Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen der Seite angezeigt.

--- interpolation [2024/08/26 14:12] – hcgreier
+++ interpolation [2025/10/15 18:30] (aktuell) – quern
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 <WRAP center round info 100%>
-Der Fall für **zwei Tabellenwerte** wird hier nicht behandelt, weil in diesem Fall die Interpolation nichts anderes als linear sein kann, was keinerlei Schwierigkeiten bringen dürfte.
+Der Fall für **zwei Tabellenwerte** wird hier nicht behandelt, weil in diesem Fall die Interpolation  linear ist und damit einer Mittelwertberechnung entspricht.
 </WRAP>
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 Es gilt nun für den gesuchten Wert:
-$$y = y_2 + \frac{n}{2}\cdot (a + b + n\cdot c)$$
+$$y = y_2 + \frac{n}{2}\cdot (a + b + n\cdot c)\tag{1}$$
 wobei $n$ der Interpolationsfaktor ist (siehe Beispiel).
 <WRAP center round tip 100%>
-Hier ist etwas Fingerspitzengefühl erforderlich. Die Mondposition kann z.B. aus drei Positionen in //stündlichen// Intervallen sehr gut interpoliert werden, nicht jedoch, wenn das Intervall **ein ganzer Tag** ist!
+Die Mondposition kann z.B. aus drei Positionen in //stündlichen// Intervallen sehr gut interpoliert werden, nicht jedoch, wenn das Intervall **ein ganzer Tag** ist! Dies liegt an der hohen Eigenbewegung des Mondes. Hier ist ein wenig Fingerspitzengefühl bezüglich der Änderung zwischen zwei Werten nötig.
 </WRAP>
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 Der Minimal- bzw. Maximalwert ist
-$$y_{\textrm{m}} = y_2 - \frac{(a + b)^2}{8\cdot c}$$
+$$y_{\textrm{m}} = y_2 - \frac{(a + b)^2}{8\cdot c}\tag{2}$$
 und der dazu gehörende Wert des Arguments $x$ ist zu ermitteln über
-$$n_{\textrm{m}} = - \frac{(a + b)}{2\cdot c} $$
+$$n_{\textrm{m}} = - \frac{(a + b)}{2\cdot c}\tag{3}$$
 in Einheiten des Tabellenintervalls, gemessen vom zentralen Wert $x_2$.
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 Der Wert des Argumentes $x$, für den die Funktion $y = 0$ wird, kann wieder durch die Bildung der Differenzentabelle für den entsprechenden Teil der Tabelle gefunden werden. Der Interpolationsfaktor $n_0$, der der **Nullstelle** der Funktion entspricht, ist gegeben durch die Formel
-$$n_0 = \frac{-2\cdot y_2}{a + b + c\cdot n_0}$$
+$$n_0 = \frac{-2\cdot y_2}{a + b + c\cdot n_0}\tag{4}$$
 Diese Gleichung kann gelöst werden, indem man auf der rechten Seite zuerst $n_0 = 0$ setzt. Die Formel gibt dann einen genäherten Wert für $n_0$. Dieser Wert wird dann benutzt, um die rechte Seite erneut zu berechnen, wodurch sich ein noch besserer Wert für $n_0$ ergibt. Dieser Iterationsprozess wird solange wiederholt, bis sich der für $n_0$ gefundene Wert im Rahmen der gewünschten Genauigkeit nicht mehr ändert.
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 Die Korrektur zum davor angenommenen Wert für $n_0$ ist
-$$\Delta n_0 = -\frac{2\cdot y_2 + n_0\cdot (a + b + c\cdot n_0)}{a + b + 2\cdot c\cdot n_0}$$
+$$\Delta n_0 = -\frac{2\cdot y_2 + n_0\cdot (a + b + c\cdot n_0)}{a + b + 2\cdot c\cdot n_0}\tag{5}$$
 Auch hier muss mit dem neuen Wert von $n_0$ die Rechnung so oft wiederholt werden, bis sich $n_0$ nicht mehr ändert.
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 ^  Tabelle 2  |||||
-^  $y$-Wert      ^  Diff. 1. Ordnung  ^  Diff. 2. Ordnung  ^  Diff. 3. Ordnung  ^  Diff. 4. Ordnung  ^
+^  $y$-Wert       ^  Diff. 1. Ordnung  ^  Diff. 2. Ordnung  ^  Diff. 3. Ordnung  ^  Diff. 4. Ordnung  ^
-|  $y_1$         |                    |                    |                    |                    |
+|  $y_1$          |                    |                    |                    |                    |
-|                |  $a = y_2 - y_1$   |                    |                    |                    |
+|                 |  $a = y_2 - y_1$   |                    |                    |                    |
-|  $y_2$         |                    |  $e = b - a$       |                    |                    |
+|  $y_2$          |                    |  $e = b - a$       |                    |                    |
 |  $-\uparrow$    |  $b = y_3 - y_2$   |                    |  $h = f - e$       |                    |
-|  $y_3$         |                    |  $f = c - b$       |                    |  $k = j - h$       |
+|  $y_3$          |                    |  $f = c - b$       |                    |  $k = j - h$       |
 |  $+\downarrow$  |  $c = y_4 - y_3$   |                    |  $j = g - f$       |                    |
-|  $y_4$         |                    |  $g = d - c$       |                    |                    |
+|  $y_4$          |                    |  $g = d - c$       |                    |                    |
-|                |  $d = y_5 - y_4$   |                    |                    |                    |
+|                 |  $d = y_5 - y_4$   |                    |                    |                    |
-|  $y_5$         |                    |                    |                    |                    |
+|  $y_5$          |                    |                    |                    |                    |
 Wieder ist $n$ der Interpolationsfaktor, gemessen vom zentralen Wert $y_3$, positiv in Richtung $y_4$ und negativ in Richtung $y_2$. Die Interpolationsformel lautet hier