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--- kegelschnitte [2023/06/22 12:39] – [Geometrie] hcgreier
+++ kegelschnitte [2024/12/20 01:38] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 ==== Geometrie ====
-<imgcaption image1|>{{:kegelschnitt_ellipse.png|Geometrie der Ellipse}}</imgcaption>
+<imgcaption image1|>{{ :kegelschnitt_ellipse.png |Geometrie der Ellipse}}</imgcaption>
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 </WRAP>
+Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ gibt die Abweichung von der Kreisbahn ($\epsilon = 0$) an.
+{{anchor:kepler1}}
-Die numerische Exzentrizität $\epsilon$ gibt die Abweichung von der Kreisbahn ($\epsilon$ = 0) an.
-==== Mittelpunktsgleichung ====
-Für kleine Exzentrizitäten $\epsilon$ kann man - anstatt einer iterativen Lösung der Keplergleichung - auf die **Mittelpunktsgleichung** zurückgreifen. Die Mittelpunktsgleichung wird für gewöhnlich mit $C$ bezeichnet ("equation of the center") und ist eine Reihenentwicklung mit den Variablen $\epsilon$ und $M$. Es gilt
-$$C = \nu - M$$
-Die Reihenentwicklung lautet
-\[\begin{align}
-  \nu  - M =  &  + \left( {2\epsilon  - \frac{1}{4}{\epsilon ^3} + \frac{5}{{96}}{\epsilon ^5} + \frac{{107}}{{4608}}{\epsilon ^7} +  \ldots } \right) \cdot \sin (M) \hfill \\
-   &  + \left( {\frac{5}{4}{\epsilon ^2} - \frac{{11}}{{24}}{\epsilon ^4} + \frac{{17}}{{96}}{\epsilon ^6} -  \ldots } \right) \cdot \sin (2M) \hfill \\
-   &  + \left( {\frac{{13}}{{12}}{\epsilon ^3} - \frac{{43}}{{64}}{\epsilon ^5} + \frac{{95}}{{512}}{\epsilon ^7} -  \ldots } \right) \cdot \sin (3M) \hfill \\
-   &  + \left( {\frac{{103}}{{96}}{\epsilon ^4} - \frac{{451}}{{480}}{\epsilon ^6} +  \ldots } \right) \cdot \sin (4M) \hfill \\
-   &  + \left( {\frac{{1097}}{{960}}{\epsilon ^5} - \frac{{5957}}{{4608}}{\epsilon ^7} +  \ldots} \right) \cdot \sin (5M) \hfill \\
-   &  + \left( {\frac{{1223}}{{960}}{\epsilon ^6} -  \ldots } \right) \cdot \sin (6M) \hfill \\
-   &  + \left( {\frac{{47273}}{{32256}}{\epsilon ^7} -  \ldots } \right) \cdot \sin (7M) \hfill \\
-\end{align} \]
-Für sehr kleine Exzentrizitäten kann man auch die höheren Potenzen von $\epsilon$, z.B. $\epsilon^4,\,\epsilon^5\ldots$ usw. weglassen. Das Ergebnis erhält man in Radiant, durch Multiplikation mit dem Faktor $\frac{180}{\pi}$ kann es in Grad umgerechnet werden. Die Mittelpunktsgleichung $C$ wird dann zur mittleren Anomalie $M$ addiert und man erhält sofort die wahre Anomalie $\nu$.
-**Tabelle:** Fehlergröße für die Mittelpunktsgleichung, in Bogensekunden
-^  Exzentrizität $\epsilon$  ^  Terme bis $\epsilon^3$  ^  Terme bis $\epsilon^5$  ^
-|  $0.03$      |  $0\overset{''}{.}24$  |  $0\overset{''}{.}0003$  |
-|  $0.05$      |  $1\overset{''}{.}80$  |  $0\overset{''}{.}007 $  |
-|  $0.10$      |  $30''$                |  $0\overset{''}{.}45  $  |
-|  $0.15$      |  $152''$               |  $5''     $              |
-|  $0.20$      |  $483''$               |  $29''    $              |
-|  $0.25$      |  $1183''$              |  $111''   $              |
-|  $0.30$      |  $2456''$              |  $331''   $              |
-{{anchor:kepler1}}
 ==== Keplergleichung ====
+<imgcaption image2|>{{ :keplergleichung.png |Größen für die Keplergleichung (halber Orbit)}}</imgcaption>
-<imgcaption image2|>{{:keplergleichung.png|Größen für die Keplergleichung (halber Orbit)}}</imgcaption>
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 Die Keplergleichung nimmt den Umweg über die exzentrische Anomalie $E$:
-$$M = E - \epsilon \cdot \sin(E)$$
+$$M = E - \epsilon \cdot \sin(E)\tag{1}$$
-Diese Gleichung muß nach $E$ aufgelöst werden. Das erfolgt über die Newtonsche Iteration.
+Diese Gleichung muss nach $E$ aufgelöst werden. Das erfolgt über die [[:iteration#newton_raphson_verfahren|Newtonsche Iteration]].
-$$E_{i+1} = E_i + \frac{M + \epsilon \cdot \sin(E_i) - E_i}{1 - \epsilon \cdot \cos(E_i)}$$
+$$E_{i+1} = E_i + \frac{M + \epsilon \cdot \sin(E_i) - E_i}{1 - \epsilon \cdot \cos(E_i)}\tag{2}$$
-mit $|E_{i+1} - E_i| = h_{i+1}$. Man startet mit $E_0 = M$ und iteriert etwa 6mal, dann ist die Differenz $h_{i+1} \lt 0.00001$. Die wahre Anomalie $\nu$ wird dann mit der Barkerschen Gleichung berechnet:
+mit $|E_{i+1} - E_i| = h_{i+1}$. Man startet mit $E_0 = M$ und iteriert etwa 6mal, dann ist die Differenz $h_{i+1} \lt 0.00001$. Die wahre Anomalie $\nu$ wird dann mit der **Barkerschen Gleichung** berechnet:
-$$\tan \left( \frac{\nu}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}} \cdot \tan \left( \frac{E}{2} \right)$$
+$$\tan \left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \epsilon}{1 - \epsilon}} \cdot \tan\left(\frac{E}{2}\right)\tag{3}$$
+==== Mittelpunktsgleichung ====
+Für kleine Exzentrizitäten $\epsilon$ kann man - anstatt einer iterativen Lösung der Keplergleichung - auf die **Mittelpunktsgleichung** zurückgreifen. Die Mittelpunktsgleichung wird für gewöhnlich mit $C$ bezeichnet ("equation of the center") und ist eine Reihenentwicklung mit den Variablen $\epsilon$ und $M$. Es gilt
+$$C = \nu - M\tag{4}$$
+Die Reihenentwicklung lautet
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="580px"&float=center}}
+^  Tabelle 1  |
+| \[\begin{align}
+  \nu  - M =  &  + \left( {2\epsilon  - \frac{1}{4}{\epsilon ^3} + \frac{5}{{96}}{\epsilon ^5} + \frac{{107}}{{4608}}{\epsilon ^7} +  \ldots } \right) \cdot \sin (M) \hfill \\
+   &  + \left( {\frac{5}{4}{\epsilon ^2} - \frac{{11}}{{24}}{\epsilon ^4} + \frac{{17}}{{96}}{\epsilon ^6} -  \ldots } \right) \cdot \sin (2M) \hfill \\
+   &  + \left( {\frac{{13}}{{12}}{\epsilon ^3} - \frac{{43}}{{64}}{\epsilon ^5} + \frac{{95}}{{512}}{\epsilon ^7} -  \ldots } \right) \cdot \sin (3M) \hfill \\
+   &  + \left( {\frac{{103}}{{96}}{\epsilon ^4} - \frac{{451}}{{480}}{\epsilon ^6} +  \ldots } \right) \cdot \sin (4M) \hfill \\
+   &  + \left( {\frac{{1097}}{{960}}{\epsilon ^5} - \frac{{5957}}{{4608}}{\epsilon ^7} +  \ldots} \right) \cdot \sin (5M) \hfill \\
+   &  + \left( {\frac{{1223}}{{960}}{\epsilon ^6} -  \ldots } \right) \cdot \sin (6M) \hfill \\
+   &  + \left( {\frac{{47273}}{{32256}}{\epsilon ^7} -  \ldots } \right) \cdot \sin (7M) \hfill \\
+\end{align} \] |
+Für sehr kleine Exzentrizitäten kann man auch die höheren Potenzen von $\epsilon$, z.B. $\epsilon^4,\,\epsilon^5\ldots$ usw. weglassen. Das Ergebnis erhält man in Radiant, durch Multiplikation mit dem Faktor $\frac{180}{\pi}$ kann es in Grad umgerechnet werden. Die Mittelpunktsgleichung $C$ wird dann zur mittleren Anomalie $M$ addiert und man erhält sofort die wahre Anomalie $\nu$.
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+Eine Anwendung der Mittelpunktsgleichung ist z.B. bei der schnellen [[sonnenposition#jean_meeus_low_accuracy_methode|Bestimmung der Sonnenposition zu sehen]].
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+**Tabelle:** Fehlergröße für die Mittelpunktsgleichung, in Bogensekunden
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="150px,130px,150px"&float=center}}
+^  Tabelle 2  |||
+^  Exzentrizität $\epsilon$  ^  Terme bis $\epsilon^3$  ^  Terme bis $\epsilon^5$  ^
+|  $0.03$  |  $0\overset{''}{.}24$  |  $0\overset{''}{.}0003$  |
+|  $0.05$  |  $1\overset{''}{.}80$  |  $0\overset{''}{.}007$   |
+|  $0.10$  |  $30''$                |  $0\overset{''}{.}45$    |
+|  $0.15$  |  $152''$               |  $5''$                   |
+|  $0.20$  |  $483''$               |  $29''$                  |
+|  $0.25$  |  $1183''$              |  $111''$                 |
+|  $0.30$  |  $2456''$              |  $331''$                 |
+<WRAP center round info 100%>
+Dem Thema "Lösung der Keplergleichung" ist ein [[:loesung_der keplergleichung|eigenes Kapitel]] gewidmet.
+</WRAP>
 {{anchor:ell_radius}}
 ==== Radiusvektor ====
 Der [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektor]] $r$ wird mit der folgenden Gleichung ermittelt:
-$$r = \frac{a \cdot (1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cdot \cos(\nu)}$$
+$$r = \frac{a \cdot (1 - \epsilon^2)}{1 + \epsilon \cdot \cos(\nu)}\tag{5}$$
 {{anchor:argument_u}}
 Das [[bahnelemente#erlaeuterung|Argument der Breite]] $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.
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 {{anchor:para_geom}}
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 ==== Geometrie ====
-<imgcaption image3|>{{:kegelschnitt_parabel.png?|Geometrie der Parabel}}</imgcaption>
+<imgcaption image3|>{{ :kegelschnitt_parabel.png? |Geometrie der Parabel}}</imgcaption>
 <WRAP center round box 100%>
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 $q$ = Periheldistanz \\
 $\nu$ = wahre Anomalie des Kometen \\
-$p$ = Bahnparameter \\
+$p$ = Bahnparameter = Radiusvektor für $\nu = 90^{\circ}$ \\
 $t_0$ = Zeitpunkt des Periheldurchgangs
 </WRAP>
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 Die Barkersche Gleichung bestimmt die wahre Anomalie $\nu$ als Funktion der Zeit.
-$$\frac{1}{3}\cdot\tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{G (M_S + m)}{2 q^3}}\cdot(t - t_0)$$
-$G$ und $M_S$ werden in den [[astronomische_konstanten|Astronomischen Konstanten]] erläutert. $m$ ist hier die Masse des Kometen. Diese obige Gleichung muss jetzt aufgelöst werden. Mit den Hilfswerten
+\[\begin{align}
+\frac{1}{3}\cdot\tan^3\left(\frac{\nu}{2}\right) + \tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\cdot(t - t_0)
+\end{align}\tag{6}\]
-$$A = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{G (M_S + m)}{2 q^3}}$$
+$G$ und $M_S$ werden in den [[wichtige_konstanten|Wichtige Konstanten]] erläutert. $m$ ist hier die Masse des Kometen. Diese obige Gleichung muss jetzt aufgelöst werden. Mit den Hilfswerten
+$$A = \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{G\cdot (M_S + m)}{2\cdot q^3}}\tag{6}$$
+\[\begin{align}
+B = \sqrt[3]{A + \sqrt{A^2 + 1}} \quad \text{und} \quad \frac{1}{B} = \sqrt[3]{\sqrt{A^2 + 1} - A}
+\end{align}\tag{8}\]
-und
-$$B = \sqrt[3]{A + \sqrt{A^2 + 1}} \quad \text{und} \quad \frac{1}{B} = \sqrt[3]{\sqrt{A^2 + 1} - A}$$
 gilt
-$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = B - \frac{1}{B}$$
+$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = B - \frac{1}{B}\tag{9}$$
 und für $A \neq 0$ schreibt man:
-$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \pm\frac{2}{\tan\left[2\cdot \arctan\left(\sqrt[3]{\tan\left(\frac{1}{2}\cdot \arctan\left(\frac{1}{|A|}\right)\right)}\right)\right]}$$
+\[\begin{align}
+\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \pm\frac{2}{\tan\left[2\cdot \arctan\left(\sqrt[3]{\tan\left(\frac{1}{2}\cdot \arctan\left(\frac{1}{|A|}\right)\right)}\right)\right]}
+\end{align}\tag{10}\]
 {{anchor:para_radius}}
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 Der [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektor]] $r$ lautet:
-$$r = \frac{2 \ q}{1 + \cos(\nu)}$$
+$$r = \frac{2\cdot q}{1 + \cos(\nu)}\tag{11}$$
 Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.
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 {{anchor:hyp_geom}}
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 ==== Geometrie ====
-<imgcaption image4|>{{:kegelschnitt_hyperbel.png|Geometrie der Hyperbel}}</imgcaption>
+<imgcaption image4|>{{ :kegelschnitt_hyperbel.png |Geometrie der Hyperbel}}</imgcaption>
 <WRAP center round box 100%>
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 $S$ = Brennpunkt (Fokus), hier die Sonne \\
 $\epsilon = \frac{e}{a}$ = numerische Exzentrizität ($\epsilon > 1$) \\
-$r $= Radiusvektor, Abstand des Kometen von der Sonne \\
+$r$ = Radiusvektor, Abstand des Kometen von der Sonne \\
 $q$ = Periheldistanz \\
 $\nu$ = wahre Anomalie des Kometen \\
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 Bei der Hyperbelbahn wird die exzentrische Anomalie mit $H$ bezeichnet. Die Berechnung von $H$ und des [[astronomische_begriffe#radiusvektor|Radiusvektors]] $r$ erfolgt analog zur Ellipse. Startwert ist wieder die mittlere Anomalie $M_h$:
-$$H_{i+1} = H_i - \frac{\epsilon\cdot \sinh(H_i) - H_i - M_h}{\epsilon\cdot \cosh(H_i) - 1}$$
+$$H_{i+1} = H_i - \frac{\epsilon\cdot \sinh(H_i) - H_i - M_h}{\epsilon\cdot \cosh(H_i) - 1}\tag{12}$$
 Die Iteration ist solange zu wiederholen, bis $|H_{i+1} − H_i| \lt 10^{−8}$ gilt. Hat man die exzentrische Anomalie $H$ gefunden, so ist die korrespondierende wahre Anomalie $\nu$:
-$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{\epsilon + 1}{\epsilon - 1}}\cdot \tanh \left(\frac{H}{2}\right)$$
+$$\tan\left(\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\frac{\epsilon + 1}{\epsilon - 1}}\cdot \tanh\left(\frac{H}{2}\right)\tag{13}$$
 {{anchor:hyp_radius}}
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 Der Radius lautet:
-$$r = a\cdot \frac{1 - \epsilon^2}{1 + \epsilon\cdot \cos (\nu)}$$
+$$r = a\cdot \frac{1 - \epsilon^2}{1 + \epsilon\cdot \cos(\nu)}\tag{14}$$
 Das Argument der Breite $u$ bekommt man mit $u = \omega + \nu$. Während die wahre Anomalie $M_h$ vom Perihel aus gemessen wird, liegt der Bezugspunkt von $u$ beim [[astronomische_begriffe#aufsteigender_knoten|aufsteigenden Knoten]]. Den Wert braucht man zum Wechsel in die Ekliptik.