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--- goseck [2026/01/17 17:18] – hcgreier
+++ goseck [2026/01/17 17:30] (aktuell) – hcgreier
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 \end{align}\tag{1}$ |
-Man beachte, dass diese Beziehung nur für Daten im Julianischen Kalender gültig ist. Die $\text{int}(...)$-Funktion ist dabei die Ganzzahl-Division, entspricht also dem [[:mathematische_grundlagen#floor_und_ceiling_funktion|Abschneiden des Kommaanteils]] bei der Division. Dabei sind $Y,M,D$ das Jahr (astronomisch), der Monat bzw. der Tag des Monats samt Stundenanteil. Damit folgt für den $1.1.-4800$ um $12{:}00\;UT$
+Man beachte, dass diese Beziehung nur für Daten im Julianischen Kalender gültig ist. Die $\text{int}(...)$-Funktion ist dabei die Ganzzahl-Division, entspricht also dem [[:mathematische_grundlagen#floor_und_ceiling_funktion|Abschneiden des Kommaanteils]] bei der Division. Dabei sind $Y,M,D$ das Jahr (astronomisch), der Monat bzw. der Tag des Monats samt Stundenanteil. Damit folgt für den $1.1.-4800$ um $12{:}00\;UT$:
 $$\begin{align}
 Y &= -4800 \\
 M &= 1 \\
-D &= 1 + \frac{12}{24} = 1.5 \\
+D &= 1 + \frac{12}{24} = 1.5
 \end{align}$$
-| \(\begin{align}JD &= 367\cdot (-4800) \\
+$$\begin{align}JD &= 367\cdot (-4800) \\
   &- \text{int}\left(\frac{7\cdot\left((-4800) + 5001 + \text{int}\left(\frac{1 - 9}{7}\right)\right)}{4}\right) \\
   &+ \text{int}\left(\frac{275\cdot 1}{9}\right) + 1.5 + 1729776.5\\ &=-32142.0
-\end{align}\tag{2}\) |
+\end{align}\tag{2}$$
 **Der Zeitpunkt der Wintersonnenwende wird nun wie folgt ermittelt:**
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 Es gibt dazu eine genauere Methode, die ebenfalls bei J. Meeus angeführt ist:
-$$\lambda_{\odot} - \underbrace{0.005775518\cdot R\cdot \Delta\lambda}_{Aberration}\tag{5}$$
+| $\lambda_{\odot} - \underbrace{0.005775518\cdot R\cdot \Delta\lambda}_{Aberration}\tag{5}$ |
 wobei $\Delta\lambda$ die [[:sonnenposition#geozentrische_laenge_der_sonne|tägliche Variation]] der Länge der Sonne bezüglich $J2000$ ist. Die Differenz zur obigen Korrektur ist aber vernachlässigbar, daher wurde die einfachere Variante genommen.
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 Für die Bestimmung des Azimutwertes des Sonnenauf- bzw. -untergangs kann nun die folgende Transformationsformel benutzt werden:
-$$\sin(\delta) = \sin(h)\cdot\sin(\varphi) - \cos(A)\cdot\cos(h)\cdot\cos(\varphi)\tag{6}$$
+| $\sin(\delta) = \sin(h)\cdot\sin(\varphi) - \cos(A)\cdot\cos(h)\cdot\cos(\varphi)\tag{6}$ |
 $\delta = \delta_{\odot}$ zu Sonnenwende $\approx$ negative Ekliptikschiefe $\varepsilon = -24\overset{\circ}{.}153908$\\
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 Im vorliegenden Fall wollen wir den Azimut von **Nord** berechnen und nehmen daher mit $\cos(180^{\circ}-x) = \color{#ff0000}{-}\cos(x)$ die Gleichung
-$$\sin(\delta_{\odot}) = \sin(h)\cdot\sin(\varphi) \color{#ff0000}{+} \cos(A)\cdot\cos(h)\cdot\cos(\varphi)\tag{7}$$
+| $\sin(\delta_{\odot}) = \sin(h)\cdot\sin(\varphi) \color{#ff0000}{+} \cos(A)\cdot\cos(h)\cdot\cos(\varphi)\tag{7}$ |
 Ein Umstellen dieser Gleichung liefert
-$$\cos A = \frac{\sin(\delta_{\odot}) - \sin(h)\cdot\sin(\varphi)}{\cos(h)\cdot\cos(\varphi)} \tag{8}$$ bzw.
+| $\cos A = \frac{\sin(\delta_{\odot}) - \sin(h)\cdot\sin(\varphi)}{\cos(h)\cdot\cos(\varphi)} \tag{8}$ | bzw.
-$$ A = \arccos\left(\frac{\sin(\delta_{\odot}) - \sin(h)\cdot\sin(\varphi)}{\cos(h)\cdot\cos(\varphi)}\right)\tag{9}$$
+| $ A = \arccos\left(\frac{\sin(\delta_{\odot}) - \sin(h)\cdot\sin(\varphi)}{\cos(h)\cdot\cos(\varphi)}\right)\tag{9}$ |
 ==== Refraktion und scheinbarer Sonnenradius ====
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 Die Refraktion wird mit der [[:koordinatenreduktion#refraktion|Gleichung von G. Bennet]] ermittelt. Man hat mit $h$ in Grad die Beziehnug
-$$ R = \frac{1}{\tan\left(h + \frac{7.31}{h + 4.4}\right)}\tag{11}$$
+| $ R = \frac{1}{\tan\left(h + \frac{7.31}{h + 4.4}\right)}\tag{11}$ |
 in Bogenminuten. Für die Sonnenhöhe $h = 0$ ergibt sich für die Refraktion am Horizont
-$$R = \frac{1}{\tan\left(0 + \frac{7.31}{0 + 4.4}\right)} = 34\overset{'}{.}47753 = 0\overset{\circ}{.}57463\tag{12}$$
+| $R = \frac{1}{\tan\left(0 + \frac{7.31}{0 + 4.4}\right)} = 34\overset{'}{.}47753 = 0\overset{\circ}{.}57463\tag{12}$ |
 Den Halbmesser der Sonne erhält man über die Beziehung
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 wobei $R$ wieder der Abstand Erde-Sonne in astronomischen Einheiten bedeutet. Für den obigen Zeitpunkt der Wintersonnenwende ergibt sich $R = 1.00357487\;AU$ und damit
-$$s = \frac{959\overset{''}{.}63}{1.00357487} = 956\overset{''}{.}2 = 0\overset{\circ}{.}26561\tag{14}$$
+| $s = \frac{959\overset{''}{.}63}{1.00357487} = 956\overset{''}{.}2 = 0\overset{\circ}{.}26561\tag{14}$ |
 Der Azimut $A$ muss daher für die wahre Sonnenhöhe $h_w = h - R - s = 0 - 0\overset{\circ}{.}57463 - 0\overset{\circ}{.}26561 = -0\overset{\circ}{.}84024$ berechnet werden.
-$$\begin{align}
+| $\begin{align}
  A &= \arccos\left(\frac{\sin(\delta_{\odot}) - \sin(h_w)\cdot\sin(\varphi)}{\cos(h_w)\cdot\cos(\varphi)}\right) \\
    &= \arccos\left(\frac{\sin(-24.153908) - \sin(-0.84024)\cdot\sin(51.19825)}{\cos(-0.84024)\cdot\cos(51.19825)}\right) \\
    &= \arccos(-0.63483261851813) \\
    &= 129\overset{\circ}{.}4075712
-\end{align}\tag{15}$$
+\end{align}\tag{15}$ |
 Dies ist der Hauptwinkel von Nord (Sonnenaufgang), den zweiten Winkel findet man mit $360^{\circ} - A = 230\overset{\circ}{.}5924288$ (Sonnenuntergang).
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 Sterne, die zu weit nördlich stehen, gehen gemäß der Zirkumpolar-Bedingung $\delta \gt 90^{\circ} - \varphi$ nicht mehr unter, sie sind zirkumpolar. \\
-Für Goseck haben wir $\delta_{zirk} = 90^{\circ} - 51\overset{\circ}{.}19825 \approx 38\overset{\circ}{.}8$.
+Für Goseck haben wir
+| $\delta_{zirk} = 90^{\circ} - 51\overset{\circ}{.}19825 \approx 38\overset{\circ}{.}8$ |
 Man muss nun jene hellen Sterne betrachten, die zum Zeitpunkt der Nutzung der Anlage eine Deklination kleiner als $38\overset{\circ}{.}8$ besaßen. Gegenwärtig gibt es am nördlichen Sternenhimmel nur 10 Sterne mit einer scheinbaren Helligkeit $m \gt 1\overset{m}{.}5$, die dafür überhaupt in Frage kommen, siehe nachstehende Tabelle 3. Die Daten stammen aus der [[https://simbad.u-strasbg.fr/simbad/|SIMBAD Datenbank]].
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 Nun berechnet man zuerst die Eigenbewegung der Sterne (//proper motion//) zurück zur Zielepoche $J\text{-}4800$, genauer gesagt, zur dortigen Wintersonnenwende. Im obigen Abschnitt haben wir diese bereits ermittelt am 27.01.−4800, 13:05:00 TD bzw. $JDE = -32115.954861$. Die Differenz der Epochen beträgt nun
-$\Delta JDE = -32115.954861 - 2451545.0  = -2483660.954861$ Tage, oder in julianischen Jahrhunderten
+$$\Delta JDE = -32115.954861 - 2451545.0  = -2483660.954861$$
+Tage, oder in julianischen Jahrhunderten
 $$t = \frac{-2483660.954861}{36525} = -67.998931002355$$
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 Unter der Annahme, dass die Eigenbewegung des Sterns konstant über die Zeit erfolgt, erhält man z.B. für **Procyon** (alf CMi) die Deklinationsänderung
-$$\Delta \delta = \frac{-1036.80}{1000}\cdot (-6799.8931002355) = 7050\overset{''}{.}13 = 1\overset{\circ}{.}195837$$
+| $\Delta \delta = \frac{-1036.80}{1000}\cdot (-6799.8931002355) = 7050\overset{''}{.}13 = 1\overset{\circ}{.}195837$ |
 Der Deklinationswert $\delta_{J2000}$ muss nun um diesen Wert korrigiert werden, **bevor** man in die Berechnung der Präzession geht. Die Drehung der Erdachse verschiebt die gegebenen $J2000$ Koordinaten des Sterns über einen so langen Zeitraum beträchtlich.
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 Nun kann man wie oben den Azimut mittels der Beziehung
-$$A = \arccos\left(\frac{\sin(\delta) - \sin(h')\cdot\sin(\varphi)}{\cos(h')\cdot\cos(\varphi)}\right)\tag{16}$$
+| $A = \arccos\left(\frac{\sin(\delta) - \sin(h')\cdot\sin(\varphi)}{\cos(h')\cdot\cos(\varphi)}\right)\tag{16}$ |
 berechnen. Dabei ist $h'$ die um die Refraktion $R$ korrigierte Aufgangshöhe des Sterns, welche wieder mit der [[:koordinatenreduktion#refraktion|Gleichung von G. Bennet]] ermittelt wird (siehe oben). Für $h = 0^{\circ}$ erhält man z.B. $R = 34\overset{'}{.}4775 = 0\overset{\circ}{.}574626$, und daher $h' = 0^{\circ} - 0\overset{\circ}{.}574626 = -0\overset{\circ}{.}574626$.
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 Mit dem Breitengrad von Goseck $\varphi = 51\overset{\circ}{.}19825$ ergibt sich für Procyon
-$$\begin{align}
+| $\begin{align}\large A &= \arccos\left(\frac{\sin(-4\overset{\circ}{.}437644) - \sin(-0\overset{\circ}{.}574626)\cdot\sin(51\overset{\circ}{.}19825)}{\cos(-0\overset{\circ}{.}574626)\cdot\cos(51\overset{\circ}{.}19825)}\right) \\
-\large A &= \arccos\left(\frac{\sin(-4\overset{\circ}{.}437644) - \sin(-0\overset{\circ}{.}574626)\cdot\sin(51\overset{\circ}{.}19825)}{\cos(-0\overset{\circ}{.}574626)\cdot\cos(51\overset{\circ}{.}19825)}\right) \\
 &= 96\overset{\circ}{.}37353294944621 \approx 96\overset{\circ}{.}374
-\end{align}$$
+\end{align}$ |
 Der Stern Procyon kommt also schon mal nicht für einen Aufgang am Nordtor infrage.