Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen der Seite angezeigt.

--- kegelschnitte [2024/05/07 15:55] – [Mittelpunktsgleichung] quern
+++ kegelschnitte [2024/12/20 01:38] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 </WRAP>
-Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ gibt die Abweichung von der Kreisbahn ($\epsilon$ = 0) an.
+Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ gibt die Abweichung von der Kreisbahn ($\epsilon = 0$) an.
 {{anchor:kepler1}}
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 Die Keplergleichung nimmt den Umweg über die exzentrische Anomalie $E$:
-$$M = E - \epsilon \cdot \sin(E)$$
+$$M = E - \epsilon \cdot \sin(E)\tag{1}$$
 Diese Gleichung muss nach $E$ aufgelöst werden. Das erfolgt über die [[:iteration#newton_raphson_verfahren|Newtonsche Iteration]].
-$$E_{i+1} = E_i + \frac{M + \epsilon \cdot \sin(E_i) - E_i}{1 - \epsilon \cdot \cos(E_i)}$$
+$$E_{i+1} = E_i + \frac{M + \epsilon \cdot \sin(E_i) - E_i}{1 - \epsilon \cdot \cos(E_i)}\tag{2}$$
-mit $|E_{i+1} - E_i| = h_{i+1}$. Man startet mit $E_0 = M$ und iteriert etwa 6mal, dann ist die Differenz $h_{i+1} \lt 0.00001$. Die wahre Anomalie $\nu$ wird dann mit der Barkerschen Gleichung berechnet:
+mit $|E_{i+1} - E_i| = h_{i+1}$. Man startet mit $E_0 = M$ und iteriert etwa 6mal, dann ist die Differenz $h_{i+1} \lt 0.00001$. Die wahre Anomalie $\nu$ wird dann mit der **Barkerschen Gleichung** berechnet:
-$$\tan \left( \frac{\nu}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}} \cdot \tan \left( \frac{E}{2} \right)$$
+$$\tan \left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right)\tag{3}$$
 ==== Mittelpunktsgleichung ====
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 Für kleine Exzentrizitäten $\epsilon$ kann man - anstatt einer iterativen Lösung der Keplergleichung - auf die **Mittelpunktsgleichung** zurückgreifen. Die Mittelpunktsgleichung wird für gewöhnlich mit $C$ bezeichnet ("equation of the center") und ist eine Reihenentwicklung mit den Variablen $\epsilon$ und $M$. Es gilt
-$$C = \nu - M$$
+$$C = \nu - M\tag{4}$$
 Die Reihenentwicklung lautet
@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 ^  Tabelle 2  |||
 ^  Exzentrizität $\epsilon$  ^  Terme bis $\epsilon^3$  ^  Terme bis $\epsilon^5$  ^
-|  $0.03$      |  $0\overset{''}{.}24$  |  $0\overset{''}{.}0003$  |
+|  $0.03$  |  $0\overset{''}{.}24$  |  $0\overset{''}{.}0003$  |
-|  $0.05$      |  $1\overset{''}{.}80$  |  $0\overset{''}{.}007 $  |
+|  $0.05$  |  $1\overset{''}{.}80$  |  $0\overset{''}{.}007$   |
-|  $0.10$      |  $30''$                |  $0\overset{''}{.}45  $  |
+|  $0.10$  |  $30''$                |  $0\overset{''}{.}45$    |
-|  $0.15$      |  $152''$               |  $5''     $              |
+|  $0.15$  |  $152''$               |  $5''$                   |
-|  $0.20$      |  $483''$               |  $29''    $              |
+|  $0.20$  |  $483''$               |  $29''$                  |
-|  $0.25$      |  $1183''$              |  $111''   $              |
+|  $0.25$  |  $1183''$              |  $111''$                 |
-|  $0.30$      |  $2456''$              |  $331''   $              |
+|  $0.30$  |  $2456''$              |  $331''$                 |
 <WRAP center round info 100%>
 Dem Thema "Lösung der Keplergleichung" ist ein [[:loesung_der keplergleichung|eigenes Kapitel]] gewidmet.
 </WRAP>
 {{anchor:ell_radius}}
@@ Zeile 106: / Zeile 104: @@
 Der [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektor]] $r$ wird mit der folgenden Gleichung ermittelt:
-$$r = \frac{a \cdot (1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cdot \cos(\nu)}$$
+$$r = \frac{a \cdot (1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cdot \cos(\nu)}\tag{5}$$
 {{anchor:argument_u}}
 Das [[bahnelemente#erlaeuterung|Argument der Breite]] $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.
-----
 {{anchor:para_geom}}
@@ Zeile 130: / Zeile 126: @@
 $q$ = Periheldistanz \\
 $\nu$ = wahre Anomalie des Kometen \\
-$p$ = Bahnparameter \\
+$p$ = Bahnparameter = Radiusvektor für $\nu = 90^{\circ}$ \\
 $t_0$ = Zeitpunkt des Periheldurchgangs
 </WRAP>
@@ Zeile 141: / Zeile 137: @@
 Die Barkersche Gleichung bestimmt die wahre Anomalie $\nu$ als Funktion der Zeit.
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="500px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
 \frac{1}{3}\cdot\tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\cdot(t - t_0)
-\end{align}\] |
+\end{align}\tag{6}\]
 $G$ und $M_S$ werden in den [[wichtige_konstanten|Wichtige Konstanten]] erläutert. $m$ ist hier die Masse des Kometen. Diese obige Gleichung muss jetzt aufgelöst werden. Mit den Hilfswerten
-$$A = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}$$
+$$A = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\tag{6}$$
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="500px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
 B = \sqrt[3]{A + \sqrt{A^2 + 1}} \quad \text{und} \quad \frac{1}{B} = \sqrt[3]{\sqrt{A^2 + 1} - A}
-\end{align}\] |
+\end{align}\tag{8}\]
 gilt
-$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = B - \frac{1}{B}$$
+$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = B - \frac{1}{B}\tag{9}$$
 und für $A \neq 0$ schreibt man:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="550px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
 \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \pm\frac{2}{\tan\left[2\cdot \arctan\left(\sqrt[3]{\tan\left(\frac{1}{2}\cdot \arctan\left(\frac{1}{|A|}\right)\right)}\right)\right]}
-\end{align}\] |
+\end{align}\tag{10}\]
 {{anchor:para_radius}}
@@ Zeile 172: / Zeile 165: @@
 Der [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektor]] $r$ lautet:
-$$r = \frac{2\cdot q}{1 + \cos(\nu)}$$
+$$r = \frac{2\cdot q}{1 + \cos(\nu)}\tag{11}$$
 Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.
-----
 {{anchor:hyp_geom}}
@@ Zeile 207: / Zeile 197: @@
 Bei der Hyperbelbahn wird die exzentrische Anomalie mit $H$ bezeichnet. Die Berechnung von $H$ und des [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektors]] $r$ erfolgt analog zur Ellipse. Startwert ist wieder die mittlere Anomalie $M_h$:
-$$H_{i+1} = H_i - \frac{\epsilon\cdot \sinh(H_i) - H_i - M_h}{\epsilon\cdot \cosh(H_i) - 1}$$
+$$H_{i+1} = H_i - \frac{\epsilon\cdot \sinh(H_i) - H_i - M_h}{\epsilon\cdot \cosh(H_i) - 1}\tag{12}$$
 Die Iteration ist solange zu wiederholen, bis $|H_{i+1} − H_i| \lt 10^{−8}$ gilt. Hat man die exzentrische Anomalie $H$ gefunden, so ist die korrespondierende wahre Anomalie $\nu$:
-$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{\epsilon + 1}{\epsilon - 1}}\cdot \tanh \left(\frac{H}{2}\right)$$
+$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{\epsilon + 1}{\epsilon - 1}}\cdot \tanh\left(\frac{H}{2}\right)\tag{13}$$
 {{anchor:hyp_radius}}
@@ Zeile 218: / Zeile 208: @@
 Der Radius lautet:
-$$r = a\cdot \frac{1 - \epsilon^2}{1 + \epsilon\cdot \cos (\nu)}$$
+$$r = a\cdot \frac{1 - \epsilon^2}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{14}$$
 Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie $M_h$ vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.