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--- kometen [2025/09/25 16:14] – gelöscht - Externe Bearbeitung (Unknown date) 127.0.0.1
+++ kometen [2025/09/25 22:33] (aktuell) – [Lösung] hcgreier
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+====== Ein Komet innerhalb der Erdbahn ======
+===== Aufgabe ======
+Ein Komet bewege sich auf einer parabolischen Bahn ($\epsilon = 1$) im Gravitationsfeld der ruhenden Sonne. Seine Bahnebene falle mit der als kreisförmig idealisierten Bahnebene der Erde zusammen. Wie lange bewegt sich der Komet **innerhalb der Erdbahn**? Eine Störung der Kometenbahn durch die anderen Planeten soll vernachlässigt werden.
+===== Lösung =====
+<imgcaption image1|Verlauf einer Kometenbahn>{{ :kometenbahn_erdbahn.png |}}
+</imgcaption>
+Zuerst wird die Schwerpunktsmasse $\mu$ eingeführt mit
+$$\mu = \frac{m\cdot M}{m + M_{\odot}}\tag{1}$$
+Die entsprechende Energiegleichung lautet
+$$E = \frac{1}{2}\cdot\mu\cdot\dot{r}^2 + \frac{L_{\nu}^2}{2\cdot\mu\cdot r^2} - G\cdot  \frac{m\cdot M_{\odot}}{r}\tag{2}$$
+zusammen mit der korrespondierenden Differentialgleichung (DGL):
+$$0 = \mu\cdot\ddot{r} - \frac{L_{\nu}^2}{\mu\cdot r^3} + G\cdot \frac{m\cdot M_{\odot}}{r^2}\tag{3}$$
+Die Lösung der DGL ist die bekannte Kegelschnittsgleichung
+$$r(\nu) = \frac{p}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{4}$$
+mit
+$$\epsilon = \sqrt{1 + \frac{2\cdot L_{\nu}^2}{G^2}\cdot \frac{m^2\cdot M^2}{\mu}\cdot E}\tag{5}$$
+und
+$$p = \frac{L_{\nu}^2}{G\cdot M_{\odot}\cdot m^2}\tag{6}$$
+Befindet sich der Komet im Perihel ist seine radiale Geschwindigkeit $\dot{r}$ gleich Null. $r$ erreicht gleichzeitig sein Minimum. Es gilt die Bedingung:
+$$\dot{r}_{min} = 0$$
+Daraus folgt via Energiegleichung (2):
+$$r_{min} = \frac{L_{nu}^2}{2\cdot\mu}\cdot \frac{1}{G\cdot m\cdot M_{\odot}}\tag{7}$$
+Nun muss die Verweildauer des Kometen bestimmt werden. Dazu formt man die Energiegleichung (2) zum Zeitintegral um:
+$$t = \sqrt{\frac{\mu}{2\cdot G\cdot m\cdot M_{\odot}}}\cdot \int\limits^{R_E}_{r_{min}} \frac{r}{\sqrt{r - r_{min}}} \mathrm{d}r\tag{8}$$
+und integriert zu:
+$$t = \frac{2}{3}\cdot\sqrt{\frac{\mu}{2\cdot G\cdot m\cdot M_{\odot}}}\cdot \sqrt{R_E - r_{min}}\cdot (R_E + 2\cdot r_{min})\tag{9}$$
+Der Zeitraum $t$ ist nur die Zeit vom Schnittpunkt mit der Erdbahn ($R_E = 1\;AE$) bis zum Perihel des Kometen. Aufgrund der angenommenen Symmetrie der Parabel gilt die Bedingung $T = 2\cdot t$
+Setzt man $\frac{dT}{dr_{min}} = 0$ so ist die Lösung für $r_{min}$:
+$$r_{min} = \frac{R_E}{2}\tag{10}$$
+Der Perihel des Kometen hat den halben Erdabstand (Erinnerung: Erdbahn sei kreisförmig). Damit braucht man $r_{min}$ nur noch in Gleichung (9) einzusetzen und man erhält die Lösung mit [[:wichtige_konstanten|$G$, $R_E$ und $M_{\odot}$]]:
+$$T = \frac{4}{3}\cdot\sqrt{\frac{R_E^3}{G\cdot M_{\odot}}} = 6.6958\cdot 10^6\;s \approx 77\overset{d}{.}4977 = 77^d11^h47^m$$