Unterschiede

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--- iteration [2025/07/19 13:04] – [Newton Raphson Verfahren] hcgreier
+++ iteration [2025/10/15 18:29] (aktuell) – quern
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   * lösen der [[:loesung_der_keplergleichung|Keplergleichung]] $E = M + e\cdot \sin E$, wobei $E$ die unbekannte Größe ist.
-Um eine Iteration durchzuführen, beginnt man mit einem Näherungswert für die unbekannte Größe und verwendet dann eine Formel (oder eine Reihe von Formeln), um einen besseren Wert für die Unbekannte zu erhalten. Dieser Vorgang wird dann so oft wiederholt, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.
+Um eine Iteration durchzuführen, beginnt man mit einem Näherungswert für die unbekannte Größe und verwendet dann eine Formel (oder eine Reihe von Formeln), um einen besseren Wert für die Unbekannte zu erhalten. Dieser Vorgang wird dann so oft wiederholt, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist, bzw. die Differenz zwischen dem alten Wert und dem neu berechneten Wert eine gewünschte Grenze unterschreitet (= Abbruchsbedingung). Ein kurzes Script-Beispiel dazu kann man [[:loesung_der_keplergleichung#kepler1_iter|hier finden]].
 ===== Newton Raphson Verfahren =====
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 <imgcaption image2|Verfahren nach Newton Raphson>{{ :newton_raphson.png?600 |}}</imgcaption>
-$$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$
+$$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}\tag{1}$$
-Mit einem vorgegebenen Startwert $x_0$ wird die Funktion $f(x_0)$ und deren Ableitung (momentane Steigung von $f(x_0)$) $f'(x_0)$ berechnet, man erhält den neuen Wert $x_1$ und setzt diesen erneut in $f(x)$ und $f'(x)$ ein, bis $|x_{i+1} - x_i|$ ein gewünschtes Minimum erreicht hat. In der obigen Graphik ist zu sehen, wie sich der Wert $x_i$ dem wahren Wert $\zeta$ annähert.
+Mit einem vorgegebenen Startwert $x_0$ wird die Funktion $f(x_0)$ und deren Ableitung (momentane Steigung von $f(x_0)$) $f'(x_0)$ berechnet, man erhält den neuen Wert $x_1$ und setzt diesen erneut in $f(x)$ und $f'(x)$ ein, bis $|x_{i+1} - x_i|$ ein gewünschtes Minimum erreicht hat. In der obigen Grafik ist zu sehen, wie sich der Wert $x_i$ dem wahren Wert $\zeta$ annähert.
 <WRAP center round info 100%>
 Dieses Verfahren taucht in der [[:kegelschnitte#keplergleichung|Keplergleichung]] zur Bestimmung der exzentrischen Anomalie $E$ wieder auf.
 </WRAP>
 ===== Regula Falsi =====
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 <imgcaption image1|Prinzip der Regula Falsi>{{ :regula_falsi.png?600 |}}</imgcaption>
-$$x_{i+1} = x_i - \frac{x_i - x_{i-1}}{f(x_i) - f(x_{i-1})}\cdot f(x_i)$$
+$$x_{i+1} = x_i - \frac{x_i - x_{i-1}}{f(x_i) - f(x_{i-1})}\cdot f(x_i)\tag{2}$$
 Die Regula Falsi benutzt zwei Stützstellen und iteriert langsamer und schlechter als die Newton Iteration. Stabilisierend ist die Weiterverwendung des Vorzeichenwechsels. Neben der Beibehaltung des neuen Werts $x_{i+1}$ wird vom alten Wert derjenige weiterverwendet, bei dem der Vorzeichenwechsel der Funktion $f$ erhalten bleibt. Ist $f(x_i)\cdot f(x_{i+1}) > 0$, so wird $x_i$ durch $x_{i-1}$ ersetzt. Als Ergänzung zieht man das Pegasus Verfahren hinzu.
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 Falls $f(x_i)\cdot f(x_{i+1}) > 0$ gilt, wird wie bei der stabilisierten Regula Falsi mit dem vorletzten iterierten Wert weiter gerechnet (Ersetzung von $x_i$ durch $x_{i-1}$). Der entsprechende Funktionswert $f(x_i)$ muss dann durch den nachfolgenden Ausdruck ersetzt werden:
-$$\frac{f(x_{i-1})\cdot f(x_i)}{f(x_i) + f(x_{i+1})}$$
+$$\frac{f(x_{i-1})\cdot f(x_i)}{f(x_i) + f(x_{i+1})}\tag{3}$$
 Das Pegasus Verfahren kommt bei den [[:finsternisse|Finsternissen]] und [[:sternbedeckungen|Sternbedeckungen]] zum Einsatz.