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--- libration [2024/05/03 15:03] – [Die Mondlibration] hcgreier
+++ libration [2025/07/02 16:36] (aktuell) – [Tägliche Libration] hcgreier
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 Zur mathematischen Beschreibung benötigt man als erstes die Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik mit $i = 5\overset{\circ}{.}15668983$ und die Neigung des Mondäquators gegen die Mondbahn mit $i_0 = 1\overset{\circ}{.}542416667^{\circ}$. Mit den geozentrisch ekliptikalen Koordianten $\lambda$ und $\beta$ kann man dann als nächstes die Libration der Breite mit $l'$ und $b'$ berechnen.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="673px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}\cos(b') \cdot \cos(l' + F) &= x = \cos(\lambda - \Omega) \cdot \cos(\beta) \\ \cos(b') \cdot \sin(l' + F) &= y = \sin(\lambda - \Omega) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(i_0) - \sin(\beta) \cdot \sin(i_0) \\ \sin(b') &= z = \sin(\lambda - \Omega) \cdot \cos(\beta) \cdot \sin(i_0) + \sin(\beta) \cdot \cos(i_0)\end{align}\]  |
+\cos(b') \cdot \cos(l' + F) &= x = \cos(\lambda - \Omega) \cdot \cos(\beta) \\
+\cos(b') \cdot \sin(l' + F) &= y = \sin(\lambda - \Omega) \cdot \cos(\beta) \cdot \cos(i_0) - \sin(\beta) \cdot \sin(i_0) \\
+\sin(b') &= z = \sin(\lambda - \Omega) \cdot \cos(\beta) \cdot \sin(i_0) + \sin(\beta) \cdot \cos(i_0)
+\end{align}\tag{1}\]
 mit $F = l - \Omega$ als Argument der Breite.
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 Zur mathematischen Beschreibung braucht man die beiden Hilfswerte $K_1$ und $K_2$:
-$$K_1 = 119\overset{\circ}{.}75 + 131\overset{\circ}{.}849 \ T \\ K_2 = 72\overset{\circ}{.}56 + 20\overset{\circ}{.}186 \ T$$
+$$K_1 = 119\overset{\circ}{.}75 + 131\overset{\circ}{.}849 \ T \\ K_2 = 72\overset{\circ}{.}56 + 20\overset{\circ}{.}186 \ T\tag{2}$$
 Die Gleichungen zur Berechnung der Libration in Länge sind dann:
+\[\begin{array}{llll} \varrho = & - 0\overset{\circ}{.}02752 \ \cos(m) & - 0\overset{\circ}{.}02245 \ \sin(F) & + 0\overset{\circ}{.}00684 \ \cos(m - 2 \ F) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00293 \ \cos(2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00085 \ \cos(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00054 \ \cos(m - 2 \ D) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \sin(m + F) & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m + 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m - F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00014 \ \cos(m + 2 \ F - 2 \ D) & & \\     \sigma = & - 0\overset{\circ}{.}02816 \ \sin(m) & + 0\overset{\circ}{.}02244 \ \cos(F) & - 0\overset{\circ}{.}00682 \ \sin(m - 2 \ F) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00279 \ \sin(2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00083 \ \sin(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00069 \ \sin(m - 2 \ D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00040 \ \cos(m + F) & - 0\overset{\circ}{.}00025 \ \sin(2 \ m) & - 0\overset{\circ}{.}00023 \ \sin(m + 2 \ F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00019 \ \sin(m - F) & - 0\overset{\circ}{.}00010 \ \cos(m - 3 \ F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00013 \ \sin(m + 2 \ F - 2 \ D) \\ \tau = & + 0\overset{\circ}{.}02520 \ E \ \sin(M) & + 0\overset{\circ}{.}00473 \ \sin(2 \ m - 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00467 \ \sin(m) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00396 \ \sin(K_1) & + 0\overset{\circ}{.}00276 \ \sin(2 \ m - 2 \ D) & + 0\overset{\circ}{.}00196 \ \sin(\Omega) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00183 \ \cos(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00115 \ \sin(m - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00096 \ \sin(m - D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00046 \ \sin(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00039 \ \sin(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00023 \ \sin(K_2) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00012 \ \sin(m - 2 \ F) & + 0\overset{\circ}{.}00014 \ \cos(2 \ m - 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00014 \ \sin(2 \ D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00027 \ E \ \sin(2 \ m - M - 2 \ D) & + 0\overset{\circ}{.}00011 \ E^2 \ \sin(2 \ m - 2 \ M - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00012 \ \sin(2 \ m) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00032 \ E \ \sin(m - M - D) & & \end{array}\tag{3}\]
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="1000px"&float=center}}
-| \[\begin{array}{llll} \varrho = & - 0\overset{\circ}{.}02752 \ \cos(m) & - 0\overset{\circ}{.}02245 \ \sin(F) & + 0\overset{\circ}{.}00684 \ \cos(m - 2 \ F) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00293 \ \cos(2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00085 \ \cos(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00054 \ \cos(m - 2 \ D) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \sin(m + F) & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m + 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m - F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00014 \ \cos(m + 2 \ F - 2 \ D) & & \\     \sigma = & - 0\overset{\circ}{.}02816 \ \sin(m) & + 0\overset{\circ}{.}02244 \ \cos(F) & - 0\overset{\circ}{.}00682 \ \sin(m - 2 \ F) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00279 \ \sin(2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00083 \ \sin(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00069 \ \sin(m - 2 \ D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00040 \ \cos(m + F) & - 0\overset{\circ}{.}00025 \ \sin(2 \ m) & - 0\overset{\circ}{.}00023 \ \sin(m + 2 \ F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00019 \ \sin(m - F) & - 0\overset{\circ}{.}00010 \ \cos(m - 3 \ F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00013 \ \sin(m + 2 \ F - 2 \ D) \\ \tau = & + 0\overset{\circ}{.}02520 \ E \ \sin(M) & + 0\overset{\circ}{.}00473 \ \sin(2 \ m - 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00467 \ \sin(m) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00396 \ \sin(K_1) & + 0\overset{\circ}{.}00276 \ \sin(2 \ m - 2 \ D) & + 0\overset{\circ}{.}00196 \ \sin(\Omega) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00183 \ \cos(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00115 \ \sin(m - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00096 \ \sin(m - D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00046 \ \sin(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00039 \ \sin(m - F) & + 0\overset{\circ}{.}00023 \ \sin(K_2) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00012 \ \sin(m - 2 \ F) & + 0\overset{\circ}{.}00014 \ \cos(2 \ m - 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00014 \ \sin(2 \ D) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00027 \ E \ \sin(2 \ m - M - 2 \ D) & + 0\overset{\circ}{.}00011 \ E^2 \ \sin(2 \ m - 2 \ M - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00012 \ \sin(2 \ m) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00032 \ E \ \sin(m - M - D) & & \end{array}\]  |
 Die Libration in Länge $l''$ und $b''$ erhält man letztendlich mit:
+\[\begin{align}
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
+l'' &= - \tau + (\varrho\cdot \cos(l' + F) + \sigma\cdot\sin(l' + F))\cdot\tan(b')\\
-| \[\begin{align} l'' &= - \tau + \left(\varrho \cos(l' + F) + \sigma\cdot\sin(l' + F)\right)\cdot\tan(b')\\ b'' &= \varrho\cdot\cos(l' + F) - \sigma\cdot\sin(l' + F) \end{align}\]  |
+b'' &= \varrho\cdot\cos(l' + F) - \sigma\cdot\sin(l' + F)
+\end{align}\tag{4}\]
-===== Tägliche Libration =====
+===== Die topozentrische Libration =====
 Im Vorhergehenden wurde angenommen, dass sich der Beobachter im **Mittelpunkt** der Erde befindet. Ein tatsächlicher Beobachter $B$ befindet sich jedoch an der Erdoberfläche. Daher bildet die Richtung, aus der er auf den Mond schaut, einen Winkel mit der Linie, die die Mittelpunkte von Erde und Mond verbindet (**Abb.3**). Für diesen Beobachter ist der Mittelpunkt $O$ der Mondscheibe nicht derselbe Punkt des Mondglobus wie der Mittelpunkt $m$ für einen geozentrischen Beobachter. Dieser topozentrische Effekt, der ca. $1^\circ 02'$ erreichen kann, variiert im Tagesverlauf, da sich der Beobachter mit der Erdoberfläche mitdreht (Erdrotation). Aus diesem Grund wird der Effekt als Tages-Libration bezeichnet.
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 l &= l' + l'' + \Delta l\\
 b &= b' + b'' + \Delta b
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{5}\]
 $+b$ bedeutet der Nordpol ist dem Beobachter zugewandt und $+l$ bedeutet man sieht mehr von der Westseite (Mond libriert nach Ost). Die **Abb.4** hat damit $+l,\;-b$. Die vier Kombinationen von $l$ und $b$ sind hier nochmals gegenübergestellt: