interpolation
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| interpolation [2025/10/15 18:21] – quern | interpolation [2025/10/15 18:30] (aktuell) – quern | ||
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| Zeile 34: | Zeile 34: | ||
| Es gilt nun für den gesuchten Wert: | Es gilt nun für den gesuchten Wert: | ||
| - | $$y = y_2 + \frac{n}{2}\cdot (a + b + n\cdot c)$$ | + | $$y = y_2 + \frac{n}{2}\cdot (a + b + n\cdot c)\tag{1}$$ |
| wobei $n$ der Interpolationsfaktor ist (siehe Beispiel). | wobei $n$ der Interpolationsfaktor ist (siehe Beispiel). | ||
| Zeile 46: | Zeile 46: | ||
| Der Minimal- bzw. Maximalwert ist | Der Minimal- bzw. Maximalwert ist | ||
| - | $$y_{\textrm{m}} = y_2 - \frac{(a + b)^2}{8\cdot c}$$ | + | $$y_{\textrm{m}} = y_2 - \frac{(a + b)^2}{8\cdot c}\tag{2}$$ |
| und der dazu gehörende Wert des Arguments $x$ ist zu ermitteln über | und der dazu gehörende Wert des Arguments $x$ ist zu ermitteln über | ||
| - | $$n_{\textrm{m}} = - \frac{(a + b)}{2\cdot c} $$ | + | $$n_{\textrm{m}} = - \frac{(a + b)}{2\cdot c}\tag{3}$$ |
| in Einheiten des Tabellenintervalls, | in Einheiten des Tabellenintervalls, | ||
| Zeile 56: | Zeile 56: | ||
| Der Wert des Argumentes $x$, für den die Funktion $y = 0$ wird, kann wieder durch die Bildung der Differenzentabelle für den entsprechenden Teil der Tabelle gefunden werden. Der Interpolationsfaktor $n_0$, der der **Nullstelle** der Funktion entspricht, ist gegeben durch die Formel | Der Wert des Argumentes $x$, für den die Funktion $y = 0$ wird, kann wieder durch die Bildung der Differenzentabelle für den entsprechenden Teil der Tabelle gefunden werden. Der Interpolationsfaktor $n_0$, der der **Nullstelle** der Funktion entspricht, ist gegeben durch die Formel | ||
| - | $$n_0 = \frac{-2\cdot y_2}{a + b + c\cdot n_0}$$ | + | $$n_0 = \frac{-2\cdot y_2}{a + b + c\cdot n_0}\tag{4}$$ |
| Diese Gleichung kann gelöst werden, indem man auf der rechten Seite zuerst $n_0 = 0$ setzt. Die Formel gibt dann einen genäherten Wert für $n_0$. Dieser Wert wird dann benutzt, um die rechte Seite erneut zu berechnen, wodurch sich ein noch besserer Wert für $n_0$ ergibt. Dieser Iterationsprozess wird solange wiederholt, bis sich der für $n_0$ gefundene Wert im Rahmen der gewünschten Genauigkeit nicht mehr ändert. | Diese Gleichung kann gelöst werden, indem man auf der rechten Seite zuerst $n_0 = 0$ setzt. Die Formel gibt dann einen genäherten Wert für $n_0$. Dieser Wert wird dann benutzt, um die rechte Seite erneut zu berechnen, wodurch sich ein noch besserer Wert für $n_0$ ergibt. Dieser Iterationsprozess wird solange wiederholt, bis sich der für $n_0$ gefundene Wert im Rahmen der gewünschten Genauigkeit nicht mehr ändert. | ||
| Zeile 65: | Zeile 65: | ||
| Die Korrektur zum davor angenommenen Wert für $n_0$ ist | Die Korrektur zum davor angenommenen Wert für $n_0$ ist | ||
| - | $$\Delta n_0 = -\frac{2\cdot y_2 + n_0\cdot (a + b + c\cdot n_0)}{a + b + 2\cdot c\cdot n_0}$$ | + | $$\Delta n_0 = -\frac{2\cdot y_2 + n_0\cdot (a + b + c\cdot n_0)}{a + b + 2\cdot c\cdot n_0}\tag{5}$$ |
| Auch hier muss mit dem neuen Wert von $n_0$ die Rechnung so oft wiederholt werden, bis sich $n_0$ nicht mehr ändert. | Auch hier muss mit dem neuen Wert von $n_0$ die Rechnung so oft wiederholt werden, bis sich $n_0$ nicht mehr ändert. | ||
interpolation.1760545318.txt.gz · Zuletzt geändert: 2025/10/15 18:21 von quern