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--- loesung_der_keplergleichung [2024/05/08 13:28] – [Methode 2] quern
+++ loesung_der_keplergleichung [2025/10/26 22:14] (aktuell) – quern
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 Zur Berechnung der Position eines Himmelskörpers (Planet, Planetoid, periodischer Komet, usw.) zu einem gegebenen Zeitpunkt auf seiner elliptischen Bahn gibt es verschiedene Methoden:
-  - Numerische Integration: Dies liefert die genauesten Daten, diese Berechnungen bestehen aber aus tausenden zu summierenden Termen, weshalb die Berechnung sehr schnell aufwändig wird.
+  - Numerische Integration: Dies liefert die genauesten Daten. Diese Berechnungen bestehen aber aus tausenden zu summierenden Termen, weshalb die Berechnung sehr schnell aufwändig wird.
-  - Eine gekürzte Version von Punkt 1, bei der nur eine begrenzte Anzahl an Termen berücksichtigt wird. Die Berechnugnen werden dadurch schneller, aber die Genauigkeit ist nicht mehr ganz so hoch. Für die meisten Anwendungen in der Praxis ist das völlig ausreichend.
+  - Eine gekürzte Version von Punkt 1, bei der nur eine begrenzte Anzahl an Termen berücksichtigt wird. Die Berechnungen werden dadurch schneller, aber die Genauigkeit ist nicht mehr ganz so hoch. Für die meisten Anwendungen in der Praxis ist das völlig ausreichend.
-  - Berechnen der heliozentrischen Positionen aus den mittleren Bahnelementen des Körpers (Keplerbahnen). Dies ist zwar die ungenaueste Methode, liefert aber sehr schnelle Ergebnisse und ist für manche Anwendungen genau genug. Man könnte z.B. eine Grafik mit den aktuellen Planetenpositonen erzeugen, wobei natürlich nicht auf Bogensekunden genau gerechnet werden muss, da dies in der Grafik gar nicht darstellbar ist.
+  - Berechnen der heliozentrischen Positionen aus den mittleren Bahnelementen des Körpers (Keplerbahnen). Dies ist zwar die ungenaueste Methode, liefert aber sehr schnelle Ergebnisse und ist für manche Anwendungen genau genug. Man könnte z.B. eine Grafik mit den aktuellen Planetenpositionen erzeugen, wobei natürlich nicht auf Bogensekunden genau gerechnet werden muss, da dies in der Grafik gar nicht darstellbar ist.
-In diesem Kapitel geht es um den dritten Fall. Es soll die wahre Anomalie $\nu$ des Objekts berechnet werden. Dies kann entweder durch Lösung der Keplergleichung erreicht werden oder – wenn die Bahnexzentrizität $\epsilon$ nicht zu groß ist – durch eine Reihenentwicklung (Mittelpunktsgleichung) oder eine einfache Näherungsformel.
+In diesem Kapitel geht es um den dritten Fall. Es soll die **wahre Anomalie** $\nu$ des Objekts berechnet werden. Dies kann entweder durch Lösung der Keplergleichung erreicht werden oder – wenn die Bahnexzentrizität $\epsilon$ nicht zu groß ist – durch eine Reihenentwicklung (Mittelpunktsgleichung) oder eine einfache Näherungsformel.
 ===== Begriffe und Zusammenhänge =====
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-$S\dots$ Sonne (Brennpunkt)\\
+$S$ = Sonne (Brennpunkt)\\
-$P\dots$ Perihel (Sonnennähe)\\
+$P$ = Perihel (Sonnennähe)\\
-$A\dots$ Aphel (Sonnenferne)\\
+$A$ = Aphel (Sonnenferne)\\
-$K\dots$ umlaufender Körper (Planet, Komet,...)\\
+$K$ = umlaufender Körper (Planet, Komet,...)\\
-$a = \overline{ZP}\dots$ große Halbachse\\
+$a = \overline{ZP}$ = große Halbachse\\
-$e = \overline{ZS}\dots$ lineare Exzentrizität\\
+$e = \overline{ZS}$ = lineare Exzentrizität\\
-$b\dots$ kleine Halbachse, $b^2 = a^2 - e^2$\\
+$b$ = kleine Halbachse, $b^2 = a^2 - e^2$\\
 $\epsilon = \frac{\overline{ZS}}{\overline{ZP}} = \frac{e}{a}\dots$ numerische Exzentrizität\\
 $\overline{SP} = q = a\cdot(1 - \epsilon)\dots$ Perihelabstand\\
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-Die Strecke $\overline{PA} $ ist die große Achse der Bahn. Das Zentrum $Z$ der Ellipse liegt sowohl exakt in der Mitte zwischen dem Perihel $P$ und dem Aphel $A$ als auch in der Mitte zwischen den Brennpunkten.
+Die Strecke $\overline{PA}$ ist die große Achse der Bahn. Das Zentrum $Z$ der Ellipse liegt sowohl exakt in der Mitte zwischen dem Perihel $P$ und dem Aphel $A$ als auch in der Mitte zwischen den Brennpunkten.
-$K$ (für //Körper//) ist die Position des Objekts zu einem gegebenen Zeitpunkt. Die Strecke $\overline{SK}$ ist der Radiusvektor $r$ des Objekts zu diesem Zeitpunkt; diese Entfernung wird in [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Astronomischen Einheiten]] $AU$ angegeben. Die wahre Anomalie $\nu$ zu diesem Zeitpunkt ist der Winkel zwischen $\overline{SP}$ und $\overline{SK}$; das ist der von dem Objekt seit dem Durchlaufen des Perihels $ P $ beschriebene Winkel.
+$K$ (für //Körper//) ist die Position des Objekts zu einem gegebenen Zeitpunkt. Die Strecke $\overline{SK}$ ist der Radiusvektor $r$ des Objekts zu diesem Zeitpunkt; diese Entfernung wird in [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Astronomischen Einheiten]] $AU$ angegeben. Die wahre Anomalie $\nu$ zu diesem Zeitpunkt ist der Winkel zwischen $\overline{SP}$ und $\overline{SK}$; das ist der von dem Objekt seit dem Durchlaufen des Perihels $P$ beschriebene Winkel.
 Die Halbachse $\overline{ZP}$ wird im allgemeinen mit $a$ bezeichnet und auch in Astronomischen Einheiten angegeben. Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ der Bahn ist definiert als das Verhältnis der Strecke $\overline{ZS}$ (= lineare Exzentrizität) zur Strecke $\overline{ZP}$:
-$$\epsilon = \frac{\overline{ZS}}{\overline{ZP}} = \frac{e}{a}$$
+$$\epsilon = \frac{\overline{ZS}}{\overline{ZP}} = \frac{e}{a}\tag{1}$$
-Diese Größe ist dimensionslos und liegt bei einer Ellipse immer zwischen 0 und 1. Die Exzentrizität $\epsilon = 0$ wäre bei einem Kreis gegeben. Der Perihelabstand und Aphelabstand werden mit $ q $ bzw. $ Q $ bezeichnet. Befindet sich der Körper im Perihel, ist $ \nu = 0^{\circ} $ und $ r = q $, während im Aphel $ \nu = 180^{\circ} $ ist und $ r = Q $.
+Diese Größe ist dimensionslos und liegt bei einer Ellipse immer zwischen 0 und 1. Die Exzentrizität $\epsilon = 0$ wäre bei einem Kreis gegeben. Der Perihelabstand und Aphelabstand werden mit $q$ bzw. $Q$ bezeichnet. Befindet sich der Körper im Perihel, ist $\nu = 0^{\circ}$ und $r = q$, während im Aphel $\nu = 180^{\circ}$ ist und $r = Q$.
-Nun betrachtet man in **Abb. 2** einen fiktiven Planeten oder Kometen $K'$, der eine //Kreisbahn// um die Sonne beschreibt, und sich mit **konstanter** Geschwindigkeit bewegt und die gleiche Umlaufzeit hat, wie der reale Planet oder Komet $K$ auf der elliptischen Bahn. Darüber hinaus wird angesetzt, dass sich das fiktive Objekt im Punkt $P'$ befindet, wenn der reale Körper im Perihel $P$ steht. Als Hilfskreis wird der Scheitelkreis der Hautpachse $a$  genommen, auf dem sich der fiktive Planet bewege. Einige Zeit später, wenn sich der wahre Körper in $K$ befindet, ist das fiktive Objekt bis nach $K'$ gelaufen. Wie bereits angemerkt ist der Winkel $\nu = \angle PSK$ die **wahre Anomalie** $\nu$ des Objekts zum gegebenen Zeitpunkt. Zur gleichen Zeit durchläuft $K'$ den Winkel $\angle P'ZK'$, und dies ist die **mittlere Anomalie**, die im allgemeinen mit $M$ bezeichnet wird.
+Nun betrachtet man in **Abb. 2** einen fiktiven Planeten oder Kometen $K'$, der eine //Kreisbahn// um die Sonne beschreibt, sich mit **konstanter** Geschwindigkeit bewegt und die **gleiche Umlaufzeit** hat wie der reale Planet oder Komet $K$ auf der elliptischen Bahn. Darüber hinaus wird angesetzt, dass sich das fiktive Objekt im Punkt $P'$ befindet, wenn der reale Körper im Perihel $P$ steht. Als Hilfskreis wird der Scheitelkreis der Hauptachse $a$ genommen, auf dem sich der fiktive Planet bewege. Einige Zeit später, wenn sich der wahre Körper in $K$ befindet, ist das fiktive Objekt bis nach $K'$ gelaufen. Wie bereits angemerkt ist der Winkel $\nu = \angle PSK$ die **wahre Anomalie** $\nu$ des Objekts zum gegebenen Zeitpunkt. Zur gleichen Zeit durchläuft $K'$ den Winkel $\angle P'ZK'$, und dies ist die **mittlere Anomalie**, die im allgemeinen mit $M$ bezeichnet wird.
 <imgcaption image2|Maßgebliche Winkel für die Keplergleichung>{{ :keplergleichung_winkel.png?800 |}}</imgcaption>
-Die mittlere Anomalie $M$ ist also der Winkelabstand zum Perihel, den der Planet haben würde, wenn er mit konstanter Geschwindigkeit die Sonne umliefe.
+Die mittlere Anomalie $M$ ist also der Winkelabstand zum Perihel, den der Planet haben würde, wenn er mit konstanter Geschwindigkeit die Sonne umlaufen würde.
 Definitionsgemäß wächst der Winkel $M$ linear (gleichförmig) mit der Zeit. Der Wert von $M$ ist leicht zu finden, da im Perihel $M = 0^{\circ}$ gilt und der Winkel während eines vollständigen Umlaufes um exakt $360^{\circ}$ zunimmt.
-Das eigentliche Problem besteht aber darin, die wahre Anomalie $\nu$ zu finden, wenn die mittlere Anomalie $M$ und die Bahnexzentrizität $\epsilon$ bekannt sind. Falls man nicht auf eine Reihenentwicklung zurückgreifen will, ist man gezwungen, die Keplergleichung zu lösen. Hierzu ist es nötig, einen Hilfswinkel $E$, die **exzentrische Anomalie**, einzuführen. Dessen geometrische Definition ist in **Abb. 2** angegeben. Der äußere gestrichelte Hilfskreis hat den Durchmesser $2a = \overline{AP}$ der großen Achse. Man zeichnet $\overline{HK}$ rechtwinklig zu $\overline{AP}$. Den Winkel $\angle PZH$ nennt man die **exzentrische Anomalie** $E$.
+Das eigentliche Problem besteht aber darin, die wahre Anomalie $\nu$ zu finden, wenn die mittlere Anomalie $M$ und die Bahnexzentrizität $\epsilon$ bekannt sind. Falls man nicht auf eine Reihenentwicklung zurückgreifen will, ist man gezwungen, die Keplergleichung zu lösen. Hierzu ist es nötig, einen Hilfswinkel $E$, die **exzentrische Anomalie**, einzuführen. Deren geometrische Definition ist in **Abb. 2** angegeben. Der äußere gestrichelte Hilfskreis hat den Durchmesser $2a = \overline{AP}$ der großen Achse. Man zeichnet $\overline{HK}$ rechtwinklig zu $\overline{AP}$. Den Winkel $\angle PZH$ nennt man die **exzentrische Anomalie** $E$.
-Steht der Planet im Perihel, dann sind die Winkel $\nu = E = M = 0^{\circ}$. In der Nähe des Perihels hat der wahre Planet eine größere Geschwindigkeit als der mittlere, fiktive Planet. Diese ist dem 2. Keplerschen Gesetz geschuldet, wonach ein Körper in gleichen Zeiten mit dem Radiusvektor $r$ dieselben Flächen überfährt, und sich der Körper deshalb in Perihelnähe schneller bewegt als in Aphelnähe. Deshalb gilt zwischen Perihel und Aphel (wenn sich der Planet von der Sonne entfernt)
+Steht der Planet im Perihel, dann sind die Winkel $\nu = E = M = 0^{\circ}$. In der Nähe des Perihels hat der wahre Planet eine größere Geschwindigkeit als der mittlere, fiktive Planet. Dies ist dem 2. Keplerschen Gesetz geschuldet, wonach ein Körper in gleichen Zeiten mit dem Radiusvektor $r$ dieselben Flächen überfährt, und sich der Körper deshalb in Perihelnähe schneller bewegt als in Aphelnähe. Deshalb gilt zwischen Perihel und Aphel (wenn sich der Planet von der Sonne entfernt)
 $$\nu \gt M$$
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 Den Radiusvektor $r$, also die Entfernung des Körpers von der Sonne, erhält man über eine der folgenden Beziehungen:
-$$r = a\cdot (1 - \epsilon\cdot \cos E)$$ oder
+$$r = a\cdot (1 - \epsilon\cdot \cos E)\tag{2}$$ oder
-$$r = \large \frac{{a\cdot (1 - {\epsilon^2})}}{{1 +\epsilon\cdot \cos \nu }}$$ oder
+$$r = \large \frac{{a\cdot (1 - {\epsilon^2})}}{{1 +\epsilon\cdot \cos \nu }}\tag{3}$$ oder
-$$r = \large \frac{{q\cdot (1 - \epsilon)}}{{1 +\epsilon\cdot \cos \nu }}$$
+$$r = \large \frac{{q\cdot (1 - \epsilon)}}{{1 +\epsilon\cdot \cos \nu }}\tag{4}$$
 ===== Methoden zur Bestimmung der wahren Anomalie =====
-Wenn nun die exzentrische Anomalie $E$ bekannt wäre, dann kann man daraus die wahre Anomalie $\nu$ berechnen mit der Barkerschen Gleichung
+Wenn nun die exzentrische Anomalie $E$ bekannt ist, kann man daraus die wahre Anomalie $\nu$ mit der Barkerschen Gleichung  berechnen.
-\[\tan\left(\frac{\nu }{2}\right) = \sqrt{\frac{{1 + \epsilon}}{{1 - \epsilon}}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right)\]
+\[\tan\left(\frac{\nu }{2}\right) = \sqrt{\frac{{1 + \epsilon}}{{1 - \epsilon}}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right)\tag{5}\]
 Die Keplergleichung lautet:
-\[\Large E = M + \epsilon\cdot \sin E \]
+\[E = M + \epsilon\cdot \sin E \tag{6}\]
 Diese Gleichung muss nach $E$ aufgelöst werden. Es handelt sich hier aber um eine //transzendente// Gleichung, die nicht direkt gelöst werden kann, weil $E$ einmal alleine auftaucht und auch als Argument der Sinusfunktion. Im folgenden sollen nun 4 Methoden zur Ermittelung von $E$ bzw. $\nu$ beschrieben werden.
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 In die Formel der Keplergleichung müssen die Winkel $M$ und $E$ in **Bogenmaß** eingesetzt werden. In den Programmiersprachen werden die Argumente von trigonometrischen Funktionen ohnehin im Bogenmaß erwartet. Soll die Berechnung aber im //Gradmodus// durchgeführt werden, dann muss $\epsilon$ mit dem Umrechnungsfaktor $\tfrac{180}{\pi}$ vom [[:mathematische_grundlagen#grad-_und_bogenmass|Bogenmaß in Grad]], multipliziert werden. Man nennt die umgerechnete Größe $\epsilon_0$ modifizierte Exzentrizität. Die Keplergleichung lautet dann
-\[ E = M + \epsilon_0\cdot \sin E \]
+\[E = M + \epsilon_0\cdot \sin E \tag{7}\]
 <WRAP center round box 100%>
-$\epsilon_0 = \epsilon\cdot \tfrac{180}{\pi}\dots$ modifizierte Exzentrizität \\
+$\epsilon_0 = \epsilon\cdot \tfrac{180}{\pi}$ = modifizierte Exzentrizität \\
-$E, M\dots$ Winkel in Grad
+$E, M$ = Winkel in Grad
 </WRAP>
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 === Beispiel ===
-**Man löse die Keplergleichung für $\epsilon = 0.1$ und $M = 5^{\circ}$ mit einer Geanauigkeit von $0\overset{\circ}{.}000001$ (6. Kommastelle) mittels Iteration.**
+**Man löse die Keplergleichung für $\epsilon = 0.1$ und $M = 5^{\circ}$ mit einer Genauigkeit von $0\overset{\circ}{.}000001$ (6. Kommastelle) mittels Iteration.**
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 | 24  | 30.533515      | 48  | 32.334417      | 72  | 32.360643                  | 96  | 32.361002      |
-Die ersten beiden //kursiven// Zahlen sind die Startwerte, also die ersten beiden berechneten Werte, mit denen die Iterationsschleife gestartet wird. Die restlichen sind die 94 Iterationen, bis eine Genauigkeit von 6 Kommastellen erreicht wird, d.h. die Differenz in der 6. Kommastelle = 0 wird. Nach 50 Iterationen weicht das Ergebnis (<wrap em>rot:</wrap> $32\overset{\circ}{.}345452$) immer noch um mehr als $0\overset{\circ}{.}01$ vom korrekten Wert ($32\overset{\circ}{.}361002$) ab!
+Die ersten beiden //kursiven// Zahlen sind die Startwerte, also die ersten beiden berechneten Werte, mit denen die Iterationsschleife gestartet wird. Die restlichen sind die 94 Iterationen, bis eine Genauigkeit von 6 Kommastellen erreicht wird, d.h., die Differenz in der 6. Kommastelle = 0 wird. Nach 50 Iterationen weicht das Ergebnis (<wrap em>rot:</wrap> $32\overset{\circ}{.}345452$) immer noch um mehr als $0\overset{\circ}{.}01$ vom korrekten Wert ($32\overset{\circ}{.}361002$) ab!
 Es zeigt sich, dass derart viele Iterationen nur bei sehr großen Werten für $\epsilon$ auftreten, die sehr nahe an $1$ liegen. Die höchste Exzentrizität der Planeten hat Merkur* mit etwa $\epsilon = 0.205631^{\circ}$ (für Epoche $J2000$). Die Berechnung für alle Planeten mit dieser Methode sollte daher keine Probleme bereiten. Für Kometen, die eine sehr hohe Exzentrizität haben können, empfiehlt sich diese Methode nicht.
+{{anchor:kepler1_iter}}
 <WRAP center round info 100%>
 * Pluto hat eine größere Exzentrizität als Merkur mit $\epsilon_{Pluto} = 0.2488^{\circ}$, gilt aber seit 2006 nicht mehr als Planet (Zwergplanet).
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 Berechnung von E in der Keplergleichung, Methode 1
 Parameter:
-M... mittlere Anomalie, dezimaler Winkelwert
+M = mittlere Anomalie, dezimaler Winkelwert
-e... numerische Exzentrizität, dimensionlslos
+e = numerische Exzentrizität, dimensionlslos
 Rückgabe:
-E... exzentrische Anomalie, dezimaler Winkelwert
+E = exzentrische Anomalie, dezimaler Winkelwert
 */
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 Wenn die Bahnexzentrizität $\epsilon \gt 0.3$ ist, kann die oben beschriebene Methode 1 so langsam konvergieren, dass es ratsam ist, eine bessere Iterationsformel zu benutzen: Die Newton-Raphson Iteration. Einen besseren Wert $E_1$ für $E$ erhält man dabei mit
-$${E_1}^{rad} = {E_0} + \frac{{M + \epsilon \cdot \sin({E_0}) - {E_0}}}{{1 - \epsilon \cdot \cos{E_0}}}$$
+$${E_1}^{rad} = {E_0} + \frac{{M + \epsilon \cdot \sin({E_0}) - {E_0}}}{{1 - \epsilon \cdot \cos{E_0}}}\tag{8}$$
 wobei $E_0$ der zuletzt für $E$ erhaltene Wert ist. In dieser Formel sind die Winkel $M$, $E_0$ und $E_1$ in Bogenmaß ausgedrückt. Will man im Gradmodus arbeiten, dann muss man die Exzentrizität $\epsilon$ **nur im Zähler des Bruches** durch die modifizierte Exzentrizität $\epsilon_0 = \epsilon \cdot \tfrac{180}{\pi}$ ersetzen:
-$${E_1}^{\circ} = {E_0} + \frac{{M + \epsilon \cdot \tfrac{180}{\pi } \cdot \sin({E_0}) - {E_0}}}{{1 - \epsilon \cdot \cos{E_0}}}$$
+$${E_1}^{\circ} = {E_0} + \frac{{M + \epsilon \cdot \tfrac{180}{\pi } \cdot \sin({E_0}) - {E_0}}}{{1 - \epsilon \cdot \cos{E_0}}}\tag{9}$$
 Der Prozess muss auch hier so oft wiederholt werden, bis die geforderte Genauigkeit erreicht wird. Man beachte den Unterschied zwischen der Formeln der Methode 1 und jener der Methode 2. Die Methode 1 liefert direkt eine neue Näherung für $E$. Während auch die Formel der Methode 2 eine neue Näherung $E_1$ für die exzentrische Anomalie liefert, ist der Bruch im zweiten Teil rechts bereits eine **Korrektur** zum vorherigen Wert $E_0$. Die Newton-Raphson Iteration konvergiert schneller als in der Methode 1.
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 Schleifenbedingung
 Parameter:
-M... mittlere Anomalie, dezimaler Winkelwert
+M = mittlere Anomalie, dezimaler Winkelwert
-e... numerische Exzentrizität, dimensionlslos
+e = numerische Exzentrizität, dimensionlslos
 Rückgabe:
-E... exzentrische Anomalie, dezimaler Winkelwert
+E = exzentrische Anomalie, dezimaler Winkelwert
 */
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 <WRAP center round tip 100%>
-Es sei darauf hingewiesen, dass eine Genauigkeit von $10^{-9}$ absurd ist, das entspricht etwa 0.000004 Bogensekunden! Der Grenzwert von $10^{-9}$ wurde hier zu Anschauungszwecken gewählt. Er lässt sich aber in der Funktion nach Belieben setzen.
+Es sei darauf hingewiesen, dass eine Genauigkeit von $10^{-9}$ Grad absurd ist, das entspricht etwa 0.000004 Bogensekunden! Der Grenzwert von $10^{-9}$ wurde hier zu Anschauungszwecken gewählt. Er lässt sich aber in der Funktion nach Belieben setzen.
 </WRAP>
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 === Instabile Zone ===
-Auch die Methode 2 hat bezüglich ihrer Konvergenz einige Fallstricke. Die folgende **Abb. 3** ist eine dreidimensionale Darstellung der Anzahl der Iterationen zum Erreichen von $E$ mit einer Genauigkeit von $10^{-9}$ Grad in Abhängigkeit von der Bahnexzentrizität $\epsilon$ und der mittleren Anomalie $M$ unter Benutzung der Methode 2. Wie oben wird $M$ als Startwert für $E$ benutzt. Die linke Ecke in der Nähe von $\epsilon \approx 1$ und kleinem $M$ ist die "gefährliche Zone". Man sieht eine große Zahl von eng benachbarten Spitzen; die Anzahl der zum Erreichen des Ergebnisses nötigen Schritte mit der erwähnten Genauigkeit ändert sich beträchtlich, selbst bei kleinsten Veränderungen von $\epsilon$ oder $M$.
+Auch die Methode 2 hat bezüglich ihrer Konvergenz einige Fallstricke. Die folgende **Abb. 3** ist eine dreidimensionale Darstellung der Anzahl der Iterationen zum Erreichen von $E$ mit einer Genauigkeit von $10^{-9}$ Grad in Abhängigkeit von der Bahnexzentrizität $\epsilon$ und der mittleren Anomalie $M$ unter Benutzung der Methode 2. Wie oben wird $M$ als Startwert für $E$ benutzt. Die linke Ecke in der Nähe von $\epsilon \approx 1$ und kleinem $M$ ist die "instabile Zone". Man sieht eine große Zahl von eng benachbarten Spitzen; die Anzahl der zum Erreichen des Ergebnisses nötigen Schritte mit der erwähnten Genauigkeit ändert sich beträchtlich, selbst bei kleinsten Veränderungen von $\epsilon$ oder $M$.
 <imgcaption image3|Anzahl der Iterationen zum Lösen der Keplergleichung (Methode 2)>{{ ::keplergleichung_iterationen_20.png?500 |}}</imgcaption>
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   &+ \left(\frac{5}{4} \cdot {\epsilon^2}\right) \cdot \sin (2\cdot M) \\
   &+ \left(\frac{{13}}{{12}} \cdot {\epsilon^3}\right) \cdot \sin (3\cdot M)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{10}\]
 $C$ nennt man "//Equation of the center//", also **Mittelpunktsgleichung**.
@@ Zeile 382: / Zeile 382: @@
   &+ \left(\frac{{103}}{{96}} \cdot {\epsilon^4}\right) \cdot \sin (4\cdot M) \\
   &+ \left(\frac{{1097}}{{960}} \cdot {\epsilon^5}\right) \cdot \sin (5\cdot M)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{11}\]
 Man erkennt: Lässt man die Terme für $\epsilon^4$ und $\epsilon^5$ hier weg, erhält man die obige Formel von Smart.
@@ Zeile 427: / Zeile 427: @@
 Eine relativ einfache Formel, welche **keine** Iteration erfordert, lautet
-$$\tan E = \large \frac{{\sin M}}{{\cos M - \epsilon}}$$
+$$\tan E = \large \frac{{\sin M}}{{\cos M - \epsilon}}\tag{12}$$
 Sie gibt einen Näherungswert für $E$ an und gilt wieder nur für kleine Werte der Exzentrizität. Für dieselben Daten wie in Beispiel für Methode 1, nämlich $M = 5^{\circ}$ und $\epsilon = 0.1$ ergibt sich der Wert
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 <WRAP center round tip 100%>
-Gegebenenfalls kann diese Näherungsformel einen **Startwert** für die Methoden 1/2 liefern.
+Gegebenenfalls kann diese Näherungsformel einen **Startwert** für die Methoden 1 bzw. 2 liefern.
 </WRAP>
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 >{{ :keplergleichung_diff_kepler_approx_planets_sm.png?800 |}}</imgcaption>
-**Abb. 9:** Hier ergibt sich die größe Abweichung für Jupiter mit ca. $4''$. Die Abweichung für die Erde bleibt immer unter $0\overset{''}{.}2$.
+**Abb. 8:** Hier ergibt sich die größe Abweichung für Jupiter mit ca. $4''$. Die Abweichung für die Erde bleibt immer unter $0\overset{''}{.}2$.
 <imgcaption image9|Abweichung der Methode 4 von der Lösung mittels Keplergleichung für die Planeten>{{ :keplergleichung_diff_kepler_approx_planets_big.png?800 |}}</imgcaption>
-Größere Abweichungen gibt es für die Planeten Merkur, Mars und Saturn. Man sieht, das vor allem Merkur ausreißt, er hat auch die größte Exzentrizität. Die größte Abweichung liegt bei $306\overset{''}{.}91$ beim Winkel $70\overset{\circ}{.}39$. Zur Erstellung einer Grafik wäre das aber immer noch ausreichend, da $300'' = 5' = 0\overset{\circ}{.}08333$ immer noch klein ist und in einer Grafik praktisch nicht sichtbar wäre.
+Größere Abweichungen gibt es für die Planeten Merkur, Mars und Saturn. Man sieht, dass vor allem Merkur ausreißt, er hat auch die größte Exzentrizität. Die größte Abweichung liegt bei $306\overset{''}{.}91$ beim Winkel $70\overset{\circ}{.}39$. Zur Erstellung einer Grafik wäre das aber immer noch ausreichend, da $300'' = 5' = 0\overset{\circ}{.}08333$ immer noch ein recht kleiner Gradwert ist und in einer Grafik praktisch nicht sichtbar wäre.