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--- koordinatentransformation [2024/03/04 01:04] – hcgreier
+++ koordinatentransformation [2025/07/15 14:15] (aktuell) – hcgreier
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 $$\begin{align} x &= r \cdot \cos(u) \\
 y &= r \cdot \sin(u) \\
-z &= 0\end{align}$$
+z &= 0\end{align}\tag{1}$$
 $u$ ist das Argument der Breite mit $u = \nu + \omega $. aus dem Abschnitt über die [[kegelschnitte#argument_u|Kegelschnitte]].
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 <imgcaption image1|>{{ ::heliozentrische_ekliptikale_koordinaten.png |Heliozentrische ekliptikale Koordinaten}}</imgcaption>
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
+\[\begin{align} \cos(l)\cdot\cos(b) &=\, x = \cos(u)\cdot\cos(\Omega) - \sin(u)\cdot\cos(i)\cdot\sin(\Omega) \\
-| \[\begin{align} \cos (l)\cdot\cos (b) &=\, x = \cos (u)\cdot\cos (\Omega) - \sin (u)\cdot\cos (i)\cdot\sin (\Omega) \\
+\sin(l)\cdot\cos(b) &=\, y = \cos(u)\cdot\sin(\Omega) + \sin(u)\cdot\cos(i)\cdot\cos(\Omega) \\
-\sin (l)\cdot\cos (b) &=\, y = \cos (u)\cdot\sin (\Omega) + \sin (u)\cdot\cos (i)\cdot\cos (\Omega) \\
+\sin(b) &=\, z = \sin(u)\cdot\sin(i) \end{align}\tag{2}\]
-\sin (b) &=\, z = \sin (u)\cdot\sin (i) \end{align}\] |
+Die Auflösung der kartesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#kartesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die heliozentrisch ekliptikalen Koordinaten $l$ (Länge) und $b$ (Breite).
-Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]].
-Man erhält die heliozentrisch ekliptikalen Koordinaten $l$ (Länge) und $b$ (Breite).
 ===== Geozentrische Koordinaten =====
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 <imgcaption image2|>{{ :geozentrische_ekliptikale_koordinaten.png |Geozentrische ekliptikale Koordinaten}}</imgcaption>
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
+\[\begin{align} \Delta\cdot\cos(\lambda)\cdot\cos(\beta) &=\, x = r\cdot\cos(l)\cdot\cos(b) - R\cdot\cos(L)\cdot\cos(B) \\
-| \[\begin{align} \Delta\cdot\cos(\lambda)\cdot\cos(\beta) &=\, x = r\cdot\cos(l)\cdot\cos(b) - R\cdot\cos(L)\cdot\cos(B) \\
 \Delta\cdot\sin(\lambda)\cdot\cos(\beta) &=\, y = r\cdot\sin(l)\cdot\cos(b) - R\cdot\sin(L)\cdot\cos(B) \\
-\Delta\cdot\sin(\beta) &=\, z = r\cdot\sin(b) - R\cdot\sin(B) \end{align}\] |
+\Delta\cdot\sin(\beta) &=\, z = r\cdot\sin(b) - R\cdot\sin(B) \end{align}\tag{3}\]
+Die Auflösung der kartesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#kartesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die geozentrisch ekliptikalen Koordinaten $\lambda$ (Länge), $\beta$ (Breite) und die geozentrische Distanz $\Delta$ des Himmelsobjekts zur Erde.
-Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]].
-Man erhält die geozentrisch ekliptikalen Koordinaten $\lambda$ (Länge), $\beta$ (Breite) und die geozentrische Distanz $\Delta$ des Himmelsobjekts zur Erde.
 ==== äquatorial ====
 Mit dem äquatorialen Koordinaten wechselt man in ein rotierendes System. Dazu muss die Ekliptikschiefe $\varepsilon$ eingeführt werden, denn um die wird die Eklipitikebene in das äquatoriale System gekippt. Der Frühlingspunkt {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} bleibt Bezugspunkt.
-Für die Epoche $J2000$ gilt: $\varepsilon = 23^\circ 26'21\overset{''}{.}448 = 23\overset{\circ}{.}43929111$
+Für die Epoche $J2000$ gilt: $\varepsilon = 23^\circ 26'21\overset{''}{.}448 = 23\overset{\circ}{.}43929111$. Mehr dazu [[:koordinatentransformation#mittlere_schiefe_der_ekliptik|hier]].
 <imgcaption image3|>{{ :geozentrische_aequatoriale_koordinaten.png |Geozentrische äquatoriale Koordinaten}}</imgcaption>
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
+\[\begin{align} \cos(\delta)\cdot \cos (\alpha)  &=\, x = \cos(\beta)\cdot\cos(\lambda) \\
-| \[\begin{align} \cos (\delta)\cdot \cos (\alpha)  &=\, x = \cos (\beta)\cdot \cos (\lambda) \\
+\cos(\delta)\cdot\sin(\alpha)  &=\, y = \cos(\beta)\cdot\sin(\lambda)\cdot\cos(\varepsilon) - \sin(\beta)\cdot\sin(\varepsilon) \\
-\cos(\delta)\cdot \sin(\alpha)  &=\, y = \cos(\beta)\cdot \sin(\lambda)\cdot \cos(\varepsilon) - \sin (\beta)\cdot \sin (\varepsilon) \\ \sin (\delta)  &=\, z = \cos (\beta)\cdot \sin (\lambda)\cdot \sin (\varepsilon) + \sin (\beta)\cdot \cos (\varepsilon) \end{align}\] |
+\sin(\delta) &=\, z = \cos(\beta)\cdot\sin(\lambda)\cdot\sin(\varepsilon) + \sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon) \end{align}\tag{4}\]
-Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]].
+Die Auflösung der kartesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#kartesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die geozentrisch äquatorialen Koordinaten $\alpha$ (Länge, Rektaszension) und $\delta$ (Breite, Deklination) des Himmelsobjekts zur Erde.
-Man erhält die geozentrisch äquatorialen Koordinaten $\alpha$ (Länge, Rektaszension) und $\delta$ (Breite, Deklination) des Himmelsobjekts zur Erde.
+<WRAP center round tip 100%>
+Für die parktische Berechnung der Rektaszension $\alpha$ kann man die 2. Gleichung durch die 1. Gleichung dividieren und erhält dann
+\(\begin{align}
+\frac{\cos(\delta)\cdot\sin(\alpha)}{\cos(\delta)\cdot\cos(\alpha)} &= \frac{\cos(\beta)\cdot\sin(\lambda)\cdot\cos(\varepsilon) - \sin(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)}{\cos(\beta)\cdot \cos(\lambda)}\\
+\tan(\alpha) &= \frac{\sin(\lambda)\cdot\cos(\varepsilon) - \tan(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)}{\cos(\lambda)}
+\end{align}\tag{5}\)
+Bei der Berechnung von $\alpha$ kann dann die ''arctan2''-Funktion verwendet werden, um $\alpha$ im [[:der_richtige_quadrant|korrekten Quadranten]] zu erhalten.
+</WRAP>
 <WRAP center round info>
-Die Rektaszension wird in Stunden angegeben. $\alpha$ muss anschließend für die Ausgabe durch 24$^h$ geteilt werden. Für die Berechnung verbleibt $\alpha$ in Grad.
+Die Rektaszension wird in Stunden (z.B. $17^h\;58^m\;33\overset{s}{.}423$) angegeben. $\alpha$ muss anschließend für die Ausgabe durch $15\frac{\circ}{h}$ geteilt werden. Für die Berechnung verbleibt $\alpha$ in Grad.
 </WRAP>
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 <imgcaption image4|>{{ :parallaxe_topozentrisch.png |Topozentrische Koordinaten}}</imgcaption>
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
+\[\begin{align} \Delta'\cdot\cos(\alpha')\cdot\cos(\delta') &= x = \Delta\cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\delta) - \rho\cdot\cos(\theta)\cdot\cos(\beta_0) \\
-| \[\begin{align} r'\cdot\cos(\alpha')\cdot\cos(\delta') &= x = r\cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\delta) - \rho\cdot\cos(\theta)\cdot\cos(\beta_0) \\
+\Delta'\cdot\sin(\alpha')\cdot\cos(\delta') &= y = \Delta\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\delta) - \rho\cdot\sin(\theta)\cdot\cos(\beta_0) \\
-r'\cdot\sin(\alpha')\cdot\cos(\delta') &= y = r\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos(\delta) - \rho\cdot\sin(\theta)\cdot\cos(\beta_0) \\
+\Delta'\cdot\sin(\delta') &= z = \Delta\cdot\sin(\delta) - \rho\cdot\sin(\beta_0) \end{align}\tag{6}\]
-r'\cdot\sin(\delta') &= z = r\cdot\sin(\delta) - \rho\cdot\sin(\beta_0) \end{align}\] |
-Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]].
-Man erhält die topozentrisch äquatorialen Koordinaten $\alpha'$ (Länge), $\delta'$ (Breite) und die topozentrische Distanz $r'$ des Himmelsobjekts zum Beobachter.
+Die Auflösung der kartesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#kartesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die topozentrische äquatoriale Länge $\alpha'$ und Breite $\delta'$, sowie die topozentrische Distanz $\Delta'$ des Himmelsobjekts zum Beobachter.
 ===== Horizontale/Azimutale Koordinaten =====
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 <imgcaption image5|>{{ :horizontsystem_winkel.png |Topozentrische Horizontalkoordinaten}}</imgcaption>
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="660px"&float=center}}
+\[\begin{align} \cos(h)\cdot\cos(A) &= x =\cos(\delta')\cdot\cos(\theta - \alpha')\cdot\sin(\beta_0) - \sin(\delta')\cdot\cos(\beta_0) \\ \cos(h)\cdot\sin(A) &= y = \cos(\delta')\cdot\sin(\theta - \alpha') \\ \sin(h) &= z = \cos(\delta')\cdot\cos(\theta - \alpha')\cdot\cos(\beta_0) + \sin(\delta')\cdot\sin(\beta_0) \end{align}\tag{7}\]
-| \[ \begin{align} \cos (h)\cdot \cos (A) &= x = \cos (\delta')\cdot \cos(\theta - \alpha')\cdot \sin (\beta_0) - \sin (\delta')\cdot \cos(\beta_0) \\
-\cos (h)\cdot \sin (A) &= y = \cos (\delta')\cdot \sin (\theta - \alpha')  \\
-\sin (h) &= z = \cos (\delta')\cdot \cos (\theta - \alpha')\cdot \sin (\beta_0) + \sin (\delta')\cdot \sin (\beta_0) \end{align} \] |
-Die Auflösung der karthesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]].
+Die Auflösung der kartesischen Koordinaten erfolgt im Abschnitt über [[:mathematische_grundlagen#kartesisch_sphaerisch|sphärische Koordinaten]]. Man erhält die azimutalen oder horizontalen Koordinaten $A$ (Azimut) und $h$ (Höhe).
-Man erhält die azimutalen oder horizontalen Koordinaten $A$ (Azimut) und $h$ (Höhe).
+{{anchor:azimut}}
+<WRAP center round info 100%>
+**Von welchem Punkt an wird der Azimut gerechnet?**
+William Chauvenet schrieb in seinem //Manual of Spherical and Practical Astronomy//: "Der Ursprung, von dem aus Azimute berechnet werden, ist willkürlich; ebenso ist die Richtung, in der sie berechnet werden; aber Astronomen nehmen normalerweise den Südpunkt des Horizonts als Ursprung an, [...] Navigatoren rechnen jedoch normalerweise mit dem Azimut vom Nord- oder Südpunkt, je nachdem, ob sie sich auf nördlicher oder südlicher Breite befinden.
+Simon Newcomb schrieb in seinem //Kompendium der sphärischen Astronomie//: "In der Praxis wird der Azimut entweder vom Nord- oder vom Südpunkt aus und in beide Richtungen, Ost oder West, gemessen." – dieser große kanadische Astronom hatte also keine bestimmte Präferenz.
+Es wird darauf hingewiesen, dass **auf diesen Seiten** der Azimut vom Südpunkt des Meridians in Richtung West gerechnet wird. In den verschiedenen Astronomie-Programmen ist es nicht immer einheitlich, von welchem Punkt an der Azimut gerechnet wird. Meistens gibt es eine Einstellmöglichkeit, mit der man den Ausgangspunkt festlegen kann.
+</WRAP>
 ===== Baryzentrum =====
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 <imgcaption image6|>{{ :baryzentrum.png?800 |Baryzentrum Erde/Mond und Pluto/Charon}}</imgcaption>
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="660px"&float=center}}
+\[\begin{align} r_B \cdot \cos(b_B) \cdot \cos(l_B) &= x = r \cdot \cos(b) \cdot \cos(l) - G \cdot \cos(B) \cdot \cos(L) \\
-| \[ \begin{align} r_B \cdot \cos(b_B) \cdot \cos(l_B) &= x = r \cdot \cos(b) \cdot \cos(l) - G \cdot \cos(B) \cdot \cos(L) \\
 r_B \cdot \cos(b_B) \cdot \sin(l_B) &= y = r \cdot \cos(b) \cdot \sin(l) - G \cdot \cos(B) \cdot \sin(L) \\
-r_B \cdot \sin(b_B) &= z = r \cdot \sin(b) - G \cdot \sin(B) \end{align} \] |
+r_B \cdot \sin(b_B) &= z = r \cdot \sin(b) - G \cdot \sin(B) \end{align}\tag{8}\]
+===== Mittlere Schiefe der Ekliptik =====
+Nach Jacques Laskar erhält man die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_{0}$ über einen Zeitraum von $J2000 \pm 10000$ Jahren mit dem folgenden Polynom. Dabei ist der Parameter $u = \frac{T}{100}$ oder
+$$u = \frac{JD - 2451545.0}{3652500}\tag{9}$$
+\[\begin{align}
+\varepsilon_{0} =&+ 84381\overset{''}{.}448 - 4680\overset{''}{.}93\cdot u\\
+&- 1\overset{''}{.}55\cdot u^2 + 1999\overset{''}{.}25\cdot u^3\\
+&- 51\overset{''}{.}38\cdot u^4 - 249\overset{''}{.}67\cdot u^5\\
+&- 39\overset{''}{.}05\cdot u^6 + 7\overset{''}{.}12\cdot u^7\\
+&+ 27\overset{''}{.}87\cdot u^8 + 5\overset{''}{.}79\cdot u^9\\
+&+ 2\overset{''}{.}45\cdot u^{10}
+\end{align}\tag{10}\]
+Man beachte hier die Angabe von $\varepsilon_{0}$ in Bogensekunden, man muss noch durch $3600$ teilen, um Grad zu erhalten. Die Genauigkeit dieses Ausdrucks wird vom Autor mit $0\overset{''}{.}01$ für $J2000 \pm 1000$ Jahren (d. h. zwischen 1000 und 3000 n.Chr.) und auf einige Bogensekunden nach $J2000 \pm 10000$ Jahren angegeben.
+<imgcaption image7|Mittlere Schiefe der Ekliptik im Laufe der Jahrtausende>{{ :laskar_epsilon0.png |}}</imgcaption>
+Die **Abb.7** zeigt die Variation von $\varepsilon_0$ von 10.000 Jahren zu beiden Seiten des Jahres 2000 n.Chr. Nach Laskars Formel war die Neigung der Erdachse im Laufe des Jahres $-7530$ maximal ($24^{\circ}14'0''$), um etwa $+12030$ wird ein Minimum ($22^{\circ}36'4''$) erreicht. Durch reinen Zufall befinden wir uns derzeit etwa auf halbem Weg zwischen diesen Extremwerten, etwa in der Mitte der Kurve in der Abbildung. Hier ist der Graph nahezu linear; aus diesem Grund ist in der Formel der Koeffizient von $u^2$ sehr klein.
 ===== Legende =====
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 $\rho$ = geozentrischer Abstand des Beobachters ($\neq R_E$) \\
 $\Delta$ = geozentrischer Abstand des Planeten \\
-$M$ = Erdmittelpunkt
+$M$ = Erdmittelpunkt \\
+$\varepsilon,\varepsilon_0$ = Schiefe der Ekliptik
 </WRAP>