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Zuletzt gesehen: • Rechtwinkelige Sonnenkoordinaten • Literaturhinweise • Die maximale Deklination des Mondes • Der Mittelwert der Erde-Mond-Entfernung • Berechnung der Jahreszeiten • Die Mondlibration • Interpolation • Javascript Anwendungen
interpolation

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interpolation [2024/04/24 15:48] – hcgreierinterpolation [2025/10/15 18:30] (aktuell) – quern
Zeile 5: Zeile 5:
 Interpolation (Latein: //inter// = dazwischen und //polire// = glätten, schleifen) bedeutet das Finden der Werte von Größen – zum Beispiel von Zeitpunkten – die **zwischen** den in der Tabelle gegebenen Werten liegen. Interpolation (Latein: //inter// = dazwischen und //polire// = glätten, schleifen) bedeutet das Finden der Werte von Größen – zum Beispiel von Zeitpunkten – die **zwischen** den in der Tabelle gegebenen Werten liegen.
  
-Natürlich muss die Tabelle nicht aus einem Buch stammen, die Werte können auch aus einem computergenerierten Algorithmus kommen. Angenommen, man benötigt die Position der Sonne für viele Zeitpunkte eines Tages. Dann könnte man die Sonnenposition für $0^h$, $12^h$ und $24^h$ dieses Tages berechnen und diese Werte dann benutzen, um für jeden anderen gegebenen Zeitpunkt zu interpolieren. Das wird weniger Rechenzeit beanspruchen, als die Position der Sonne direkt für jeden Zeitpunkt einzeln zu berechnen. Nachstehend werden zwei Fälle betrachtet: Die Interpolation mit drei oder mit fünf Tabellenwerten. In beiden Fällen wird auch gezeigt, wie ein Extremum oder eine Nullstelle der Funktion gefunden werden kann.+Natürlich muss die Tabelle nicht aus einem Buch stammen, die Werte können auch aus einem computergenerierten Algorithmus kommen. Angenommen, man benötigt die Position der Sonne für viele Zeitpunkte eines Tages. Dann könnte man die Sonnenposition für $0^h$, $12^h$ und $24^h$ dieses Tages berechnen und diese Werte dann benutzen, um für jeden anderen gegebenen Zeitpunkt zu interpolieren. Das wird weniger Rechenzeit beanspruchen, als die Position der Sonne direkt für jeden Zeitpunkt einzeln zu berechnen. 
 + 
 +Nachstehend werden zwei Fälle betrachtet: Die Interpolation mit **drei** oder mit **fünf** Tabellenwerten. In beiden Fällen wird auch gezeigt, wie ein Extremum oder eine Nullstelle der Funktion gefunden werden kann.
  
 <WRAP center round info 100%> <WRAP center round info 100%>
-Der Fall für **zwei Tabellenwerte** wird hier nicht behandelt, weil in diesem Fall die Interpolation nichts anderes als linear sein kann, was keinerlei Schwierigkeiten bringen dürfte.+Der Fall für **zwei Tabellenwerte** wird hier nicht behandelt, weil in diesem Fall die Interpolation  linear ist und damit einer Mittelwertberechnung entspricht.
 </WRAP> </WRAP>
  
Zeile 20: Zeile 22:
  
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="110px,160px,220px,220px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="110px,160px,220px,220px"&float=center}}
 +^  Tabelle 1  ||||
 ^  Argument  ^  Funktionswert  ^  Differenz 1. Ordnung  ^  Differenz 2. Ordnung          ^ ^  Argument  ^  Funktionswert  ^  Differenz 1. Ordnung  ^  Differenz 2. Ordnung          ^
 |  $x_1$     |  $y_1$          |                        |                                | |  $x_1$     |  $y_1$          |                        |                                |
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 Es gilt nun für den gesuchten Wert: Es gilt nun für den gesuchten Wert:
  
-$$y = y_2 + \frac{n}{2}\cdot (a + b + n\cdot c)$$+$$y = y_2 + \frac{n}{2}\cdot (a + b + n\cdot c)\tag{1}$$
  
 wobei $n$ der Interpolationsfaktor ist (siehe Beispiel). wobei $n$ der Interpolationsfaktor ist (siehe Beispiel).
  
 <WRAP center round tip 100%> <WRAP center round tip 100%>
-Hier ist etwas Fingerspitzengefühl erforderlich. Die Mondposition kann z.B. aus drei Positionen in //stündlichen// Intervallen sehr gut interpoliert werden, nicht jedoch, wenn das Intervall **ein ganzer Tag** ist!+Die Mondposition kann z.B. aus drei Positionen in //stündlichen// Intervallen sehr gut interpoliert werden, nicht jedoch, wenn das Intervall **ein ganzer Tag** ist! Dies liegt an der hohen Eigenbewegung des Mondes. Hier ist ein wenig Fingerspitzengefühl bezüglich der Änderung zwischen zwei Werten nötig.
 </WRAP> </WRAP>
  
Zeile 43: Zeile 46:
 Der Minimal- bzw. Maximalwert ist Der Minimal- bzw. Maximalwert ist
  
-$$y_{\textrm{m}} = y_2 - \frac{(a + b)^2}{8\cdot c}$$+$$y_{\textrm{m}} = y_2 - \frac{(a + b)^2}{8\cdot c}\tag{2}$$
  
 und der dazu gehörende Wert des Arguments $x$ ist zu ermitteln über und der dazu gehörende Wert des Arguments $x$ ist zu ermitteln über
  
-$$n_{\textrm{m}} = - \frac{(a + b)}{2\cdot c} $$+$$n_{\textrm{m}} = - \frac{(a + b)}{2\cdot c}\tag{3}$$
  
 in Einheiten des Tabellenintervalls, gemessen vom zentralen Wert $x_2$. in Einheiten des Tabellenintervalls, gemessen vom zentralen Wert $x_2$.
Zeile 53: Zeile 56:
 Der Wert des Argumentes $x$, für den die Funktion $y = 0$ wird, kann wieder durch die Bildung der Differenzentabelle für den entsprechenden Teil der Tabelle gefunden werden. Der Interpolationsfaktor $n_0$, der der **Nullstelle** der Funktion entspricht, ist gegeben durch die Formel Der Wert des Argumentes $x$, für den die Funktion $y = 0$ wird, kann wieder durch die Bildung der Differenzentabelle für den entsprechenden Teil der Tabelle gefunden werden. Der Interpolationsfaktor $n_0$, der der **Nullstelle** der Funktion entspricht, ist gegeben durch die Formel
  
-$$n_0 = \frac{-2\cdot y_2}{a + b + c\cdot n_0}$$+$$n_0 = \frac{-2\cdot y_2}{a + b + c\cdot n_0}\tag{4}$$
  
 Diese Gleichung kann gelöst werden, indem man auf der rechten Seite zuerst $n_0 = 0$ setzt. Die Formel gibt dann einen genäherten Wert für $n_0$. Dieser Wert wird dann benutzt, um die rechte Seite erneut zu berechnen, wodurch sich ein noch besserer Wert für $n_0$ ergibt. Dieser Iterationsprozess wird solange wiederholt, bis sich der für $n_0$ gefundene Wert im Rahmen der gewünschten Genauigkeit nicht mehr ändert. Diese Gleichung kann gelöst werden, indem man auf der rechten Seite zuerst $n_0 = 0$ setzt. Die Formel gibt dann einen genäherten Wert für $n_0$. Dieser Wert wird dann benutzt, um die rechte Seite erneut zu berechnen, wodurch sich ein noch besserer Wert für $n_0$ ergibt. Dieser Iterationsprozess wird solange wiederholt, bis sich der für $n_0$ gefundene Wert im Rahmen der gewünschten Genauigkeit nicht mehr ändert.
Zeile 62: Zeile 65:
 Die Korrektur zum davor angenommenen Wert für $n_0$ ist Die Korrektur zum davor angenommenen Wert für $n_0$ ist
  
-$$\Delta n_0 = -\frac{2\cdot y_2 + n_0\cdot (a + b + c\cdot n_0)}{a + b + 2\cdot c\cdot n_0}$$+$$\Delta n_0 = -\frac{2\cdot y_2 + n_0\cdot (a + b + c\cdot n_0)}{a + b + 2\cdot c\cdot n_0}\tag{5}$$
  
 Auch hier muss mit dem neuen Wert von $n_0$ die Rechnung so oft wiederholt werden, bis sich $n_0$ nicht mehr ändert. Auch hier muss mit dem neuen Wert von $n_0$ die Rechnung so oft wiederholt werden, bis sich $n_0$ nicht mehr ändert.
Zeile 196: Zeile 199:
 Aus der Tabelle sieht man, dass die Deklination vom 10. März zum 11. März das Vorzeichen wechselt. Aus der Tabelle sieht man, dass die Deklination vom 10. März zum 11. März das Vorzeichen wechselt.
  
-Die Diferenen 1. und 2. Ordnung sind +Die Differenen 1. und 2. Ordnung sind 
  
 $a = y_2 - y_1 = 0.923847483$\\ $a = y_2 - y_1 = 0.923847483$\\
Zeile 229: Zeile 232:
  
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="99px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="99px"&float=center}}
-^  $y$-Wert      ^  Diff. 1. Ordnung  ^  Diff. 2. Ordnung  ^  Diff. 3. Ordnung  ^  Diff. 4. Ordnung  ^ +^  Tabelle 2  ||||| 
-|  $y_1$         |                    |                    |                    |                    | +^  $y$-Wert       ^  Diff. 1. Ordnung  ^  Diff. 2. Ordnung  ^  Diff. 3. Ordnung  ^  Diff. 4. Ordnung  ^ 
-|                |  $a = y_2 - y_1$   |                    |                    |                    | +|  $y_1$          |                    |                    |                    |                    | 
-|  $y_2$         |                    |  $e = b - a$       |                    |                    |+|                 |  $a = y_2 - y_1$   |                    |                    |                    | 
 +|  $y_2$          |                    |  $e = b - a$       |                    |                    |
 |  $-\uparrow$    |  $b = y_3 - y_2$   |                    |  $h = f - e$       |                    | |  $-\uparrow$    |  $b = y_3 - y_2$   |                    |  $h = f - e$       |                    |
-|  $y_3$         |                    |  $f = c - b$       |                    |  $k = j - h$       |+|  $y_3$          |                    |  $f = c - b$       |                    |  $k = j - h$       |
 |  $+\downarrow$  |  $c = y_4 - y_3$   |                    |  $j = g - f$       |                    | |  $+\downarrow$  |  $c = y_4 - y_3$   |                    |  $j = g - f$       |                    |
-|  $y_4$         |                    |  $g = d - c$       |                    |                    | +|  $y_4$          |                    |  $g = d - c$       |                    |                    | 
-|                |  $d = y_5 - y_4$   |                    |                    |                    | +|                 |  $d = y_5 - y_4$   |                    |                    |                    | 
-|  $y_5$         |                    |                    |                    |                    |+|  $y_5$          |                    |                    |                    |                    |
  
 Wieder ist $n$ der Interpolationsfaktor, gemessen vom zentralen Wert $y_3$, positiv in Richtung $y_4$ und negativ in Richtung $y_2$. Die Interpolationsformel lautet hier Wieder ist $n$ der Interpolationsfaktor, gemessen vom zentralen Wert $y_3$, positiv in Richtung $y_4$ und negativ in Richtung $y_2$. Die Interpolationsformel lautet hier
interpolation.1713966493.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/12/20 01:33 (Externe Bearbeitung)
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