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interpolation [2024/03/23 21:26] – angelegt querninterpolation [2024/12/29 14:34] (aktuell) – quern
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 Interpolation (Latein: //inter// = dazwischen und //polire// = glätten, schleifen) bedeutet das Finden der Werte von Größen – zum Beispiel von Zeitpunkten – die **zwischen** den in der Tabelle gegebenen Werten liegen. Interpolation (Latein: //inter// = dazwischen und //polire// = glätten, schleifen) bedeutet das Finden der Werte von Größen – zum Beispiel von Zeitpunkten – die **zwischen** den in der Tabelle gegebenen Werten liegen.
  
-Natürlich muss die Tabelle nicht aus einem Buch stammen, die Werte können auch aus einem computergenerierten Algorithmus kommen. Angenommen, man benötigt die Position der Sonne für viele Zeitpunkte eines Tages. Dann könnte man die Sonnenposition für $0^h$, $12^h$ und $24^h$ dieses Tages berechnen und diese Werte dann benutzen, um für jeden anderen gegebenen Zeitpunkt zu interpolieren. Das wird weniger Rechenzeit beanspruchen, als die Position der Sonne direkt für jeden Zeitpunkt einzeln zu berechnen. Nachstehend werden zwei Fälle betrachtet: Die Interpolation mit drei oder mit fünf Tabellenwerten. In beiden Fällen wird auch gezeigt, wie ein Extremum oder eine Nullstelle der Funktion gefunden werden kann.+Natürlich muss die Tabelle nicht aus einem Buch stammen, die Werte können auch aus einem computergenerierten Algorithmus kommen. Angenommen, man benötigt die Position der Sonne für viele Zeitpunkte eines Tages. Dann könnte man die Sonnenposition für $0^h$, $12^h$ und $24^h$ dieses Tages berechnen und diese Werte dann benutzen, um für jeden anderen gegebenen Zeitpunkt zu interpolieren. Das wird weniger Rechenzeit beanspruchen, als die Position der Sonne direkt für jeden Zeitpunkt einzeln zu berechnen. 
 + 
 +Nachstehend werden zwei Fälle betrachtet: Die Interpolation mit **drei** oder mit **fünf** Tabellenwerten. In beiden Fällen wird auch gezeigt, wie ein Extremum oder eine Nullstelle der Funktion gefunden werden kann.
  
 <WRAP center round info 100%> <WRAP center round info 100%>
-Der Fall für **zwei Tabellenwerte** wird hier nicht behandelt, weil in diesem Fall die Interpolation nichts anderes als linear sein kann, was keinerlei Schwierigkeiten bringen dürfte.+Der Fall für **zwei Tabellenwerte** wird hier nicht behandelt, weil in diesem Fall die Interpolation  linear ist und damit einer Mittelwertberechnung entspricht.
 </WRAP> </WRAP>
  
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="110px,160px,220px,220px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="110px,160px,220px,220px"&float=center}}
 +^  Tabelle 1  ||||
 ^  Argument  ^  Funktionswert  ^  Differenz 1. Ordnung  ^  Differenz 2. Ordnung          ^ ^  Argument  ^  Funktionswert  ^  Differenz 1. Ordnung  ^  Differenz 2. Ordnung          ^
 |  $x_1$     |  $y_1$          |                        |                                | |  $x_1$     |  $y_1$          |                        |                                |
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 <WRAP center round tip 100%> <WRAP center round tip 100%>
-Hier ist etwas Fingerspitzengefühl erforderlich. Die Mondposition kann z.B. aus drei Positionen in //stündlichen// Intervallen sehr gut interpoliert werden, nicht jedoch, wenn das Intervall **ein ganzer Tag** ist!+Die Mondposition kann z.B. aus drei Positionen in //stündlichen// Intervallen sehr gut interpoliert werden, nicht jedoch, wenn das Intervall **ein ganzer Tag** ist! Dies liegt an der hohen Eigenbewegung des Mondes. Hier ist ein wenig Fingerspitzengefühl bezüglich der Änderung zwischen zwei Werten nötig.
 </WRAP> </WRAP>
  
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 ==== Beispiel 1 ==== ==== Beispiel 1 ====
  
-Aus einem Jahrbuch kennt man die geozentrischen Abstände von Mars zur Erde für jeweils 00:00 $TD$ des Tages (siehe Tabelle). Man interpoliere die Entfernung des Mars am 23. Mai 2023 um 22:30 $TD$. +{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} Aus einem Jahrbuch kennt man die geozentrischen Abstände von Mars zur Erde für jeweils 00:00 $TD$ des Tages (siehe Tabelle). Man interpoliere die Entfernung des Mars am 23. Mai 2023 um 22:30 $TD$. 
  
 **Tabelle für Mars, vom 21.-25. Mai 2023, 00:00 $TD$.**\\ **Tabelle für Mars, vom 21.-25. Mai 2023, 00:00 $TD$.**\\
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 ==== Beispiel 2 ==== ==== Beispiel 2 ====
  
-**Man berechne die Zeit des Periheldurchgangs von Mars im Mai 1992 sowie seinen Radiusvektor $\Delta$ zu diesem Zeitpunkt.**+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die Zeit des Periheldurchgangs von Mars im Mai 1992 sowie seinen Radiusvektor $\Delta$ zu diesem Zeitpunkt.**
  
 Die folgenden Werte der Entfernung Sonne-Mars wurden in Intervallen von **vier** Tagen berechnet: Die folgenden Werte der Entfernung Sonne-Mars wurden in Intervallen von **vier** Tagen berechnet:
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 ==== Beispiel 3 ==== ==== Beispiel 3 ====
  
-**Von Merkur wurde die Deklination (geozentrisch) für März 2024 um jeweils 00:00 $TD$ berechnet (siehe Tabelle). Man berechne, wann die Deklination von Merkur $\delta = 0$ war.**+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Von Merkur wurde die Deklination (geozentrisch) für März 2024 um jeweils 00:00 $TD$ berechnet (siehe Tabelle). Man berechne, wann die Deklination von Merkur $\delta = 0$ war.**
  
 **Tabelle**: Deklination vom Merkur im März 2024 um 00:00 $TD$ des jeweiligen Tages **Tabelle**: Deklination vom Merkur im März 2024 um 00:00 $TD$ des jeweiligen Tages
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 Aus der Tabelle sieht man, dass die Deklination vom 10. März zum 11. März das Vorzeichen wechselt. Aus der Tabelle sieht man, dass die Deklination vom 10. März zum 11. März das Vorzeichen wechselt.
  
-Die Diferenen 1. und 2. Ordnung sind +Die Differenen 1. und 2. Ordnung sind 
  
 $a = y_2 - y_1 = 0.923847483$\\ $a = y_2 - y_1 = 0.923847483$\\
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="99px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="99px"&float=center}}
 +^  Tabelle 2  |||||
 ^  $y$-Wert      ^  Diff. 1. Ordnung  ^  Diff. 2. Ordnung  ^  Diff. 3. Ordnung  ^  Diff. 4. Ordnung  ^ ^  $y$-Wert      ^  Diff. 1. Ordnung  ^  Diff. 2. Ordnung  ^  Diff. 3. Ordnung  ^  Diff. 4. Ordnung  ^
 |  $y_1$         |                    |                    |                    |                    | |  $y_1$         |                    |                    |                    |                    |
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 ==== Beispiel 4 ==== ==== Beispiel 4 ====
  
-**Man berechne die Horizontalparallaxe des Mondes aus den gegebenen Tabellenwerten für den 10. März 2024 um 16:20 $TD$.**+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die Horizontalparallaxe des Mondes aus den gegebenen Tabellenwerten für den 10. März 2024 um 16:20 $TD$.**
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="260px,220px"}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="260px,220px"}}
 ^ Zeitpunkt                  ^  Parallaxe                            ^ ^ Zeitpunkt                  ^  Parallaxe                            ^
interpolation.1711225564.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/12/20 01:33 (Externe Bearbeitung)
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