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--- kegelschnitte [2024/05/25 01:38] – hcgreier
+++ kegelschnitte [2026/02/12 01:41] (aktuell) – hcgreier
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 ====== Kegelschnitte ======
+===== Einleitung =====
+Schneidet man einen stehenden (Doppel-)Kegel mit dem halben Öffnungswinkel $\Phi$ (zu seiner Rotationsachse) an, so bekommt man die sogenannten Kegelschnitte. Verläuft der Schnitt durch die Kegelspitze, so bekommt man die entartete Form einer Bahn: Einen Punkt oder sich kreuzende Geraden. Schneidet man nicht durch die Kegelspitze, treten die bekannten Bahnformen in der **Abb.1** auf:
+<imgcaption image1|>{{ :kegelschnitte_neu_2.png |Die Darstellung der Kegelschnitte und die daraus resultierenden Bahnformen}}</imgcaption>
+Es gilt: Kreis (1), Ellipse (2), Parabel (3) und Hyperbel (4). Es werden nur die sinnvollen Bahnformen angezeigt. Der Neigungswinkel $\vartheta$ steht im Zusammenhang mit dem Exzentrizitätswinkel $\varphi$ und dem halben Öffnungswinkel $\Phi$ über die Gleichung
+$$\sin(\varphi) = \epsilon = \frac{\sin(\Phi)}{\sin(\vartheta)}\tag{1}$$
 ===== Ellipse =====
 {{anchor:ell_geom}}
 ==== Geometrie ====
-<imgcaption image1|>{{ :kegelschnitt_ellipse.png |Geometrie der Ellipse}}</imgcaption>
+<imgcaption image2|>{{ :kegelschnitt_ellipse.png |Geometrie der Ellipse}}</imgcaption>
 <WRAP center round box 100%>
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 $\varphi$ = Exzentrizitätswinkel \\
 $\epsilon = \frac{e}{a} = \sin(\varphi)$ = numerische Exzentrizität \\
-$e = a\cdot \epsilon$ = lineare Exzentrizität. Es gilt $e^2 = a^2 - b^2$ \\
+$e = a\cdot \epsilon$ = lineare Exzentrizität. Es gilt $e = \sqrt{a^2 - b^2}$ \\
 $P$ = Perihel (sonnennächster Punkt) \\
 $A$ = Aphel (sonnenfernster Punkt) \\
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 </WRAP>
-Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ gibt die Abweichung von der Kreisbahn ($\epsilon = 0$) an.
+<WRAP center round info 100%>
+In der Mathematik wird die numerische Exzentrizität im Allgemeinen mit $\varepsilon$ bezeichnet, während dort $e =\sqrt{a^2 - b^2}$ für die lineare Exzentrizität steht. Da $\varepsilon$ in der Himmelsmechanik für die Neigung der Erdachse gegenüber der Ekliptik reserviert ist, wird auf diesen Seiten für die numerische Exzentrizität das Zeichen $\epsilon$ verwendet. Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ gibt die Abweichung von der Kreisbahn ($\epsilon = 0$) an.
+</WRAP>
 {{anchor:kepler1}}
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 ==== Keplergleichung ====
-<imgcaption image2|>{{ :keplergleichung.png |Größen für die Keplergleichung (halber Orbit)}}</imgcaption>
+<imgcaption image3|>{{ :keplergleichung.png |Größen für die Keplergleichung (halber Orbit)}}</imgcaption>
 <WRAP center round box 100%>
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 Die Keplergleichung nimmt den Umweg über die exzentrische Anomalie $E$:
-$$M = E - \epsilon \cdot \sin(E)\tag{1}$$
+$$M = E - \epsilon \cdot \sin(E)\tag{2}$$
 Diese Gleichung muss nach $E$ aufgelöst werden. Das erfolgt über die [[:iteration#newton_raphson_verfahren|Newtonsche Iteration]].
-$$E_{i+1} = E_i + \frac{M + \epsilon \cdot \sin(E_i) - E_i}{1 - \epsilon \cdot \cos(E_i)}\tag{2}$$
+$$E_{i+1} = E_i + \frac{M + \epsilon \cdot \sin(E_i) - E_i}{1 - \epsilon \cdot \cos(E_i)}\tag{3}$$
 mit $|E_{i+1} - E_i| = h_{i+1}$. Man startet mit $E_0 = M$ und iteriert etwa 6mal, dann ist die Differenz $h_{i+1} \lt 0.00001$. Die wahre Anomalie $\nu$ wird dann mit der **Barkerschen Gleichung** berechnet:
-$$\tan \left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right)\tag{3}$$
+$$\tan \left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right)\tag{4}$$
 ==== Mittelpunktsgleichung ====
-Für kleine Exzentrizitäten $\epsilon$ kann man - anstatt einer iterativen Lösung der Keplergleichung - auf die **Mittelpunktsgleichung** zurückgreifen. Die Mittelpunktsgleichung wird für gewöhnlich mit $C$ bezeichnet ("equation of the center") und ist eine Reihenentwicklung mit den Variablen $\epsilon$ und $M$. Es gilt
+Für kleine Exzentrizitäten $\epsilon$ kann man -- anstatt einer iterativen Lösung der Keplergleichung -- auf die **Mittelpunktsgleichung** zurückgreifen. Die Mittelpunktsgleichung wird für gewöhnlich mit $C$ bezeichnet ("Equation of the center") und ist eine Reihenentwicklung mit den Variablen $\epsilon$ und $M$. Es gilt
-$$C = \nu - M\tag{4}$$
+$$C = \nu - M\tag{5}$$
 Die Reihenentwicklung lautet
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 Der [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektor]] $r$ wird mit der folgenden Gleichung ermittelt:
-$$r = \frac{a \cdot (1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cdot \cos(\nu)}\tag{5}$$
+$$r = \frac{a \cdot (1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cdot \cos(\nu)}\tag{6}$$
 {{anchor:argument_u}}
-Das [[bahnelemente#erlaeuterung|Argument der Breite]] $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.
+Das [[bahnelemente#erlaeuterung|Argument der Breite]] $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert $u$ braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.
-{{anchor:para_geom}}
 ===== Parabel =====
+{{anchor:para_geom}}
 ==== Geometrie ====
-<imgcaption image3|>{{ :kegelschnitt_parabel.png? |Geometrie der Parabel}}</imgcaption>
+<imgcaption image4|>{{ :kegelschnitt_parabel.png? |Geometrie der Parabel}}</imgcaption>
 <WRAP center round box 100%>
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 $t_0$ = Zeitpunkt des Periheldurchgangs
 </WRAP>
 Eine Parabel hat eine numerische Exzentrizität $\epsilon$ = 1.
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 \[\begin{align}
 \frac{1}{3}\cdot\tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\cdot(t - t_0)
-\end{align}\tag{6}\]
+\end{align}\tag{7}\]
 $G$ und $M_S$ werden in den [[wichtige_konstanten|Wichtige Konstanten]] erläutert. $m$ ist hier die Masse des Kometen. Diese obige Gleichung muss jetzt aufgelöst werden. Mit den Hilfswerten
-$$A = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\tag{6}$$
+$$A = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\tag{8}$$
 \[\begin{align}
 B = \sqrt[3]{A + \sqrt{A^2 + 1}} \quad \text{und} \quad \frac{1}{B} = \sqrt[3]{\sqrt{A^2 + 1} - A}
-\end{align}\tag{8}\]
+\end{align}\tag{9}\]
 gilt
-$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = B - \frac{1}{B}\tag{9}$$
+$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = B - \frac{1}{B}\tag{10}$$
 und für $A \neq 0$ schreibt man:
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 \[\begin{align}
 \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \pm\frac{2}{\tan\left[2\cdot \arctan\left(\sqrt[3]{\tan\left(\frac{1}{2}\cdot \arctan\left(\frac{1}{|A|}\right)\right)}\right)\right]}
-\end{align}\tag{10}\]
+\end{align}\tag{11}\]
 {{anchor:para_radius}}
 ==== Radiusvektor ====
 Der [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektor]] $r$ lautet:
-$$r = \frac{2\cdot q}{1 + \cos(\nu)}\tag{11}$$
+$$r = \frac{2\cdot q}{1 + \cos(\nu)}\tag{12}$$
 Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.
-{{anchor:hyp_geom}}
 ===== Hyperbel =====
+{{anchor:hyp_geom}}
 ==== Geometrie ====
-<imgcaption image4|>{{ :kegelschnitt_hyperbel.png |Geometrie der Hyperbel}}</imgcaption>
+<imgcaption image5|>{{ :kegelschnitt_hyperbel.png |Geometrie der Hyperbel}}</imgcaption>
 <WRAP center round box 100%>
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 $\nu$ = wahre Anomalie des Kometen \\
 $p$ = Bahnparameter</WRAP>
 <WRAP center round important 100%>
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 {{anchor:kepler2}}
 ==== Keplergleichung ====
 Bei der Hyperbelbahn wird die exzentrische Anomalie mit $H$ bezeichnet. Die Berechnung von $H$ und des [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektors]] $r$ erfolgt analog zur Ellipse. Startwert ist wieder die mittlere Anomalie $M_h$:
-$$H_{i+1} = H_i - \frac{\epsilon\cdot \sinh(H_i) - H_i - M_h}{\epsilon\cdot \cosh(H_i) - 1}\tag{12}$$
+$$H_{i+1} = H_i - \frac{\epsilon\cdot \sinh(H_i) - H_i - M_h}{\epsilon\cdot \cosh(H_i) - 1}\tag{13}$$
 Die Iteration ist solange zu wiederholen, bis $|H_{i+1} − H_i| \lt 10^{−8}$ gilt. Hat man die exzentrische Anomalie $H$ gefunden, so ist die korrespondierende wahre Anomalie $\nu$:
-$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{\epsilon + 1}{\epsilon - 1}}\cdot \tanh\left(\frac{H}{2}\right)\tag{13}$$
+$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{\epsilon + 1}{\epsilon - 1}}\cdot \tanh\left(\frac{H}{2}\right)\tag{14}$$
 {{anchor:hyp_radius}}
 ==== Radiusvektor ====
 Der Radius lautet:
-$$r = a\cdot \frac{1 - \epsilon^2}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{14}$$
+$$r = a\cdot \frac{1 - \epsilon^2}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{15}$$
 Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie $M_h$ vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.