modifizierte Exzentrizität. Die Keplergleichung lautet dann
  
-\[ E = M + \epsilon_0\cdot \sin E \tag{7}\]+\[E = M + \epsilon_0\cdot \sin E \tag{7}\]
  
 <WRAP center round box 100%> <WRAP center round box 100%>
-$\epsilon_0 = \epsilon\cdot \tfrac{180}{\pi}\dots$ modifizierte Exzentrizität \\ +$\epsilon_0 = \epsilon\cdot \tfrac{180}{\pi}$ = modifizierte Exzentrizität \\ 
-$E, M\dots$ Winkel in Grad+$E, M$ = Winkel in Grad
 </WRAP> </WRAP>
  
Zeile 111: Zeile 111:
 === Beispiel === === Beispiel ===
  
-**Man löse die Keplergleichung für $\epsilon = 0.1$ und $M = 5^{\circ}$ mit einer Geanauigkeit von $0\overset{\circ}{.}000001$ (6. Kommastelle) mittels Iteration.**+**Man löse die Keplergleichung für $\epsilon = 0.1$ und $M = 5^{\circ}$ mit einer Genauigkeit von $0\overset{\circ}{.}000001$ (6. Kommastelle) mittels Iteration.**
  
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 | 24  | 30.533515      | 48  | 32.334417      | 72  | 32.360643                  | 96  | 32.361002      | | 24  | 30.533515      | 48  | 32.334417      | 72  | 32.360643                  | 96  | 32.361002      |
  
-Die ersten beiden //kursiven// Zahlen sind die Startwerte, also die ersten beiden berechneten Werte, mit denen die Iterationsschleife gestartet wird. Die restlichen sind die 94 Iterationen, bis eine Genauigkeit von 6 Kommastellen erreicht wird, d.h. die Differenz in der 6. Kommastelle = 0 wird. Nach 50 Iterationen weicht das Ergebnis (<wrap em>rot:</wrap> $32\overset{\circ}{.}345452$) immer noch um mehr als $0\overset{\circ}{.}01$ vom korrekten Wert ($32\overset{\circ}{.}361002$) ab!+Die ersten beiden //kursiven// Zahlen sind die Startwerte, also die ersten beiden berechneten Werte, mit denen die Iterationsschleife gestartet wird. Die restlichen sind die 94 Iterationen, bis eine Genauigkeit von 6 Kommastellen erreicht wird, d.h., die Differenz in der 6. Kommastelle = 0 wird. Nach 50 Iterationen weicht das Ergebnis (<wrap em>rot:</wrap> $32\overset{\circ}{.}345452$) immer noch um mehr als $0\overset{\circ}{.}01$ vom korrekten Wert ($32\overset{\circ}{.}361002$) ab!
  
 Es zeigt sich, dass derart viele Iterationen nur bei sehr großen Werten für $\epsilon$ auftreten, die sehr nahe an $1$ liegen. Die höchste Exzentrizität der Planeten hat Merkur* mit etwa $\epsilon = 0.205631^{\circ}$ (für Epoche $J2000$). Die Berechnung für alle Planeten mit dieser Methode sollte daher keine Probleme bereiten. Für Kometen, die eine sehr hohe Exzentrizität haben können, empfiehlt sich diese Methode nicht. Es zeigt sich, dass derart viele Iterationen nur bei sehr großen Werten für $\epsilon$ auftreten, die sehr nahe an $1$ liegen. Die höchste Exzentrizität der Planeten hat Merkur* mit etwa $\epsilon = 0.205631^{\circ}$ (für Epoche $J2000$). Die Berechnung für alle Planeten mit dieser Methode sollte daher keine Probleme bereiten. Für Kometen, die eine sehr hohe Exzentrizität haben können, empfiehlt sich diese Methode nicht.
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 Berechnung von E in der Keplergleichung, Methode 1 Berechnung von E in der Keplergleichung, Methode 1
 Parameter: Parameter:
-M... mittlere Anomalie, dezimaler Winkelwert +M = mittlere Anomalie, dezimaler Winkelwert 
-e... numerische Exzentrizität, dimensionlslos+e = numerische Exzentrizität, dimensionlslos
 Rückgabe: Rückgabe:
-E... exzentrische Anomalie, dezimaler Winkelwert+E = exzentrische Anomalie, dezimaler Winkelwert
 */ */
  
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 Schleifenbedingung Schleifenbedingung
 Parameter: Parameter:
-M... mittlere Anomalie, dezimaler Winkelwert +M = mittlere Anomalie, dezimaler Winkelwert 
-e... numerische Exzentrizität, dimensionlslos+e = numerische Exzentrizität, dimensionlslos
 Rückgabe: Rückgabe:
-E... exzentrische Anomalie, dezimaler Winkelwert+E = exzentrische Anomalie, dezimaler Winkelwert
 */ */
  
loesung_der_keplergleichung.1761254797.txt.gz · Zuletzt geändert: 2025/10/23 23:26 von quern
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