Unterschiede

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--- libration [2025/09/09 11:53] – [Libration in Breite] hcgreier
+++ libration [2025/10/09 18:42] (aktuell) – quern
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 ====== Die Mondlibration ======
-Es ist eine bekannte Tatsache, dass der Mond immer die gleiche Seite zur Erde zeigt, sodass nie eine Hälfte der Mondoberfläche zu sehen ist. Tatsächlich ist dies nicht ganz genau: Die Mondkugel weist eine periodische Schwingung auf, die als **Libration** (lateinisch: librare = schwingen) bezeichnet wird. Demnach können von der Erde aus insgesamt etwa 59% der Mondoberfläche beobachtet werden. Beginnen wir mit der Darlegung der drei empirischen Gesetze, die die Rotation des Mondes beschreiben; Sie wurden 1693 von **Giovanni Domenico Cassini** (italienischer Astronom, 1625-1712) formuliert.
+Es ist eine bekannte Tatsache, dass der Mond immer die gleiche Seite zur Erde zeigt, sodass nie eine Hälfte der Mondoberfläche zu sehen ist. Tatsächlich ist dies nicht ganz genau: Die Mondkugel weist eine periodische Schwingung auf, die als **Libration** (lateinisch: librare = schwingen) bezeichnet wird. Demnach können von der Erde aus insgesamt etwa 59% der Mondoberfläche beobachtet werden. Beginnen wir mit der Darlegung der drei empirischen Gesetze, die die Rotation des Mondes beschreiben; Sie wurden 1693 von **[[portraits#cassini|Giovanni Domenico Cassini]]** (italienischer Astronom, 1625-1712) formuliert.
-  * **1. Gesetz**: Der Mond dreht sich im direkten Sinne (d. h. im gleichen Sinne wie die Erde), mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit (in Bezug auf die Sterne), und die siderische Rotationsperiode ist gleich der mittleren siderischen Rotationsperiode Umlauf des Mondes um die Erde, der $27\overset{d}{.}32166$ Tage beträgt (23<sup>d</sup>7<sup>h</sup>43<sup>m</sup>11.4<sup>s</sup>).
+  * **1. Gesetz**: Der Mond dreht sich im direkten Sinne (d. h. im gleichen Sinne wie die Erde), mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit (in Bezug auf die Sterne), und die siderische Rotationsperiode ist gleich der mittleren siderischen Rotationsperiode Umlauf des Mondes um die Erde, der $27\overset{d}{.}32166$ Tage beträgt ($23^d 7^h 43^m 11\overset{s}{.}4$).
   * **2. Gesetz**: Die Neigung $i$ der mittleren Ebene des Mondäquators zur Ebene der Ekliptik ist konstant. Laut F. Hayn (1907) beträgt diese Neigung $1^\circ 32' 06''$. Später leitete Hayn den verbesserten Wert $i = 1^\circ 32' 20''$ ab. C.B. Watts (1955) fand $1^\circ 33' 50''$, aber der derzeit von der Internationalen Astronomischen Union (IAU) angenommene Wert ist $i = 1^\circ 32'32\overset{''}{.}7$.
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 </WRAP>
-Zur mathematischen Beschreibung braucht man die beiden Hilfswerte $K_1$ und $K_2$:
+===== Physische Libration =====
-$$K_1 = 119\overset{\circ}{.}75 + 131\overset{\circ}{.}849 \ T \\ K_2 = 72\overset{\circ}{.}56 + 20\overset{\circ}{.}186 \ T\tag{2}$$
-Die Gleichungen zur Berechnung der Libration in Länge sind dann:
+Die Winkelwerte für $m, D, F$ erhält man aus der **Tabelle 1** auf [[:mondposition_nach_meeus|dieser Seite]]. Die Exzentrizität $E$ ist dort ebenfalls zu finden unter [[:mondposition_nach_meeus#mjx-eqn-glg03|Gleichung (3)]].
-\[\begin{array}{llll} \varrho = & - 0\overset{\circ}{.}02752 \ \cos(m) & - 0\overset{\circ}{.}02245 \ \sin(F) & + 0\overset{\circ}{.}00684 \ \cos(m - 2 \ F) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00293 \ \cos(2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00085 \ \cos(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00054 \ \cos(m - 2 \ D) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \sin(m + F) & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m + 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m - F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00014 \ \cos(m + 2 \ F - 2 \ D) & & \\     \sigma = & - 0\overset{\circ}{.}02816 \ \sin(m) & + 0\overset{\circ}{.}02244 \ \cos(F) & - 0\overset{\circ}{.}00682 \ \sin(m - 2 \ F) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00279 \ \sin(2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00083 \ \sin(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00069 \ \sin(m - 2 \ D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00040 \ \cos(m + F) & - 0\overset{\circ}{.}00025 \ \sin(2 \ m) & - 0\overset{\circ}{.}00023 \ \sin(m + 2 \ F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00019 \ \sin(m - F) & - 0\overset{\circ}{.}00010 \ \cos(m - 3 \ F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00013 \ \sin(m + 2 \ F - 2 \ D) \\ \tau = & + 0\overset{\circ}{.}02520 \ E \ \sin(M) & + 0\overset{\circ}{.}00473 \ \sin(2 \ m - 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00467 \ \sin(m) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00396 \ \sin(K_1) & + 0\overset{\circ}{.}00276 \ \sin(2 \ m - 2 \ D) & + 0\overset{\circ}{.}00196 \ \sin(\Omega) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00183 \ \cos(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00115 \ \sin(m - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00096 \ \sin(m - D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00046 \ \sin(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00039 \ \sin(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00023 \ \sin(K_2) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00012 \ \sin(m - 2 \ F) & + 0\overset{\circ}{.}00014 \ \cos(2 \ m - 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00014 \ \sin(2 \ D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00027 \ E \ \sin(2 \ m - M - 2 \ D) & + 0\overset{\circ}{.}00011 \ E^2 \ \sin(2 \ m - 2 \ M - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00012 \ \sin(2 \ m) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00032 \ E \ \sin(m - M - D) & & \end{array}\tag{3}\]
+Den Winkel des aufsteigenden Mondknotens $\Omega$ erhält man über
-Die Libration in Länge $l''$ und $b''$ erhält man letztendlich mit:
 \[\begin{align}
-l'' &= - \tau + (\varrho\cdot \cos(l' + F) + \sigma\cdot\sin(l' + F))\cdot\tan(b')\\
+\Omega =&+125\overset{\circ}{.}0445479 \\
-b'' &= \varrho\cdot\cos(l' + F) - \sigma\cdot\sin(l' + F)
+&- 1934\overset{\circ}{.}1362891\cdot T \\
-\end{align}\tag{4}\]
+&+ 0\overset{\circ}{.}0020754\cdot T^2 \\
+&+ \frac{1^{\circ}}{467441} \cdot T^3 \\
+&- \frac{1^{\circ}}{60616000}\cdot T^4
+\end{align}\tag{2}\]
+und für die Berechnung von $\tau$ benötigt man die beiden Hilfswinkel
+\[\begin{align}
+K_1 &= 119\overset{\circ}{.}75 + 131\overset{\circ}{.}849 \cdot T \\
+K_2 &= 72\overset{\circ}{.}56 + 20\overset{\circ}{.}186 \cdot T
+\end{align}\tag{3}\]
+==== Terme für $\varrho$, $\sigma$ und $\tau$ ====
+\[\begin{aligned}
+\varrho =& -0.02752\cdot \cos (m) \\
+&-0.02245\cdot \sin (F) \\
+&+0.00684\cdot \cos (m - 2\cdot F) \\
+&-0.00293\cdot \cos (2\cdot F) \\
+&-0.00085\cdot \cos (2\cdot F - 2\cdot D) \\
+&-0.00054\cdot \cos (m - 2\cdot D) \\
+&-0.00020\cdot \sin (m + F) \\
+&-0.00020\cdot \cos (m + 2\cdot F) \\
+&-0.00020\cdot \cos (m - F) \\
+&+0.00014\cdot \cos (m + 2\cdot F- 2\cdot D) \\[2ex]
+\sigma =& -0.02816\cdot \sin (m) \\
+&+0.02244\cdot \cos (F) \\
+&-0.00682\cdot \sin (m - 2\cdot F) \\
+&-0.00279\cdot \sin (2\cdot F) \\
+&-0.00083\cdot \sin (2\cdot F - 2\cdot D) \\
+&+0.00069\cdot \sin (m - 2\cdot D) \\
+&+0.00040\cdot \cos (m + F) \\
+&-0.00025\cdot \sin (2\cdot m) \\
+&-0.00023\cdot \sin (m + 2\cdot F) \\
+&+0.00020\cdot \cos (m - F) \\
+&+0.00019\cdot \sin (m - F) \\
+&+0.00013\cdot \sin (m + 2\cdot F - 2\cdot D) \\
+&-0.00010\cdot \cos (m - 3\cdot F) \\[2ex]
+\tau =&+0.02520\cdot E\cdot \sin (M) \\
+&+0.00473\cdot \sin (2\cdot m - 2\cdot F) \\
+&-0.00467\cdot \sin (m) \\
+&+0.00396\cdot \sin (K_1) \\
+&+0.00276\cdot \sin (2\cdot m - 2\cdot D) \\
+&+0.00196\cdot \sin (\Omega) \\
+&-0.00183\cdot \cos (m - F) \\
+&+0.00115\cdot \sin (m - 2\cdot D) \\
+&-0.00096\cdot \sin (m - D) \\
+&+0.00046\cdot \sin (2\cdot F- 2\cdot D) \\
+&-0.00039\cdot \sin (m - F) \\
+&-0.00032\cdot \sin (m - M - D) \\
+&+0.00027\cdot \sin (2\cdot m - M - 2\cdot D) \\
+&+0.00023\cdot \sin (K_2) \\
+&-0.00014\cdot \sin (2\cdot D) \\
+&+0.00014\cdot \cos (2\cdot m - 2\cdot F) \\
+&-0.00012\cdot \sin (m - 2\cdot F) \\
+&-0.00012\cdot \sin (2m) \\
+&+0.00011\cdot \sin (2\cdot m - 2\cdot M - 2\cdot D)
+\end{aligned}\tag{4}\]
+Die physische Libration in Länge $l''$ und Breite $b''$ erhält man letztlich mit:
+\[\begin{align}
+l'' &= - \tau + \big[\varrho\cdot \cos(l' + F) + \sigma\cdot\sin(l' + F)\big]\cdot\tan(b')\\
+b'' &= \varrho\cdot\cos(l' + F) - \sigma\cdot\sin(l' + F)
+\end{align}\tag{5}\]
 ===== Die topozentrische Libration =====
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 l &= l' + l'' + \Delta l\\
 b &= b' + b'' + \Delta b
-\end{align}\tag{5}\]
+\end{align}\tag{6}\]
 $+b$ bedeutet der Nordpol ist dem Beobachter zugewandt und $+l$ bedeutet man sieht mehr von der Westseite (Mond libriert nach Ost). Die **Abb.4** hat damit $+l,\;-b$. Die vier Kombinationen von $l$ und $b$ sind hier nochmals gegenübergestellt:
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-|  Libration nach Nord und nach Ost                  |  Libration nach Nord und nach West                  |
+|  Libration nach Nord und nach Ost, südwestlicher Mondrand gut sichtbar  |  Libration nach Nord und nach West, südöstlicher Mondrand gut sichtbar  |
 |  {{:libration_richtungen_l_plus_b_minus.png?250}}  |  {{:libration_richtungen_l_minus_b_minus.png?250}}  |
 |  $+l,\;-b$                                         |  $-l,\;-b$                                          |
 |                                                    |                                                     |
-|  Libration nach Süd und nach Ost                   |  Libration nach Süd und nach West                   |
+|  Libration nach Süd und nach Ost, nordwestlicher Mondrand gut sichtbar  |  Libration nach Süd und nach West, nordöstlicher Mondrand gut sichtbar  |
 |  {{:libration_richtungen_l_minus_b_plus.png?250}}  |  {{:libration_richtungen_l_plus_b_plus.png?250}}    |
 |  $+l,\;+b$                                         |  $-l,\;+b$                                          |