libration
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| libration [2024/02/01 16:32] – hcgreier | libration [2025/10/09 18:42] (aktuell) – quern | ||
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| ====== Die Mondlibration ====== | ====== Die Mondlibration ====== | ||
| - | Es ist eine bekannte Tatsache, dass der Mond immer die gleiche Seite zur Erde zeigt, sodass nie eine Hälfte der Mondoberfläche zu sehen ist. Tatsächlich ist dies nicht ganz genau: Die Mondkugel weist eine periodische Schwingung auf, die als **Libration** (lateinisch: | + | Es ist eine bekannte Tatsache, dass der Mond immer die gleiche Seite zur Erde zeigt, sodass nie eine Hälfte der Mondoberfläche zu sehen ist. Tatsächlich ist dies nicht ganz genau: Die Mondkugel weist eine periodische Schwingung auf, die als **Libration** (lateinisch: |
| - | * **1. Gesetz**: Der Mond dreht sich im direkten Sinne (d. h. im gleichen Sinne wie die Erde), mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit (in Bezug auf die Sterne), und die siderische Rotationsperiode ist gleich der mittleren siderischen Rotationsperiode Umlauf des Mondes um die Erde, der $27\overset{d}{.}32166$ Tage beträgt (23<sup>d</ | + | * **1. Gesetz**: Der Mond dreht sich im direkten Sinne (d. h. im gleichen Sinne wie die Erde), mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit (in Bezug auf die Sterne), und die siderische Rotationsperiode ist gleich der mittleren siderischen Rotationsperiode Umlauf des Mondes um die Erde, der $27\overset{d}{.}32166$ Tage beträgt ($23^d 7^h 43^m 11\overset{s}{.}4$). |
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| * **2. Gesetz**: Die Neigung $i$ der mittleren Ebene des Mondäquators zur Ebene der Ekliptik ist konstant. Laut F. Hayn (1907) beträgt diese Neigung $1^\circ 32' 06'' | * **2. Gesetz**: Die Neigung $i$ der mittleren Ebene des Mondäquators zur Ebene der Ekliptik ist konstant. Laut F. Hayn (1907) beträgt diese Neigung $1^\circ 32' 06'' | ||
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| \[ \begin{align}\measuredangle RMB &= \measuredangle RME + \measuredangle EMB \\ &= 1^\circ 32' + 5^\circ 09' = 6^\circ 41' \end{align}\] | \[ \begin{align}\measuredangle RMB &= \measuredangle RME + \measuredangle EMB \\ &= 1^\circ 32' + 5^\circ 09' = 6^\circ 41' \end{align}\] | ||
| - | Im Weiteren unterscheidet man nun die Libration in Länge und die Libration in Breite. | + | Im Weiteren unterscheidet man nun die **Libration in Länge** und die **Libration in Breite**. |
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| Im Fall von **Abb.1** befindet sich der Mond nördlich der Ekliptik, etwa in der Mitte zwischen dem aufsteigenden und dem absteigenden Knoten seiner Umlaufbahn, sodass der Mond-Südpol der Erde zugewandt ist. Der Mondäquator (in der Zeichnung rot dargestellt) steht senkrecht zur Rotationsachse $MR$. | Im Fall von **Abb.1** befindet sich der Mond nördlich der Ekliptik, etwa in der Mitte zwischen dem aufsteigenden und dem absteigenden Knoten seiner Umlaufbahn, sodass der Mond-Südpol der Erde zugewandt ist. Der Mondäquator (in der Zeichnung rot dargestellt) steht senkrecht zur Rotationsachse $MR$. | ||
| - | Zur mathematischen Beschreibung benötigt man als erstes die Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik mit $i = 5\overset{\circ}{.}15668983$ und die Neigung des Mondäquators gegen die Mondbahn mit $i_0 = 1\overset{\circ}{.}542416667^{\circ}$. Mit den geozentrisch ekliptikalen Koordianten $\lambda$ und $\beta$ kann man dann als nächstes die Libration der Breite mit $l'$ und $b'$ berechnen. | + | Zur mathematischen Beschreibung benötigt man als erstes die Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik mit $i = 5\overset{\circ}{.}15668983$ und die Neigung des Mondäquators gegen die Mondbahn mit $i_0 = 1\overset{\circ}{.}542416667$. Mit den geozentrisch ekliptikalen Koordianten $\lambda$ und $\beta$ kann man dann als nächstes die Libration der Breite mit $l'$ und $b'$ berechnen. |
| - | {{tablelayout? | + | \[\begin{align} |
| - | | \[\begin{align}\cos(b' | + | \cos(b' |
| + | \cos(b' | ||
| + | \sin(b' | ||
| + | \end{align}\tag{1}\] | ||
| mit $F = l - \Omega$ als Argument der Breite. | mit $F = l - \Omega$ als Argument der Breite. | ||
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| - | Zur mathematischen Beschreibung braucht man die beiden Hilfswerte $K_1$ und $K_2$: | + | ===== Physische Libration ===== |
| - | $$K_1 = 119\overset{\circ}{.}75 + 131\overset{\circ}{.}849 \ T \\ K_2 = 72\overset{\circ}{.}56 + 20\overset{\circ}{.}186 \ T$$ | + | |
| - | Die Gleichungen zur Berechnung | + | Die Winkelwerte für $m, D, F$ erhält man aus der **Tabelle 1** auf [[:mondposition_nach_meeus|dieser Seite]]. Die Exzentrizität $E$ ist dort ebenfalls zu finden unter [[: |
| - | {{tablelayout? | + | Den Winkel des aufsteigenden Mondknotens $\Omega$ erhält man über |
| - | | \[\begin{array}{llll} \varrho = & - 0\overset{\circ}{.}02752 \ \cos(m) & - 0\overset{\circ}{.}02245 \ \sin(F) & + 0\overset{\circ}{.}00684 \ \cos(m - 2 \ F) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00293 \ \cos(2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00085 \ \cos(2 \ F - 2 \ D) & - 0\overset{\circ}{.}00054 \ \cos(m - 2 \ D) \\ & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \sin(m + F) & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m + 2 \ F) & - 0\overset{\circ}{.}00020 \ \cos(m - F) \\ & + 0\overset{\circ}{.}00014 \ \cos(m + 2 \ F - 2 \ D) & & \\ | + | |
| - | Die Libration in Länge $l'' | + | \[\begin{align} |
| + | \Omega =& | ||
| + | &- 1934\overset{\circ}{.}1362891\cdot T \\ | ||
| + | &+ 0\overset{\circ}{.}0020754\cdot T^2 \\ | ||
| + | &+ \frac{1^{\circ}}{467441} \cdot T^3 \\ | ||
| + | &- \frac{1^{\circ}}{60616000}\cdot T^4 | ||
| + | \end{align}\tag{2}\] | ||
| - | {{tablelayout? | + | und für die Berechnung von $\tau$ benötigt man die beiden Hilfswinkel |
| - | | \[\begin{align} | + | |
| - | l'' | + | |
| - | b'' | + | |
| - | \end{align}\] | | + | |
| + | \[\begin{align} | ||
| + | K_1 &= 119\overset{\circ}{.}75 + 131\overset{\circ}{.}849 \cdot T \\ | ||
| + | K_2 &= 72\overset{\circ}{.}56 + 20\overset{\circ}{.}186 \cdot T | ||
| + | \end{align}\tag{3}\] | ||
| + | ==== Terme für $\varrho$, $\sigma$ und $\tau$ ==== | ||
| + | \[\begin{aligned} | ||
| + | \varrho =& -0.02752\cdot \cos (m) \\ | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | \sigma =& -0.02816\cdot \sin (m) \\ | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | \tau =& | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | & | ||
| + | \end{aligned}\tag{4}\] | ||
| - | + | Die physische Libration in Länge $l'' | |
| - | + | \[\begin{align} | |
| - | + | l'' | |
| - | + | b'' | |
| - | + | \end{align}\tag{5}\] | |
| - | + | ===== Die topozentrische | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | ===== Tägliche | + | |
| Im Vorhergehenden wurde angenommen, dass sich der Beobachter im **Mittelpunkt** der Erde befindet. Ein tatsächlicher Beobachter $B$ befindet sich jedoch an der Erdoberfläche. Daher bildet die Richtung, aus der er auf den Mond schaut, einen Winkel mit der Linie, die die Mittelpunkte von Erde und Mond verbindet (**Abb.3**). Für diesen Beobachter ist der Mittelpunkt $O$ der Mondscheibe nicht derselbe Punkt des Mondglobus wie der Mittelpunkt $m$ für einen geozentrischen Beobachter. Dieser topozentrische Effekt, der ca. $1^\circ 02'$ erreichen kann, variiert im Tagesverlauf, | Im Vorhergehenden wurde angenommen, dass sich der Beobachter im **Mittelpunkt** der Erde befindet. Ein tatsächlicher Beobachter $B$ befindet sich jedoch an der Erdoberfläche. Daher bildet die Richtung, aus der er auf den Mond schaut, einen Winkel mit der Linie, die die Mittelpunkte von Erde und Mond verbindet (**Abb.3**). Für diesen Beobachter ist der Mittelpunkt $O$ der Mondscheibe nicht derselbe Punkt des Mondglobus wie der Mittelpunkt $m$ für einen geozentrischen Beobachter. Dieser topozentrische Effekt, der ca. $1^\circ 02'$ erreichen kann, variiert im Tagesverlauf, | ||
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| ===== Die Ansicht der Libration am Himmel ===== | ===== Die Ansicht der Libration am Himmel ===== | ||
| - | {{: | + | < |
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| Der mittlere Punkt $M$ stellt den Mittelpunkt der Mond**scheibe** dar, wie sie rein optisch am Himmel zu sehen ist. Die roten Linien sind Äquator bzw. Meridian. Die Libration in Länge ist dann das Maß $l$ und die Libration in Breite ist $b$. J. Meeus unterscheidet die optische Libration mit $l', | Der mittlere Punkt $M$ stellt den Mittelpunkt der Mond**scheibe** dar, wie sie rein optisch am Himmel zu sehen ist. Die roten Linien sind Äquator bzw. Meridian. Die Libration in Länge ist dann das Maß $l$ und die Libration in Breite ist $b$. J. Meeus unterscheidet die optische Libration mit $l', | ||
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| l &= l' + l'' | l &= l' + l'' | ||
| b &= b' + b'' | b &= b' + b'' | ||
| - | \end{align}\] | + | \end{align}\tag{6}\] |
| - | $+b$ bedeutet der Nordpol ist dem Beobachter zugewandt und $+l$ bedeutet man sieht mehr von der Westseite (Mond libriert nach Ost). Die Skizze links hat damit $+l,\;-b$. Die vier Kombinationen sind nochmal darunter | + | $+b$ bedeutet der Nordpol ist dem Beobachter zugewandt und $+l$ bedeutet man sieht mehr von der Westseite (Mond libriert nach Ost). Die **Abb.4** |
| - | | {{: | + | {{tablelayout? |
| - | | $+l, | + | | Libration nach Nord und nach Ost, südwestlicher Mondrand gut sichtbar |
| - | | | | | + | | {{: |
| - | | {{:libration_richtungen_l_plus_b_plus.png?250|}} | {{:libration_richtungen_l_minus_b_plus.png?250|}} | | + | | $+l, |
| - | | $+l, | + | | | | |
| + | | Libration nach Süd und nach Ost, nordwestlicher Mondrand gut sichtbar | ||
| + | | {{:libration_richtungen_l_minus_b_plus.png? | ||
| + | | $+l, | ||
libration.1706801550.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/12/20 01:34 (Externe Bearbeitung)