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--- konstellation_mond [2024/05/05 22:17] – quern
+++ konstellation_mond [2024/12/20 01:38] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 Mit der [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahreszahl]] $J$ sind $k$ und $T$:
-$$k = 13\overset{\circ}{.}2555241 \cdot (J - 1999.975342465)$$
+$$k = 13\overset{\circ}{.}2555241 \cdot (J - 1999.975342465)\tag{1}$$
-$$T = \frac{k}{1325.55241}$$
+$$T = \frac{k}{1325.55241}\tag{2}$$
 Das //mittlere// Perigäum bzw. Apogäum in julianischen Tagen erhält man zunächst mittels
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 &- 1\overset{d}{.}098 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\
 &+ 5\overset{d}{.}2 \cdot 10^{-9} \cdot T^4
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{3}\]
 $k$ ist eine **Ganzzahl** (Integer) für das Perigäum, sowie ein Integer vermehrt um $0.5$ für das Apogäum. Andere $k$-Werte liefern sinnlose Werte! Jetzt werden die modifizierten Bahnelemente gebraucht:
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 Die wahre Perigäums- und Apogäumszeit und Parallaxe lautet:
-$$JDE_p = JDE_{\pi} + \Delta JDE_p$$
+$$JDE_p = JDE_{\pi} + \Delta JDE_p\tag{4}$$
-$$JDE_a = JDE_{\pi} + \Delta JDE_a$$
+$$JDE_a = JDE_{\pi} + \Delta JDE_a\tag{5}$$
-$$\Pi_p = 3629\overset{''}{.}215 + \Delta\pi_p$$
+$$\Pi_p = 3629\overset{''}{.}215 + \Delta\pi_p\tag{6}$$
-$$\Pi_a = 3245\overset{''}{.}251 + \Delta\pi_a$$
+$$\Pi_a = 3245\overset{''}{.}251 + \Delta\pi_a\tag{7}$$
 Die Umrechnung der Parallaxen $\Pi_p$ und $\Pi_a$ in den geozentrischen Abstand erfolgt mit Gleichung:
-$$\Delta = \frac{R_E}{\sin(\Pi_u)}$$
+$$\Delta = \frac{R_E}{\sin(\Pi_u)}\tag{8}$$
 $u$ steht wahlweise für den Index $p$ oder $a$. Das $JDE_{p/a}$ kann [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|hier in das entsprechende Kalenderdatum]] umgerechnet werden, das Resultat ist dann in [[dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]].
@@ Zeile 139: / Zeile 139: @@
 Die hier dokumentierten Knotendurchgänge sind deshalb auch zur Finsternisberechnung relevant. Mit der [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahreszahl]] $J$ sind $k$ und $T$:
-$$k = 13\overset{\circ}{.}42227827 \cdot (J - 2000.05)$$
+$$k = 13\overset{\circ}{.}42227827 \cdot (J - 2000.05)\tag{9}$$
-$$T = \frac{k}{1342227827}$$
+$$T = \frac{k}{1342227827}\tag{10}$$
 Den //mittleren// Zeitpunkt des Knotendurchgangs in julianischen Tagen erhält man zunächst mittels
@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
 &+ 2\overset{d}{.}1 \cdot 10^{-8} \cdot T^3 \\
 &-8\overset{d}{.}8 \cdot 10^{-11} \cdot T^4
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{11}\]
 $k$ ist eine **Ganzzahl** (Integer) für den aufsteigenden Knoten, sowie ein Integer vermehrt um $0.5$ für den absteigenden Knoten. Andere $k$ liefern sinnlose Werte!
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 ^  Tabelle 4  ||
 ^  Größe  ^  Wert  ^
-| Die numerische Exzentrizität:            | \(\begin{align} E =&\; 1 - 0.002515887461 \cdot T \\ &- 7.397380645 \cdot 10^{-6} \cdot T^2 \\ &+ 2.393974319 \cdot 10^{-9} \cdot T^3 \end{align}\)                                                                                             |
+| Die numerische Exzentrizität: | \(\begin{align} E =&\; 1 - 0.002515887461 \cdot T \\ &- 7.397380645 \cdot 10^{-6} \cdot T^2 \\ &+ 2.393974319 \cdot 10^{-9} \cdot T^3 \end{align}\) |
-| Die mittlere Anomalie der Sonne:         | \(\begin{align} M =&\; 17\overset{\circ}{.}4006 \\ &+ 26.82037250 \cdot k \\ &+ 1\overset{\circ}{.}186 \cdot 10^{-5} \cdot T^2 \\ &+ 6\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-8} \cdot T^3 \end{align}\)                                                 |
+| Die mittlere Anomalie der Sonne: | \(\begin{align} M =&\; 17\overset{\circ}{.}4006 \\ &+ 26.82037250 \cdot k \\ &+ 1\overset{\circ}{.}186 \cdot 10^{-5} \cdot T^2 \\ &+ 6\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-8} \cdot T^3 \end{align}\) |
-| Die mittlere Anomalie des Mondes:        | \(\begin{align} m =&\; 38\overset{\circ}{.}3776 \\ &+ 355.52747313 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0123499 \cdot T^2 \\ &+ 1\overset{\circ}{.}4627 \cdot 10^{-5} \cdot T^3 \\ &- 6\overset{\circ}{.}9 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\)    |
+| Die mittlere Anomalie des Mondes: | \(\begin{align} m =&\; 38\overset{\circ}{.}3776 \\ &+ 355.52747313 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0123499 \cdot T^2 \\ &+ 1\overset{\circ}{.}4627 \cdot 10^{-5} \cdot T^3 \\ &- 6\overset{\circ}{.}9 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\) |
-| Die Elongation des Mondes:               | \(\begin{align} D =&\; 183\overset{\circ}{.}6380 \\ &+ 331.73735682 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0014852 \cdot T^2 \\ &+  2\overset{\circ}{.}09 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\ &- 1\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\)    |
+| Die Elongation des Mondes: | \(\begin{align} D =&\; 183\overset{\circ}{.}6380 \\ &+ 331.73735682 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0014852 \cdot T^2 \\ &+  2\overset{\circ}{.}09 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\ &- 1\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\)    |
-| Die Länge des aufsteigenden \\ Knotens:  | \(\begin{align} \Omega =&\; 123\overset{\circ}{.}9767 \\ &- 1.44098956 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0020608 \cdot T^2 \\ &+ 2\overset{\circ}{.}14 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\ &- 1\overset{\circ}{.}6 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\)  |
+| Die Länge des aufsteigenden \\ Knotens: | \(\begin{align} \Omega =&\; 123\overset{\circ}{.}9767 \\ &- 1.44098956 \cdot k \\ &+ 0\overset{\circ}{.}0020608 \cdot T^2 \\ &+ 2\overset{\circ}{.}14 \cdot 10^{-6} \cdot T^3 \\ &- 1\overset{\circ}{.}6 \cdot 10^{-8} \cdot T^4 \end{align}\) |
 ==== Tabelle der Korrekturterme für die Knotendurchgänge ====
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 |  19  |  $+0.0003 \cdot E$    |  $+4$   |  $-1$   |  $+0$   |
-$$\Delta JD_{\Omega} = \displaystyle\sum_{i=1}^{19}\Delta\Omega_i\cdot \sin(a_i \cdot D + b_i \cdot M + c_i \cdot m)$$
+$$\Delta JD_{\Omega} = \displaystyle\sum_{i=1}^{19}\Delta\Omega_i\cdot \sin(a_i \cdot D + b_i \cdot M + c_i \cdot m)\tag{12}$$
 Der wahre Zeitpunkt der Knotenpassage:
@@ Zeile 198: / Zeile 198: @@
 &+ 0\overset{d}{.}0003 \sin(V) \\
 &+ 0\overset{d}{.}0003 \sin(N + \Omega)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{13}\]
 mit
-$$V = 299\overset{\circ}{.}75 + 132\overset{\circ}{.}85 \cdot T - 0\overset{\circ}{.}0091731 \cdot T^2$$
+$$V = 299\overset{\circ}{.}75 + 132\overset{\circ}{.}85 \cdot T - 0\overset{\circ}{.}0091731 \cdot T^2\tag{14}$$
-$$N = 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3 \cdot T$$
+$$N = 272\overset{\circ}{.}75 - 2\overset{\circ}{.}3 \cdot T\tag{15}$$
 Das $JDE_{\Omega}'$ kann [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|hier in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet]] werden, das Resultat ist dann in [[dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]].
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 $V, N$ = Hilfswerte
 </WRAP>
 ===== Maximale und minimale Deklinationen =====
 Mit der [[:datumseingabe#jahr_in_dezimaler_darstellung|dezimalen Jahreszahl]] $J$ sind $k$ und $T$:
-$$k = 13\overset{\circ}{.}36855226 \cdot (J - 2000.03)$$
+$$k = 13\overset{\circ}{.}36855226 \cdot (J - 2000.03)\tag{16}$$
-$$T = \frac{k}{1336.855226}$$
+$$T = \frac{k}{1336.855226}\tag{17}$$
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="900px"&float=center}}
-| \[\begin{matrix}
+\[\begin{matrix}
 \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
 \end{matrix}\quad
 JDE_0 = \left(\begin{matrix}
 2451562\overset{d}{.}5897 \\ 2451548\overset{d}{.}9289
-\end{matrix}\right) + 27.321582247 \cdot k + 1\overset{d}{.}19804 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 - 1\overset{d}{.}41 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\] |
+\end{matrix}\right) + 27.321582247 \cdot k + 1\overset{d}{.}19804 \cdot 10^{-4} \cdot T^2 - 1\overset{d}{.}41 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{18}\]
-| \[\left(\begin{matrix}
+\[\left(\begin{matrix}
 \delta_{Nord} = + \delta \\
 \delta_{Süd} = - \delta
@@ Zeile 238: / Zeile 236: @@
 \Delta\delta_n \\
 \Delta\delta_s
-\end{matrix}\right)\] |
+\end{matrix}\right)\tag{19}\]
 $k$ ist eine **Ganzzahl** (Integer) abwechselnd erst für die größten nördlichen und dann die größten südlichen Deklinationen. Andere $k$ liefern sinnlose Werte!
@@ Zeile 247: / Zeile 242: @@
 Jetzt werden die modifizierten Bahnelemente gebraucht:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="820px"&float=center}}
+Die mittlere Anomalie des Mondes:
-^ Die mittlere Anomalie des Mondes ^
+\[\begin{matrix}
-| \[\begin{matrix}
 \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
 \end{matrix}\quad
@@ Zeile 258: / Zeile 252: @@
 \end{matrix}
 \right)
-+ 356.9562794 \cdot k + 0\overset{\circ}{.}0103066 \cdot T^2 + 1\overset{\circ}{.}251 \cdot 10^{-5} \cdot T^3\] |
++ 356.9562794 \cdot k + 0\overset{\circ}{.}0103066 \cdot T^2 + 1\overset{\circ}{.}251 \cdot 10^{-5} \cdot T^3\tag{20}\]
-^ Die mittlere Anomalie der Sonne: ^
-| \[\begin{matrix}
+Die mittlere Anomalie der Sonne:
+\[\begin{matrix}
 \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
 \end{matrix}\quad
@@ Zeile 270: / Zeile 265: @@
 \right)
 + 26.9281592 \cdot k - 3\overset{\circ}{.}55 \cdot 10^{-5}
-\cdot T^2 - 1\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\] |
+\cdot T^2 - 1\overset{\circ}{.}0 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{21}\]
-^ Die Elongation des Mondes: ^
-| \[\begin{matrix}
+Die Elongation des Mondes:
+\[\begin{matrix}
 \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
 \end{matrix}\quad
@@ Zeile 282: / Zeile 278: @@
 \right)
 + 333.0705546 \cdot k - 4\overset{\circ}{.}214 \cdot 10^{-4}
-\cdot T^2 + 1\overset{\circ}{.}1 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\] |
+\cdot T^2 + 1\overset{\circ}{.}1 \cdot 10^{-7} \cdot T^3\tag{22}\]
-^ Das Argument der Breite: ^
-| \[\begin{matrix}
+Das Argument der Breite:
+\[\begin{matrix}
 \textsf{Nord:} \\ \textsf{Süd:}
 \end{matrix}\quad
@@ Zeile 294: / Zeile 291: @@
 \right)
 + 1.4467807 \cdot k - 2\overset{\circ}{.}0690 \cdot 10^{-3}
-\cdot T^2 - 2\overset{\circ}{.}15 \cdot 10^{-6} \cdot T^3\] |
+\cdot T^2 - 2\overset{\circ}{.}15 \cdot 10^{-6} \cdot T^3\tag{23}\]
 <imgcaption image1|Maximale und minimale Deklination des Mondes>{{ :deklination_mond_min_max.png?800 |}}</imgcaption>
@@ Zeile 396: / Zeile 393: @@
 JDE_{Nord} &= JDE_{0Nord} + \Delta JDE_n \\\\
 JDE_{Süd} &= JDE_{0Süd} + \Delta JDE_s
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{24}\]
 Das $JDE_{Nord/Süd}$ kann [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|hier in das entsprechende Kalenderdatum umgerechnet]] werden, das Resultat ist dann in [[:dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]].
@@ Zeile 403: / Zeile 400: @@
    * Die hier gegebene Methode zur Berechnung der maximalen und minimalen Deklinationen gilt für den Mittelpunkt der Mondscheibe. Die Deklinationen sind hier auf den Erdmittelpunkt bezogen. Man kann sie anschließend in [[:koordinatentransformation#topozentrisch|topozentrisch-äquatoriale Deklinationen]] transformieren.
    * In einem Zeitraum zwischen $-1000$ und $+5000$ übersteigt der Fehler einen Wert von $30^m$ nicht. Und in einem Zeitraum zwischen August 1977 und Juni 2022 ist der Fehler sogar kleiner als $10^m$ in der Zeit und $26''$ in der Deklination.
+</WRAP>
+<WRAP center round box 100%>
+==== Beispiel ====
+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Zeitpunkt sowie den Wert der maximalen //nördlichen// Deklination des Mondes für März 2025!**
+----
+<WRAP center round info 100%>
+Aus Gründen der Nachvollziehbarkeit der einzelnen Rechenschritte werden nachfolgend **alle Kommastellen** stehen gelassen. Bei einer praktischen Berechnung sollten die Werte natürlich vernünftig gerundet werden!
+</WRAP>
+Für den gegebenen Zeitpunkt kann man die dezimale Jahreszahl $J$ für den 1.3.2025 ansetzen, das ist der
+$31 + 28 + 1 = 60$-ste Tag des Jahres 2025.
+Das Jahr 2025 ist ein Gemeinjahr mit 365 Tagen, daher erhält man
+$J = 2025 + \frac{60}{365} = 2025.1643835616$
+Damit erhält man die Ganzzahl $k$ sowie die julianischen Jahrhunderte $T$ mit
+\(\begin{align}
+k &= \textrm{round}(J - 2000.03)\cdot 13.36855226\\
+&= \textrm{round}(2025.1643835616 - 2000.03)\cdot 13.36855226\\
+&= 336\\\\
+T &= \frac{k}{1336.855226}\\
+&= \frac{336}{1336.855226}\\
+&= 0.25133611588245386
+\end{align}\)
+Mittels $k$ und $T$ berechnet man nun sukzessive die Winkel $m, M, D$ und $F$ sowie den Exzentrizitätsfaktor $E$ und erhält
+\(\begin{align}
+m &= 119941\overset{\circ}{.}99862966493\\
+  &= 61\overset{\circ}{.}99862966492947\\\\
+M &= 9062\overset{\circ}{.}72058895588\\
+  &= 62\overset{\circ}{.}720588955880885\\\\
+D &= 112063\overset{\circ}{.}90921898196\\
+  &= 103\overset{\circ}{.}90921898196393\\\\
+F &= 812\overset{\circ}{.}0048844674593\\
+  &= 92\overset{\circ}{.}0048844674593\\\\
+E &= 0.9993671708756006
+\end{align}\)
+Für große Winkel wurde die [[:mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktionsfunktion]] verwendet.
+Der mittlere Zeitpunkt $JDE_0$ für die nördliche Deklination berechnet sich mit dem //oberen// Term in der Gleichung zu
+\(\begin{align}
+JDE_0 =&\; 2451562.5897 + 27.321582247\cdot k \\
+      &+1.19804\cdot 10^{-4}\cdot T^2\\
+      &-1.41\cdot 10^{-7}\cdot T^3\\
+      &= 2460742.6413425575
+\end{align}\)
+Nun müssen die 44 Terme in **Tabelle 6** summiert werden, für die Spalte von $\Delta JDE_n$:
+\(\begin{align}
+\Delta JDE_n =& +0.8975\cdot \cos(F)\\
+             &-0.4726\cdot \sin(M)\\
+             &-0.1030\cdot \sin(2\cdot F)\\
+             &\quad\quad\vdots\quad\quad\vdots\\
+             &-0.0007\cdot \cos(3\cdot m + F)\\
+             & = -0.4765026759552957
+\end{align}\)
+Damit ergibt sich der Zeitpunkt der größten Deklination des Mondes um
+\(\begin{align}
+JDE =&\; JDE_0 + \Delta JDE_n\\
+     &= 2460742.6413425575 + (-0.4765026759552957)\\
+     &= 2460742.1648398815
+\end{align}\)
+Die Umrechnung dieses julianischen Ephemeridentages [[:julianischer_tag_jd#umrechnung_von_jd_in_ein_kalenderdatum|in ein Kalenderdatum]] liefert den $7.3.2025, \textrm{15:57}\;TD$ in [[:dynamische_zeit_und_delta_t|dynamischer Zeit]]. Der Wert von $\Delta T$ beträgt für Anfang 2025 voraussichtlich $69^{s} = 1^{m}9^{s}$, daher ist der Zeitpunkt dann in Weltzeit (gerundet auf ganze Minuten)
+\(\begin{align}
+UT &=TD - \Delta T\\
+    &= 7.3.2025, \textrm{15:57}\;TD - 1^{m}9^{s}\\
+    &= 7.3.2025, \textrm{15:56}\;UT
+\end{align}\)
+Für den Wert der größten Deklination muss die Summe der 37 Terme in **Tabelle 7**, Spalte für $\Delta \delta_n$, ermittelt werden.
+\(\begin{align}
+\Delta \delta_n =&+5\overset{\circ}{.}1093\cdot \sin(F)\\
+                 &+0\overset{\circ}{.}2658\cdot \cos(2\cdot F)\\
+                 &+0\overset{\circ}{.}1448\cdot \sin(2\cdot D - F)\\
+                 &\quad\quad\vdots\quad\quad\vdots\\
+                 &+0\overset{\circ}{.}0006\cdot \sin(m + F)\\
+                 & = +5\overset{\circ}{.}016704354744329
+\end{align}\)
+Die maximale Deklination erhält man nun wieder mit dem //oberen// Wert (Nord) der Gleichung
+\(\begin{align}
+\delta_{Nord} =& +23\overset{\circ}{.}6961 \\
+               &-0.013004\cdot T +\Delta \delta_n\\
+               &=+28\overset{\circ}{.}709535979893396
+\end{align}\)
+Eine Umrechnung des Dezimalwerts in Grad/Bogenminuten/Bogensekunden mit den Funktionen [[:mathematische_grundlagen#trunc_und_frac_funktion|trunc bzw. frac]] ergibt
+\(\begin{align}
+&\textrm{trunc}(28\overset{\circ}{.}709535979893396) = 28^{\circ}\\
+&\textrm{frac}(28\overset{\circ}{.}709535979893396)\cdot 60\tfrac{'}{\circ} \\
+&= 42\overset{'}{.}57215879358\\
+&\textrm{trunc}(42\overset{'}{.}57215879358) = 42'\\
+&\textrm{frac}(42\overset{'}{.}57215879358)\cdot 60\tfrac{''}{'}\\
+&= 34\overset{''}{.}3
+\end{align}\)
+$\delta_{Nord} = +28^{\circ}42'34.3''$
+Man vergleiche die erhaltenen Werte mit den Daten der Astronomiesoftware GUIDE bzw. Alcyone.
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="150px,190px,190px,190px"}}
+^ Größe        ^ Dieses Beispiel                   ^ GUIDE                             ^ Alcyone                           ^
+| Zeitpunkt    | $7.3.2025,\; \textrm{15:57}\;TD$  | $7.3.2025,\; \textrm{15:44}\;TD$  | $7.3.2025,\; \textrm{15:44}\;TD$  |
+| Deklination  | $+28^{\circ}42'34.3''$            | $+28^{\circ}42'48.69''$           | $+28^{\circ}42'51.0''$            |
 </WRAP>