Unterschiede

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--- koordinatenreduktion [2024/04/24 15:24] – [Nutation] hcgreier
+++ koordinatenreduktion [2025/08/22 17:22] (aktuell) – [Refraktion] quern
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 Dieses Kapitel befasst sich mit der Korrektur von Koordinaten, die durch spezielle himmelsmechanische, atmosphärische und relativistische Phänomene und Effekte auftreten. Nachstehend gilt für julianische Jahrhunderte $T$ bezüglich der Epoche $J2000$:
-$$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}$$
+$$T = \frac{JDE - 2451545.0}{36525}\tag{1}$$
 ===== Präzession =====
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-^  Winkel              ^  von                                   ^  bis                                   ^
+^  Tabelle 1                                                                                           |||
+^  Winkel              ^  von                                   ^  bis                                   |
 |  $\Psi$              |  $1$                                   |  {{:fruehlingspunkt.png?20}}$(J2000)$  |
 |  $\chi$              |  $1$                                   |  {{:fruehlingspunkt.png?20}}$(t)$      |
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-^  Äquator  ^
+^  Tabelle 2: Äquator                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            ^
 | \[ \begin{align} \zeta =&\; 2306\overset{''}{.}2181\cdot T + 0\overset{''}{.}30188\cdot T^2 + 0\overset{''}{.}017998\cdot T^3\\ z =&\; 2306\overset{''}{.}2181\cdot T + 1\overset{''}{.}09468\cdot T^2 + 0\overset{''}{.}018203\cdot T^3\\ \theta =&\; 2004\overset{''}{.}3109\cdot T - 0\overset{''}{.}42665\cdot T^2 - 0\overset{''}{.}041833\cdot T^3\\ \chi =&\; 10\overset{''}{.}5526\cdot T - 2\overset{''}{.}38064\cdot T^2 - 1\overset{''}{.}125\cdot 10^{-3}\cdot T^3 \end{align} \]  |
-$$\alpha' = \alpha + \zeta + z + \theta\cdot\tan(\delta)\cdot\sin(\alpha)$$
+$$\alpha' = \alpha + \zeta + z + \theta\cdot\tan(\delta)\cdot\sin(\alpha)\tag{2}$$
-$$\delta' = \delta + \theta\cdot\cos(\alpha)$$
+$$\delta' = \delta + \theta\cdot\cos(\alpha)\tag{3}$$
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-^  Ekliptik  ^
+^  Tabelle 3: Ekliptik                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 ^
-|\[ \begin{align}
+| \[ \begin{align} \Pi =&\; 629554\overset{''}{.}982 - 869\overset{''}{.}8089\cdot T + 0\overset{''}{.}03536\cdot T^2\\ p =&\; 5029\overset{''}{.}0966\cdot T + 1\overset{''}{.}11113\cdot T^2 - 6\overset{''}{.}0\cdot 10^{-6}\cdot T^3\\ \eta =&\; 47\overset{''}{.}0029\cdot T - 0\overset{''}{.}03302\cdot T^2 - 6\overset{''}{.}0\cdot 10^{-5}\cdot T^3\\ \psi =&\; 5038\overset{''}{.}7784\cdot T - 1\overset{''}{.}07259\cdot T^2 - 1\overset{''}{.}147\cdot 10^{-3}\cdot T^3\\ \end{align} \]  |
-\Pi =&\; 629554\overset{''}{.}982 - 869\overset{''}{.}8089\cdot T + 0\overset{''}{.}03536\cdot T^2\\
-p =&\; 5029\overset{''}{.}0966\cdot T + 1\overset{''}{.}11113\cdot T^2 - 6\overset{''}{.}0\cdot 10^{-6}\cdot T^3\\
-\eta =&\; 47\overset{''}{.}0029\cdot T - 0\overset{''}{.}03302\cdot T^2 - 6\overset{''}{.}0\cdot 10^{-5}\cdot T^3\\
-\psi =&\; 5038\overset{''}{.}7784\cdot T - 1\overset{''}{.}07259\cdot T^2 - 1\overset{''}{.}147\cdot 10^{-3}\cdot T^3\\
-\end{align} \] |
-$$\lambda' = \lambda + p + \eta\cdot\tan(\beta)\cdot\cos(\lambda - \Pi)$$
+$$\lambda' = \lambda + p + \eta\cdot\tan(\beta)\cdot\cos(\lambda - \Pi)\tag{4}$$
-$$\beta' = \beta - \eta\cdot\sin(\lambda - \Pi)$$
+$$\beta' = \beta - \eta\cdot\sin(\lambda - \Pi)\tag{5}$$
 [[bahnelemente|Bahnelemente:]]
-$$i' = i - \eta\cdot\cos(\Pi - \Omega)$$
+$$i' = i - \eta\cdot\cos(\Pi - \Omega)\tag{6}$$
-$$\Omega' = \Omega + p - \eta\frac{\sin(\Pi - \Omega)}{\tan(i)} \quad \forall i \neq 0^{\circ} $$
+$$\Omega' = \Omega + p - \eta\cdot\frac{\sin(\Pi - \Omega)}{\tan(i)} \quad \forall i \neq 0^{\circ}\tag{7}$$
-$$\omega' = \omega + \eta\frac{\sin(\Pi - \Omega)}{\sin(i)}$$
+$$\omega' = \omega + \eta\cdot\frac{\sin(\Pi - \Omega)}{\sin(i)}\tag{8}$$
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 <imgcaption image3|>{{ :nutation.png |Größen zur Nutation}}</imgcaption>
-Die astronomische Nutation (lat.: nutare ‚nicken‘) ist der schwankende Teil der Präzession der Erdachse im Raum unter dem Einfluss von Sonne und Mond. Die Stärke dieser Schwankungen wird durch die Präzession der Mondbahn verursacht, deren Knotenlinie mit einer Periode von $18.6$ Jahren die Erde umläuft. Die zur Berechnung der Nutation benötigten Mittelwerte lauten:
+Die astronomische Nutation (lat.: //nutare// = 'nicken') ist der schwankende Teil der Präzession der Erdachse im Raum unter dem Einfluss von Sonne und Mond. Die Stärke dieser Schwankungen wird durch die Präzession der Mondbahn verursacht, deren Knotenlinie mit einer Periode von $18.6$ Jahren die Erde umläuft. Die zur Berechnung der Nutation benötigten Mittelwerte lauten:
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-^  Mond                                                                                                                                                          ^  Sonne                                                                                                                                                   ^
+^  Tabelle 4  ||
+^  Mond  ^  Sonne  ^
 |  \begin{align} m =\;& 134\overset{\circ}{.}96298139 \\ &+ 477198\overset{\circ}{.}86739806 \cdot T \\ &+ 0\overset{\circ}{.}00869722 \cdot T^2\\ \end{align}   |  \begin{align} M =\;&357\overset{\circ}{.}52772333 \\ &+35999\overset{\circ}{.}05034 \cdot T \\ &-0\overset{\circ}{.}000160278 \cdot T^2\\ \end{align}   |
 |  \begin{align} l =\;& 218\overset{\circ}{.}31643250 \\ &+ 481267\overset{\circ}{.}88127722 \cdot T \\  &+ 0\overset{\circ}{.}00161167 \cdot T^2\\ \end{align}  |  \begin{align} L =\;&280\overset{\circ}{.}46606944 \\ &+36000\overset{\circ}{.}76979722 \cdot T \\ &+0\overset{\circ}{.}0003025 \cdot T^2\\ \end{align}  |
 |  \begin{align} \Omega =\;&125\overset{\circ}{.}04452222 \\ &-1934\overset{\circ}{.}13626083 \cdot T \\ &+0\overset{\circ}{.}00207083 \cdot T^2\\ \end{align}   |                                                                                                                                                          |
-Die Tabelle:
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-^ Korrekturwert        ^  O. Montenbruck:                                                                     ^  J. Meeus:                                                                             ^
+^  Tabelle 5                                                                                                                                                                                           |||
-| $\Delta\lambda$      | $-17\overset{''}{.}200\cdot \sin(\Omega) + 0\overset{''}{.}206\cdot \sin(2 \Omega)$  | $-17\overset{''}{.}2327\cdot \sin(\Omega) + 0\overset{''}{.}2088\cdot \sin(2 \Omega)$  |
+^  Korrekturwert         ^  O. Montenbruck:                                                                     ^  J. Meeus:                                                                             ^
-|                      | $-1\overset{''}{.}319\cdot \sin(2 L) + 0\overset{''}{.}143\cdot \sin(M)$             | $-1\overset{''}{.}2729\cdot \sin(2 L) +0\overset{''}{.}1261 \sin(M)$                   |
+| $\Delta\lambda$ =      | $-17\overset{''}{.}200\cdot \sin(\Omega) + 0\overset{''}{.}206\cdot \sin(2 \Omega)$  | $-17\overset{''}{.}2327\cdot \sin(\Omega) + 0\overset{''}{.}2088\cdot \sin(2 \Omega)$  |
-|                      | $-0\overset{''}{.}227\cdot \sin(2 l) +0\overset{''}{.}071\cdot \sin(m)$              | $-0\overset{''}{.}2037\cdot \sin(2 l) +0\overset{''}{.}0675\cdot \sin(m)$              |
+|                        | $-1\overset{''}{.}319\cdot \sin(2 L) + 0\overset{''}{.}143\cdot \sin(M)$             | $-1\overset{''}{.}2729\cdot \sin(2 L) +0\overset{''}{.}1261 \sin(M)$                   |
-| $\Delta\varepsilon$  | $+9\overset{''}{.}203\cdot \cos(\Omega) - 0\overset{''}{.}090\cdot \cos(2 \Omega)$   | $+9\overset{''}{.}2100\cdot \cos(\Omega) - 0\overset{''}{.}0904\cdot \cos(2 \Omega)$   |
+|                        | $-0\overset{''}{.}227\cdot \sin(2 l) +0\overset{''}{.}071\cdot \sin(m)$              | $-0\overset{''}{.}2037\cdot \sin(2 l) +0\overset{''}{.}0675\cdot \sin(m)$              |
-|                      | $+0\overset{''}{.}574\cdot \cos(2 L) + 0\overset{''}{.}022\cdot \cos(2 L + M)$       | $+0\overset{''}{.}5522\cdot \cos(2 L) +0\overset{''}{.}0216\cdot \cos(2 L + M)$        |
+| $\Delta\varepsilon$ =  | $+9\overset{''}{.}203\cdot \cos(\Omega) - 0\overset{''}{.}090\cdot \cos(2 \Omega)$   | $+9\overset{''}{.}2100\cdot \cos(\Omega) - 0\overset{''}{.}0904\cdot \cos(2 \Omega)$   |
-|                      | $+0\overset{''}{.}098\cdot \cos(2 l) + 0\overset{''}{.}020\cdot \cos(2 l -\Omega)$   | $+0\overset{''}{.}0884\cdot \cos(2 l) +0\overset{''}{.}0183\cdot \cos(2 l -\Omega)$    |
+|                        | $+0\overset{''}{.}574\cdot \cos(2 L) + 0\overset{''}{.}022\cdot \cos(2 L + M)$       | $+0\overset{''}{.}5522\cdot \cos(2 L) +0\overset{''}{.}0216\cdot \cos(2 L + M)$        |
+|                        | $+0\overset{''}{.}098\cdot \cos(2 l) + 0\overset{''}{.}020\cdot \cos(2 l -\Omega)$   | $+0\overset{''}{.}0884\cdot \cos(2 l) +0\overset{''}{.}0183\cdot \cos(2 l -\Omega)$    |
 Es gilt:
-$$\lambda' = \lambda + \frac{\Delta\lambda}{3600\tfrac{''}{^\circ}}$$
+$$\lambda' = \lambda + \frac{\Delta\lambda}{3600\tfrac{''}{^\circ}}\tag{9}$$
-$$\varepsilon' = \varepsilon + \frac{\Delta\varepsilon}{3600\tfrac{''}{^\circ}}$$
+$$\varepsilon' = \varepsilon + \frac{\Delta\varepsilon}{3600\tfrac{''}{^\circ}}\tag{10}$$
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-mittlerer {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} = vor der Korrektur \\
+mittlerer {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} = Frühlingspunkt vor der Korrektur \\
-wahrer {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} = nach der Korrektur \\
+wahrer {{:fruehlingspunkt.png?nolink&20|}} = Frühlingspunkt nach der Korrektur \\
 $\varepsilon$ = alte Ekliptikschiefe \\
 $\varepsilon '$ = neue, nutationskorrigierte Ekliptikschiefe \\
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 \(\begin{align}
 JDE &= JD + \frac{\Delta T}{86400}\\
-   &= 2460085.84375 + \frac{69^{s}}{86400\tfrac{s}{d}}\\
+&= 2460085.84375 + \frac{69^{s}}{86400\tfrac{s}{d}}\\
-   &= 2460085.844548611
+&= 2460085.844548611
 \end{align}\)
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 \(\begin{align}
 T&= \frac{JD - 2451545.0}{36525}\\
-   &= \frac{2460085.844548611 - 2451545.0}{36525}\\
+&= \frac{2460085.844548611 - 2451545.0}{36525}\\
-   &= 0.23383557970187463
+&= 0.23383557970187463
 \end{align}\)
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 <imgcaption image4|>{{ :aberration_1.png |Aberration}}</imgcaption>
-Die Aberration (lat. aberratio: Verirrung) beschreibt die scheinbare Position eines Himmelsobjekts durch einen bewegten Beobachter, auch
+Die Aberration (lat. //aberratio// = 'Verirrung') beschreibt die scheinbare Position eines Himmelsobjekts durch einen bewegten Beobachter, auch
 bedingt durch die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit $c$. Der Ort des Sterns oder Planeten erscheint verschoben und muss korrigiert werden.
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 Nimmt man die Erdbahngeschwindigkeit $v_1 = 29.785 \frac{km}{s}$ und die Äquatorgeschwindigkeit $v_2 = 465.096 \frac{m}{s}$, so erhält man die 1. Aberrationskonstante $k_1$ bzw. 2. Aberrationskonstante $k_2$:
-$$k_1 = \dfrac{20\overset{''}{.}4934472502}{3600''}$$
+$$k_1 = \dfrac{20\overset{''}{.}4934472502}{3600''}\tag{11}$$
-$$k_2 = \dfrac{0\overset{''}{.}3200138652125}{3600''}$$
+$$k_2 = \dfrac{0\overset{''}{.}3200138652125}{3600''}\tag{12}$$
 **Die tägliche Aberration:**
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 A_t &= k_2\cdot \frac{\cos(\beta_0) \cdot \cos(\theta - \alpha)}{15^h \cos(\delta)}\\
 D_t &= k_2\cdot \cos(\beta_0) \cdot \sin(\theta - \alpha) \cdot \sin(\delta)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{13}\]
 Die neuen scheinbaren, äquatorialen Koordinaten bekommt man durch Addition:
-$$\alpha_t = \alpha_i - A_t \quad und \quad \delta_t = \delta_i - D_t$$
+$$\alpha_t = \alpha_i - A_t \quad und \quad \delta_t = \delta_i - D_t\tag{14}$$
 **Die jährliche Aberration:**
 Die jährliche Aberration ist die Abweichung durch den Umlauf der Erde um die Sonne:
+\[\begin{align} A &= k_1\cdot \frac{\sin(L) \cdot \sin(\alpha) + \cos(L) \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\varepsilon)}{15^h \cos(\delta)} \\\\ D &= k_1\cdot (\sin(\delta) \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(L)\\ &+ (\sin(\varepsilon) \cdot \cos(\delta)\\ &- \cos(\varepsilon) \cdot \sin(\delta) \cdot \sin(\alpha)) \cdot \cos(L)) \\\\ A_e &= k_1\cdot \epsilon\cdot \frac{\sin(\varpi) \cdot \sin(\alpha) + \cos(\varpi) \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\varepsilon)}{15^h \cos(\delta)} \\\\ D_e &= k_1\cdot \epsilon (\sin(\delta) \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\varpi)\\ &+ (\sin(\varepsilon) \cdot \cos(\delta)\\ &- \cos(\varepsilon) \sin(\delta) \cdot \sin(\alpha)) \cdot \cos(\varpi)) \end{align}\tag{15}\]
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="514px"&float=center}}
-|  \[\begin{align} A &= k_1\cdot \frac{\sin(L) \cdot \sin(\alpha) + \cos(L) \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\varepsilon)}{15^h \cos(\delta)} \\\\ D &= k_1\cdot (\sin(\delta) \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(L)\\ &+ (\sin(\varepsilon) \cdot \cos(\delta)\\ &- \cos(\varepsilon) \cdot \sin(\delta) \cdot \sin(\alpha)) \cdot \cos(L)) \\\\ A_e &= k_1\cdot \epsilon \frac{\sin(\varpi) \cdot \sin(\alpha) + \cos(\varpi) \cdot \cos(\alpha) \cdot \cos(\varepsilon)}{15^h \cos(\delta)} \\\\ D_e &= k_1\cdot \epsilon (\sin(\delta) \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\varpi)\\ &+ (\sin(\varepsilon) \cdot \cos(\delta)\\ &- \cos(\varepsilon) \sin(\delta) \cdot \sin(\alpha)) \cdot \cos(\varpi)) \end{align}\]  |
 Die neuen scheinbaren, äquatorialen Koordinaten bekommt man wieder durch eine Addition:
-$$\alpha_i = \alpha - (A + A_e) \quad und \quad \delta_i = \delta - (D + D_e)$$
+$$\alpha_i = \alpha - (A + A_e) \quad und \quad \delta_i = \delta - (D + D_e)\tag{16}$$
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 <imgcaption image5|>{{ :refraktion.png? |Refraktion}}</imgcaption>
-Die Refraktion ist die Richtungsänderung eines Lichtstrahls auf seinen Weg durch die geschichtete Atmosphäre. Ursache ist der Anstieg des Brechungsindexes. Sie bewirkt eine Anhebung des Himmelsobjekts in der Höhe. Es werden die Formeln angegeben, mit denen man aus der >>luftlosen<<, wahren Höhe $h$ mittels einer Addition der Refraktion $R(h)$ die scheinbare Höhe $h'$ berechnet werden kann.  [[:literaturhinweise#books_meeus|J. Meeus]] stellt in seinen Astronomical Algorithms eine Zahlenwert-Gleichung von G.G. Bennet vor, die das berechnt:
+Die Refraktion ist die Richtungsänderung eines Lichtstrahls auf seinen Weg durch die geschichtete Atmosphäre. Ursache ist der Anstieg des Brechungsindexes. Sie bewirkt eine Anhebung des Himmelsobjekts in der Höhe. Es werden die Formeln angegeben, mit denen man aus der >>luftlosen<<, wahren Höhe $h$ mittels einer Addition der Refraktion $R(h)$ die scheinbare Höhe $h'$ berechnet werden kann.  [[:literaturhinweise#books_meeus|J. Meeus]] stellt in seinen Astronomical Algorithms eine Zahlenwert-Gleichung von G.G. Bennet vor, die das berechnet:
-$$R(h) = \frac{1}{\tan\left(h + \dfrac{7\overset{\circ}{.}31}{h + 4\overset{\circ}{.}4}\right)}$$
+$$R(h) = \frac{1}{\tan\left(h + \dfrac{7\overset{\circ}{.}31}{h + 4\overset{\circ}{.}4}\right)}\tag{17}$$
 Dabei ist $h$ in **Grad** einzusetzen, das Ergebnis erhält man in **Bogenminuten**. Die Gleichung versagt jedoch im Zenit ($h = 90^\circ$):
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 Auch für das umgekehrte Problem gibt es eine einfache Näherungsformel, wenn man aus der scheinbaren Höhe $h'$ die Refraktion ermitteln möchte:
-$$R(h') = \frac{1.02}{\tan\left(h' + \dfrac{10\overset{\circ}{.}3}{h' + 5\overset{\circ}{.}11}\right)}$$
+$$R(h') = \frac{1.02}{\tan\left(h' + \dfrac{10\overset{\circ}{.}3}{h' + 5\overset{\circ}{.}11}\right)}\tag{18}$$
   *Für $h' = 90^{\circ}$ ist auch hier die Refraktion $R(h')\ne 0$, was mit dem Korrekturfaktor $+0\overset{'}{.}0019279$ beseitigt werden kann.
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 Der nächste Punkt ist eine weitere Korrektur $K$ (in Bogenminuten) des Refraktionsverlaufs für alle Höhen, bis auf den Zenit mit:
-$$K = - 0.06\cdot \sin\left(14.7\cdot R(h) + 13.0\right)$$
+$$K = - 0.06\cdot \sin(14.7\cdot R(h) + 13.0)\tag{19}$$
 Als Letztes wird noch der Druck $p$ in [hPa] und die Temperatur $T$ in [°C] berücksichtigt. Sind die obigen Berechnungen abgeschlossen, so muss noch der Wetterterm $W$ multipliziert werden:
-$$W(p,T) = \frac{p}{1013.246 \ \textsf{hPa}} \cdot \frac{283.16 \ K}{273.16 \ K + T}$$
+$$W(p,T) = \frac{p}{1013.246 \ \textsf{hPa}} \cdot \frac{283.16 \ K}{273.16 \ K + T}\tag{20}$$
 Es gilt:
-$$R(h) = W(p,T)\cdot\big{(}R(h) + C + K\big{)}$$
+$$R(h) = W(p,T)\cdot\big{(}R(h) + C + K\big{)}\tag{21}$$
 Die nachfolgende Tabelle stammt aus [[:literaturhinweise#books_roth|G.D. Roth]] (Handbuch für Sternfreunde) und zeigt die zu erwartenden Ablenkungen $R$ bei verschiedenen Temperaturen $T$ für $p = 1013.246 \textsf{hPa}$.
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,150px,150px,150px,150px,150px"&float=center}}
-^ Zenitdistanz ^ Refraktion $R$ ^ Refraktion $R$ ^ Zenitdistanz ^ Refraktion $R$ ^ Refraktion $R$ ^
+^  Tabelle 6  ||||||
-| $z$ | $T$ (10°C) | $T$ (0°C) | $z$ | $T$ (10°C)| $T$ (0°C) |
+^  Zenitdistanz  ^  Refraktion $R$  ^  Refraktion $R$  ^  Zenitdistanz  ^  Refraktion $R$  ^  Refraktion $R$  ^
-| $00^\circ 00'$ | $0' 00''$ | $0' 00''$ | $83^\circ 00'$ | $7' 24''$  |        |
+^  $z$  ^  $T$ (10°C)  ^  $T$ (0°C)  ^  $z$  ^  $T$ (10°C)  ^  $T$ (0°C)  ^
-| $10^\circ 00'$ | $0' 10''$ | $0' 11''$ | $84^\circ 00'$ | $8' 28''$  |        |
+|  $00^\circ 00'$  |  $0' 00''$  |  $0' 00''$  |  $83^\circ 00'$  |  $07' 24''$  |        |
-| $20^\circ 00'$ | $0' 21''$ | $0' 22''$ | $85^\circ 00'$ | $9' 52''$  | $10' 15''$ |
+|  $10^\circ 00'$  |  $0' 10''$  |  $0' 11''$  |  $84^\circ 00'$  |  $08' 28''$  |        |
-| $30^\circ 00'$ | $0' 34''$ | $0' 35''$ | $86^\circ 00'$ | $11' 45''$ |        |
+|  $20^\circ 00'$  |  $0' 21''$  |  $0' 22''$  |  $85^\circ 00'$  |  $09' 52''$  |  $10' 15''$  |
-| $40^\circ 00'$ | $0' 49''$ | $0' 51''$ | $86^\circ 30'$ | $12' 56''$ |        |
+|  $30^\circ 00'$  |  $0' 34''$  |  $0' 35''$  |  $86^\circ 00'$  |  $11' 45''$  |        |
-| $50^\circ 00'$ | $1' 09''$ | $1' 11''$ | $87^\circ 00'$ | $14' 22''$ |        |
+|  $40^\circ 00'$  |  $0' 49''$  |  $0' 51''$  |  $86^\circ 30'$  |  $12' 56''$  |        |
-| $55^\circ 00'$ | $1' 23''$ |           | $87^\circ 30'$ | $16' 09''$ |        |
+|  $50^\circ 00'$  |  $1' 09''$  |  $1' 11''$  |  $87^\circ 00'$  |  $14' 22''$  |        |
-| $60^\circ 00'$ | $1' 41''$ | $1' 45''$ | $88^\circ 00'$ | $18' 18''$ | $19' 07''$ |
+|  $55^\circ 00'$  |  $1' 23''$  |             |  $87^\circ 30'$  |  $16' 09''$  |        |
-| $65^\circ 00'$ | $2' 04''$ |           | $88^\circ 30'$ | $21' 05''$ |        |
+|  $60^\circ 00'$  |  $1' 41''$  |  $1' 45''$  |  $88^\circ 00'$  |  $18' 18''$  |  $19' 07''$  |
-| $70^\circ 00'$ | $2' 39''$ | $2' 45''$ | $89^\circ 00'$ | $24' 37''$ | $25' 36''$ |
+|  $65^\circ 00'$  |  $2' 04''$  |             |  $88^\circ 30'$  |  $21' 05''$  |        |
-| $75^\circ 00'$ | $3' 34''$ | $3' 42''$ | $89^\circ 20'$ | $27' 36''$ |        |
+|  $70^\circ 00'$  |  $2' 39''$  |  $2' 45''$  |  $89^\circ 00'$  |  $24' 37''$  |  $25' 36''$  |
-| $80^\circ 00'$ | $5' 19''$ | $5' 31''$ | $89^\circ 40'$ | $31' 09''$ |        |
+|  $75^\circ 00'$  |  $3' 34''$  |  $3' 42''$  |  $89^\circ 20'$  |  $27' 36''$  |        |
-| $81^\circ 00'$ | $5' 52''$ |           | $90^\circ 00'$ | $35' 24''$ | $36' 38''$ |
+|  $80^\circ 00'$  |  $5' 19''$  |  $5' 31''$  |  $89^\circ 40'$  |  $31' 09''$  |        |
-| $82^\circ 00'$ | $6' 33''$ |           |                |            |        |
+|  $81^\circ 00'$  |  $5' 52''$  |             |  $90^\circ 00'$  |  $35' 24''$  |  $36' 38''$  |
+|  $82^\circ 00'$  |  $6' 33''$  |             |                  |              |        |
 Die Höhe $h$ wird dann korrigiert mit
-$$h' = h + \frac{R(h)}{60'}$$
+$$h' = h + \frac{R(h)}{60'}\tag{22}$$
 <WRAP center round box 100%>
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 Der Beobachter $E$ hat zum Zeitpunkt $t$ den Eindruck, Licht von $P$ zu empfangen. Er erhält jedoch tatsächlich ein Signal, welches zum Zeitpunkt $t − \tau$ von $P'$ ausgesandt wurde. In der Zeit $\tau$ hat sich das Objekt auf der (als gekrümmt dargestellten) Bahn weiterbewegt.
-\[ \begin{align} \tau &= \frac{1 AE}{1c\cdot 24^h\cdot 3600^s} \cdot \Delta \text{ Tage}\\
+\[\begin{align} \tau &= \frac{1 AE}{1c\cdot 24^h\cdot 3600^s} \cdot \Delta \text{ Tage}\\
 &= 0\overset{d}{.}005775518304 \cdot \Delta\\
-&\approx \frac{\Delta}{173.14} \text{ Tage} \end{align} \]
+&\approx \frac{\Delta}{173.14} \text{ Tage} \end{align}\tag{23}\]
 Die Korrektur der Lichtlaufzeit $\tau$ liefert die astrometrischen Koordinaten.
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 $c$ = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
 </WRAP>
 ===== Extinktion =====
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 folgenden Gleichungen stammen aus [[:literaturhinweise#books_roth|G.D. Roth]] (Handbuch für Sternfreunde). Der Luftmassenfaktor $M$ reduziert das einfallende Licht auf gleichlange Wege und bezeichnet gleichzeitig die Dicke der Luftmasse. Der Luftmassenfaktor M(z):
-$$M(z) = \frac{1}{\cos(z - \Delta(z))}$$
+$$M(z) = \frac{1}{\cos(z - \Delta(z))}\tag{24}$$
 mit
-$$\Delta(z) \approx 0.05^{\circ}\cdot \frac{z}{93^{\circ} - z} \quad (0^{\circ} \leq z \leq 87^{\circ})$$
+$$\Delta(z) \approx 0.05^{\circ}\cdot \frac{z}{93^{\circ} - z} \quad (0^{\circ} \leq z \leq 87^{\circ})\tag{25}$$
-Im Zenit ist $M = 1$. Die Koeffizienten der Dunstextinktion $k_d$ und der Rayleigh-Streuung $k_r$ lauten:
-$$k_r = \frac{0.00906\;p}{1013.25\;\textsf{hPa}}\cdot \left(\frac{\lambda}{1 \textsf{µm}}\right)^{-4}$$
+Im Zenit ist $M = 1$. Die Koeffizienten der Dunstextinktion $k_d$ und der Rayleigh - Streuung $k_r$ lauten:
-$$k_d = 1.086\cdot \beta\cdot \left(\frac{\lambda}{1 \textsf{µm}}\right)^{-\alpha}$$
-$\alpha$ ist hier der Wellenlängenexponent. Normalerweise ($\beta$ = 0.1) ist $\alpha = 1.3$, bei Staubstürmen ist $\alpha = 0.5$. Bei
+$$k_r = \frac{0.00906\;p}{1013.25\;\textsf{hPa}}\cdot \left(\frac{\lambda}{1 \textsf{µm}}\right)^{-4}\tag{26}$$
-Wolken ist $\alpha = 0$ und $\beta$ sehr hoch. $\lambda$ ist die beobachtete Wellenlänge. Gelbes Licht: $\lambda = 550\;nm$.
+$$k_d = 1.086\cdot \beta\cdot \left(\frac{\lambda}{1 \textsf{µm}}\right)^{-\alpha}\tag{27}$$
-Im Zenit ist die Lichtausbeute $\mu (z) = 1$. Im Allgemeinen gilt deshalb $\beta\approx$ 0.1.
+$\alpha$ ist hier der Wellenlängenexponent. Normalerweise ($\beta$ = 0.1) ist $\alpha = 1.3$, bei Staubstürmen ist $\alpha = 0.5$. Bei Wolken ist $\alpha = 0$ und $\beta$ sehr hoch. $\lambda$ ist die beobachtete Wellenlänge. Gelbes Licht: $\lambda = 550\;nm$. Im Zenit ist die Lichtausbeute $\mu (z) = 1$. Im Allgemeinen gilt deshalb $\beta\approx$ 0.1.
 Es gilt $k_r$ + $k_d = 0.335252293177$. Das Licht eines Sterns im Zenit ist schon leicht geschwächt. Zur Ermittelung der Lichtausbeute wird deshalb der bereits angedeutete Faktor $\beta$ eingeführt, der den Zustand der Atmosphäre charakterisiert:
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 Als nächstes wird die optische Durchlässigkeit $T$ (Opazität) mit Hilfe von $M$ gebraucht. Sie gibt die Abschwächung des Lichts an.
-$$m(z) = (k_r + k_d)\cdot M(z)$$
+$$m(z) = (k_r + k_d)\cdot M(z)\tag{28}$$
-$$T(z) = 10^{-0.4 \cdot m(z)}$$
+$$T(z) = 10^{-0.4 \cdot m(z)}\tag{29}$$
 Die Extinktion $E$ ist dann die gewünschte Korrektur der Helligkeit des Himmelobjekts.
-$$E(z) = (k_r + k_d + D(\lambda)\cdot t)\cdot (M(z) - 1)$$
+$$E(z) = (k_r + k_d + D(\lambda)\cdot t)\cdot (M(z) - 1)\tag{30}$$
-$$\mu(z) = 10^{-0.4\cdot E(z)}$$
+$$\mu(z) = 10^{-0.4\cdot E(z)}\tag{31}$$
 Der Term $D(\lambda)$ ist der Driftkoeffizient und kann je nach meteorologischen Bedingungen 0.001 $\tfrac{mag}{h}$ bis 0.1 $\tfrac{mag}{h}$ betragen. $E$ muss dann nur noch zur Größenklasse des Stern addiert werden. t ist die Zeit in Stunden, in der sich der Koeffizient D ändert. Die Extinktionstabelle stammt von der Sternwarte Höfingen.
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="90px,90px,90px,90px,90px,90px,90px,90px"&float=center}}
-^  $z[^\circ]$  ^  $E(z)$                  ^  $z[^\circ]$  ^  $E(z)$                  ^  $z[^\circ]$  ^  $E(z)$                  ^  $z[^\circ]$  ^  $E(z)$                  ^
+^  Tabelle 7  ||||||||
+^  $z[^\circ]$  ^  $E(z)$               ^  $z[^\circ]$     ^  $E(z)$                  ^  $z[^\circ]$  ^  $E(z)$          ^  $z[^\circ]$  ^  $E(z)$  ^
 |  $0 $         |  $0\overset{^{m}}{.}0 $  |  $50$         |  $0\overset{^{m}}{.}12$  |  $76$         |  $0\overset{^{m}}{.}71$  |  $82$         |  $1\overset{^{m}}{.}18$  |
 |  $20$         |  $0\overset{^{m}}{.}01$  |  $60$         |  $0\overset{^{m}}{.}23$  |  $77$         |  $0\overset{^{m}}{.}77$  |  $84$         |  $1\overset{^{m}}{.}49$  |
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,150px"&float=center}}
-| 1. Lichtlaufzeit | Parallaxe |
+^  Tabelle 8  ||
-| 2. Aberration | Abplattung |
+| 1. Lichtlaufzeit |  Parallaxe  |
-| 3. Präzession | Refraktion |
+| 2. Aberration |  Abplattung  |
-| 4. Nutation | Extinktion |
+| 3. Präzession |  Refraktion  |
+| 4. Nutation |  Extinktion  |
 Die Lichtlaufzeit erfolgt als erstes, dann Aberration, Präzession und zum Schluss die Nutation. Bei der Parallaxe, Abplattung, Refraktion und Extinktion ist die Reihenfolge unwichtig.
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 ===== Die geometrische Position =====
-Die geometrischen Koordinaten eines Planeten ist die wahre Position eines Himmelskörpers zu einem gegebenen Zeitpunkt. Das heißt, dass die Aberration und Lichtlaufzeit nicht berücksichtigt wurde. Es handelt sich um die mittleren Bahnelemente und die heliozentrischen Koordinaten, die nur störungstheoretische Korrekturen erfahren haben. Sowie daraus durch Koordinatentransformation erzeugte geozentrische Koordinaten, sei es ekliptikal oder äquatorial.
+Die geometrischen Koordinaten eines Planeten ist die echte Position eines Himmelskörpers zu einem gegebenen Zeitpunkt. Das heißt, dass die Aberration und Lichtlaufzeit nicht berücksichtigt wurde. Es handelt sich um die mittleren Bahnelemente und die heliozentrischen Koordinaten, die nur störungstheoretische Korrekturen erfahren haben. Sowie daraus durch Koordinatentransformation erzeugte geozentrische Koordinaten, sei es ekliptikal oder äquatorial.
 ===== Die astrometrische Position =====
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 Das sind tatsächlich ursprünglich geo- oder astrometrische Koordinaten, die durch die Korrekturen wie Aberration, Refraktion und die Parallaxe berechnet werden und die wirkliche Position am Himmel wiedergeben, wie sie von einem Beobachter gesehen wird.
+===== Die mittlere Position =====
+Hier ist nicht die mittlere Bewegung gemeint, sondern die Korrektur in der Präzession. Werden scheinbare Koordinaten durch die Präzession äquatorial oder ekliptikal korrigiert, so erhält man die mittleren Koordinaten oder das mittlere Äquinoktium. Die Bezeichnung mittlere Koordinaten wird im Zusammenhang mit der Präzession nur selten verwendet.
 ===== Die wahre Position =====
-Werden Koordinaten mit mittleren Äquinoktium durch die Nutation korrigiert, so erhält man die wahren, ekliptikalen Koordinaten.
+Werden Koordinaten mit mittleren Äquinoktium durch die Nutation korrigiert, so erhält man die wahren, ekliptikalen Koordinaten. Das gilt auch für die wahre Sternzeit.
 ===== Tabelle =====
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,145px,150px,120px,80px,140px,"&float=center}}
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,145px,150px,120px,100px,80px,140px,"&float=center}}
-^ Bezeichung der Koordinaten nach ihren Korrekturen                                               ||||||
+^  Tabelle 9: Bezeichnung der Koordinaten nach ihren Korrekturen                                   |||||||
-^ **Korrektur** ^ **geometrische** ^ **astrometrische** ^ **scheinbare** ^ **wahre** ^ **geodätische** ^
+^ **Korrektur** ^ **geometrische** ^ **astrometrische** ^ **scheinbare** ^ **mittlere** ^ **wahre** ^ **geodätische** ^
-| Lichtlaufzeit |                  |  ✅                |                |           |                 |
+| keine         |  ✅              |                    |                |            |          |                 |
-| Aberration    |                  |                    |  ✅            |           |                 |
+| Lichtlaufzeit |                  |  ✅                |                |            |          |                 |
-| Präzession    |  ✅              |                    |                |           |                 |
+| Aberration    |                  |                    |  ✅            |            |          |                 |
-| Nutation      |                  |                    |                |  ✅       |                 |
+| Präzession    |                  |                    |                |  ✅        |          |                 |
-| Parallaxe     |                  |                    |  ✅            |           |                 |
+| Nutation      |                  |                    |                |            |  ✅      |                 |
-| Refraktion    |                  |                    |  ✅            |           |                 |
+| Abplattung    |                  |                    |                |            |          |  ✅             |
-| Abplattung    |                  |                    |                |           |  ✅             |
+| Parallaxe     |                  |                    |  ✅            |            |          |                 |
+| Refraktion    |                  |                    |  ✅            |            |          |                 |