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--- himmelsmechanik [2025/08/26 21:06] – [Keplergesetze] hcgreier
+++ himmelsmechanik [2025/08/28 17:24] (aktuell) – hcgreier
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 **1. Keplergesetz**: Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem der beiden Brennpunkte sich die Sonne befindet.
-$$r = \frac{p}{1 + \epsilon\cdot\cos(\nu)}\tag{6}$$
+$$r = \frac{p}{1 + \epsilon\cdot\cos(\nu)}\tag{10}$$
+Zur Geometrie der Ellipse und den Parametern siehe [[:kegelschnitte#ell_geom|Kegelschnitte]].
 **2. Keplergesetz**: Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl (Radius) überstreicht in gleichen Zeiten gleichgrosse Flächenabschnitte $\vec{F}$.
-$$\vec{F} = \frac{\vec{L}_{\nu}}{2\cdot m} T\tag{7} \qquad\text{mit}\qquad T = t_1 - t_2$$
+$$\vec{F} = \frac{\vec{L}_{\nu}}{2\cdot m}\cdot T\tag{11} \qquad\text{mit}\qquad T = t_1 - t_2$$
 <imgcaption image1|Das 2. Keplergesetz. Die hellblauen Flächen sind die Flächenabschnitte $\vec{F}$.>{{ :keplergesetz_2.png?800 |}}</imgcaption>
-$\nu$ = [[:kegelschnitte#ellipse|wahre Anomalie]]
+$\nu$ = [[:kegelschnitte#keplergleichung|wahre Anomalie]]
 **3. Keplergesetz**: Das Quadrat der Umlaufzeit $U$ eines Planeten verhält sich wie der Kubus (dritte Potenz) seines mittleren Bahnabstands.
-$$\frac{U^2}{r^3} = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M_S}\tag{8}$$
+$$\frac{U^2}{r^3} = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M_S}\tag{12}$$
 Formt man das 3. Keplergesetz für $r = a = 1 \text{AE}$ um zu
-$$U_s = \frac{2\pi}{k}\tag{9}$$
+$$U_s = \frac{2\pi}{k}\tag{13}$$
-so erhält man die siderische Umlaufszeit $U_s$ der Erde. Die gaußsche Gravitationskonstante $k = \sqrt{GM_S}$ ist als eine [[:wichtige_konstanten#naturkonstanten|fundamentale Naturkonstante]] für die Stärke der Gravitation verantwortlich.
+so erhält man die siderische Umlaufszeit $U_s$ der Erde. Die gaußsche Gravitationskonstante $k = \sqrt{G\cdot M_S}$ ist als eine [[:wichtige_konstanten#naturkonstanten|fundamentale Naturkonstante]] für die Stärke der Gravitation verantwortlich.
 Sie ist definiert mit
-$$k = \frac{2\pi}{U_s}\tag{10}$$
+$$k = \frac{2\pi}{U_s}\tag{14}$$
 und $U_s$ als das siderische Jahr.
-$$\deg(k) = n = \frac{360^{\circ}}{U_s}\tag{11}$$
+$$\deg(k) = n = \frac{360^{\circ}}{U_s}\tag{15}$$
 liefert die mittlere tägliche Bewegung n der Erde um die Sonne.
 **Die Herleitung:** Beruhend auf der Energiebilanzgleichung E mit dem Gravitationpotential
-$$V(r) = - G \frac{m M_S}{r}\tag{12}$$
+$$V(r) = - G \frac{m M_S}{r}\tag{16}$$
-$$E = \frac{1}{2} \cdot m\cdot \dot{r}^2 + \frac{1}{2}\cdot m\cdot r^2 \dot{\nu}^2 - G \frac{m\cdot  M_S}{r}\tag{13}$$
+$$E = \frac{1}{2} \cdot m\cdot \dot{r}^2 + \frac{1}{2}\cdot m\cdot r^2 \dot{\nu}^2 - G \frac{m\cdot  M_S}{r}\tag{17}$$
 resultiert aus der Ableitung nach r die Zentripetalkraft $\vec{F}_z$ (links) bzw. die Gravitationskraft $\vec{F}_g$ (rechts):
-$$F_z = m\cdot\dot{\nu}^2\cdot r = - F_g = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2} \Leftrightarrow \frac{U^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G\cdot M} = \text{konst.} \qquad\text{mit}\qquad\dot{\nu} = \omega = \frac{2\pi}{U}\tag{14}$$
+$$F_z = m\cdot\dot{\nu}^2\cdot r = - F_g = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2} \Leftrightarrow \frac{U^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G\cdot M} = \text{konst.} \qquad\text{mit}\qquad\dot{\nu} = \omega = \frac{2\pi}{U}\tag{18}$$
 Das Verhältnis der Umlaufszeit U zur Bahngrösse r ist zeitlich konstant und damit eine Erhaltungsgrösse. In einem Relativsystem mit r = r$_1$ -- r$_2$ gilt, wobei man in vielen Anwendungen die kleinere Masse nicht vernachlässigen kann:
-$$\frac{U^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G \left(m_1 + m_2\right)}\tag{15}$$
+$$\frac{U^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G\cdot \left(m_1 + m_2\right)}\tag{19}$$
 ===== Runge-Lenz Vektor =====
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 Der Runge - Lenz Vektor $\vec{R}_L$ (Abb.2) ist wie E und L$_{\nu}$ eine Erhaltungsgrösse.
-$$\vec{A} = (m\cdot\dot{\vec{r}} \times \vec{L}_{\nu}) - G\cdot M_S\cdot m^2 \frac{\vec{r}}{r} = \text{konst.}\tag{16}$$
+$$\vec{A} = (m\cdot\dot{\vec{r}} \times \vec{L}_{\nu}) - G\cdot M_S\cdot m^2 \frac{\vec{r}}{r} = \text{konst.}\tag{20}$$
 <imgcaption image2|Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor A>{{ :laplace_runge_lenz_vektor.png |}}
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 der nachfolgenden Relationen
-$$\vec{r}\cdot\vec{A} = r\cdot A\cos(\nu), \quad \vec{r}\cdot\vec{r} = |\vec{r}|^2 = r^2\tag{17}$$
+$$\vec{r}\cdot\vec{A} = r\cdot A\cdot\cos(\nu), \quad \vec{r}\cdot\vec{r} = |\vec{r}|^2 = r^2\tag{21}$$
 und
-$$\vec{r}\cdot (m\cdot\dot{\vec{r}}\times\vec{L}_{\nu}) = - (m\cdot\dot{\vec{r}}\times\vec{r})\cdot \vec{L}_{\nu} = |\vec{L}_{\nu}|^2\tag{18}$$
+$$\vec{r}\cdot (m\cdot\dot{\vec{r}}\times\vec{L}_{\nu}) = - (m\cdot\dot{\vec{r}}\times\vec{r})\cdot \vec{L}_{\nu} = |\vec{L}_{\nu}|^2\tag{22}$$
 erhält nach einigen Umformungen die folgende Relation
-$$r \left(\frac{A}{G\cdot M_S\cdot m^2}\cos(\nu) + 1\right) = \frac{L_{\nu}^2}{G\cdot M_S\cdot m^2}\tag{19}$$
+$$r\cdot \left(\frac{A}{G\cdot M_S\cdot m^2}\cdot\cos(\nu) + 1\right) = \frac{L_{\nu}^2}{G\cdot M_S\cdot m^2}\tag{23}$$
 und das resultiert wiederum in die Kegelschnittsgleichung mit
-$$\epsilon = \frac{|\vec{A}|}{G\cdot M_S\cdot m^2}\Rightarrow\epsilon\sim A\tag{20}$$
+$$\epsilon = \frac{|\vec{A}|}{G\cdot M_S\cdot m^2}\Rightarrow\epsilon\sim A\tag{24}$$