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--- geozentrische_breite [2023/06/29 14:59] – [Berechnung von $\varphi'$ und $\rho$] hcgreier
+++ geozentrische_breite [2025/08/20 17:52] (aktuell) – [Die Größen $\varrho\sin\beta_{0}'$ und $\varrho\cos\beta_{0}'$] hcgreier
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-===== Geozentrische Breite =====
+====== Geozentrische Breite ======
-Zur Bestimmung der topozentrischen Koordinaten (griech. $\tau\omicron\pi\omicron\varsigma$ Topos, Ort) eines Himmelkörpers benötigt man die geozentrischen Größen $\varphi'$ und $\rho$. Dies ist meist nur für erdnahe Objekte wie z.B. den Mond notwendig, da der Mond eine relativ große Horizontalparallaxe von ca. $57''$ hat.
+Zur Bestimmung der topozentrischen Koordinaten (griech. $\tau\omicron\pi\omicron\varsigma$ Topos, Ort) eines Himmelkörpers benötigt man die geozentrischen Größen $\beta_0'$ und $\rho$. Dies ist meist nur für erdnahe Objekte wie z.B. den Mond notwendig, da der Mond eine relativ große Horizontalparallaxe von ca. $57'$ hat.
+**Abb.1** zeigt einen Meridianschnitt durch die Erde. Die Abplattung des Erdkörpers ist zu Anschauungszwecken extrem übertrieben dargestellt. $M$ ist der Erdmittelpunkt, $N$ und $S$ der Nord- bzw. Südpol. Die Verbindung $\overline{EF}$ stellt den Äquator dar, und $\overline{HK}$ ist die Horizontebene eines Beobachters $B$ auf der Erdoberfläche. Die Senkrechte zur Horizontebene in $B$ schneidet den Äquator im Punkt $P$.
 <imgcaption image1|>{{ :geozentrische_breite.png |Meridianschnitt durch den Erdkörper}}</imgcaption>
-**Abb.1** zeigt einen Meridianschnitt durch die Erde. Die Abplattung des Erdkörpers ist zu Anschauungszwecken extrem übertrieben dargestellt. $M$ ist der Erdmittelpunkt, $N$ und $S$ der Nord- bzw. Südpol. Die Verbindung $\overline{EF}$ stellt den Äquator dar, und $\overline{HK}$ ist die Horizontebene eines Beobachters $B$ auf der Erdoberfläche. Die Senkrechte zur Horizontebene in $B$ schneidet den Äquator im Punkt $P$.
+<WRAP center round box 100%>
+Winkel $\beta_0 = \angle FPB$ = geografische Breite des Beobachters in Grad \\
+Winkel $\beta_0' =\angle FMB$ = geozentrische Breite des Beobachters in Grad \\
+Abstand $\rho = \overline{MB}$ = geozentrischer Abstand des Beobachters vom Erdmittelpunkt in $km$ \\
+$R_E$ = Äquatorradius der Erde, $R_E = 6378.14\;km$, siehe [[wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Wichtige Konstanten]]
+</WRAP>
-Die Verbindung $\overline{BB'}$ ist parallel zur Richtung $\overline{NS}$, und die geografische Breite $\varphi$ taucht als Winkel $\varphi = \angle B'BH$ wiederum auf.
+Die Verbindung $\overline{BB'}$ ist parallel zur Richtung $\overline{NS}$, und die geografische Breite $\beta_0$ taucht als Winkel $\beta_0 = \angle B'BH$ wiederum auf.
-==== Berechnung von $\varphi'$ und $\rho$ ====
+==== Berechnung von $\beta_0'$ und $\rho$ ====
-Zur Umrechnung von geozentrischen äquatorialen Koordinaten in die topozentrischen äquatorialen Koordinaten müssen $\varphi'$ und $\rho$ berechnet werden. Dies kann man mit folgenden Näherungsformeln erreichen: (Siehe => [[literaturhinweise|O.Montenbruck, Grundlagen der Ephemeridenrechnung]])
+Zur Umrechnung von geozentrischen äquatorialen Koordinaten in die topozentrischen äquatorialen Koordinaten müssen $\beta_0'$ und $\rho$ berechnet werden. Dies kann man mit folgenden Näherungsformeln erreichen: (Siehe => [[:literaturhinweise#books_mont2|O.Montenbruck, Grundlagen der Ephemeridenrechnung]])
-\[ \begin{align} \varphi' &\approx \varphi - 0\overset{\circ}{.}1924\cdot \sin(2\varphi) \\
+\[\tag{1}\label{1} \begin{align} \beta_0' &\approx \beta_0- 0\overset{\circ}{.}1924\cdot \sin(2\beta_0) \\
-\rho &\approx R_E - 21.38\cdot \sin^2(\varphi) \end{align} \]
+\rho &\approx R_E - 21.38\cdot \sin^2(\beta_0) \end{align} \]
-<WRAP center round box 100%>
+Am Äquator und am Pol ist die Abweichung der geozentrischen Breite $\beta_0'$ von der geografischen Breite $\beta_0$ gleich $0$. Die größte Abweichung erhält man für  $\beta_0 = 45^\circ$ mit etwa $0\overset{\circ}{.}192425 = 0^\circ 11' 32\overset{''}{.}7$.
-Winkel $\varphi = \angle FPB$ = geografische Breite des Beobachters in Grad \\
-Winkel $\varphi' =\angle FMB$ = geozentrische Breite des Beobachters in Grad \\
+<imgcaption image2|>{{ :geozentrische_breite_abweichung.png?800 |Differenz geografische Breite – geozentrische Breite}}</imgcaption>
-Abstand $\rho = \overline{MB}$ = geozentrischer Abstand des Beobachters vom Erdmittelpunkt in $km$ \\
-$R_E$ = Äquatorradius der Erde, $R_E = 6378.14\;km$, siehe [[wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Wichtige Konstanten]]
+Nach [[:literaturhinweise#books_meeus|Jean Meeus]] kann man die Größen $\beta_0'$ und $\rho$ auch mit den folgenden Näherungsformeln ermitteln. Zu beachten sind die Korrekturterme in Bogensekunden.
+$$ \beta_0' \approx \beta_0 - 692\overset{''}{.}73\cdot \sin(2\cdot\beta_0) - 1\overset{''}{.}6\cdot \sin(4\cdot\beta_0) $$
+und $\rho$ in Einheiten des [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Äquatorradius]] $R_E$
+\[ \begin{align}
+\rho \approx\big{[}( & 0.9983271 \\
++&0.0016764\cdot \cos(2\cdot\beta_0) \\
+-&0.0000035\cdot \cos(4\cdot\beta_0)\big{]}\cdot\ R_E
+\end{align} \]
+Der geozentrische Abstand $\rho$ bezieht sich auf **Meereshöhe**, topografische Unebenheiten werden hier vernachlässigt.
+<WRAP center round info 100%>
+Es sei darauf hingewiesen, dass die Bezeichnungen für die geografische Länge und Breite in der Literatur nicht einheitlich sind. Normalerweise werden $\lambda_0$ für die Länge und $\beta_0$ für die Breite verwendet. Manchmal sieht man die Bezeichnungen $\lambda$ für die Länge und $\varphi$ für die Breite.
 </WRAP>
-Am Äquator und am Pol ist die Abweichung der geozentrischen Breite $\varphi'$ von der geografischen Breite $\varphi$ gleich $0$. Die größte Abweichung erhält man für  $\varphi = 45^\circ$ mit etwa $0\overset{\circ}{.}192425 = 0^\circ 11' 32\overset{''}{.}7$.
+==== Die Größen $\varrho\sin\beta_{0}'$ und $\varrho\cos\beta_{0}'$ ====
-<imgcaption image2|>{{ :differenz_phi_phi_strich.png |Differenz geografische-geozentrische Breite}}</imgcaption>
+Bei J. Meeus werden die Werte $\varrho$ mit dem Sinus bzw. dem Cosinus von $\beta_{0}'$ zu **einer Größe** zusammen gefasst berechnet. Dabei ist
-Nach [[literaturhinweise|Jean Meeus]] kann man die Größen $\varphi'$ und $\rho$ auch wie folgt ermitteln. Zu beachten sind die Korrekturterme in Bogensekunden.
+  * $\varrho$ = geozentrischer Abstand eines Beobachters auf der Erdoberfläche, in Einheiten des Erdradius $R_E$.
+  * $\beta_{0}'$ = geozentrische Breite des Beobachters.
-$$ \varphi' \approx \varphi - 692\overset{''}{.}73\cdot \sin(2\varphi) - 1\overset{''}{.}6\cdot \sin(4\varphi) $$
+Diese Größen $\varrho\sin\beta_{0}'$ bzw. $\varrho\cos\beta_{0}'$ werden für die Berechnung der topozentrischen Koordinaten für die Korrektur der Parallaxe benötigt, sowie auch bei der Berechnung von Finsternissen oder Bedeckungen. In den [[:literaturhinweise#books_meeus|Astronomical Algorithms]] wird der nachstehende Algorithmus für ihre Berechnung angegeben.
-und $\rho$ in Einheiten des Äquatorradius $R_E$
+Durch die Abplattung des Erdkörpers ändert sich die Breitenangabe ein wenig, es ist anstatt der geografischen Breite $\beta_{0}$ die geozentrische Breite $\beta_{0}'$ zu verwenden.
-\[ \begin{align} \rho \approx\big{[}( & 0.9983271 \\ +&0.0016764\cdot \cos(2\varphi) \\ -&0.0000035\cdot \cos(4\varphi)\big{]}\cdot\ R_E  \end{align} \]
+Ausgehend vom [[:wichtige_konstanten#entfernungen_und_massen|Äquatorradius der Erde]] mit
-Der geozentrische Abstand $\rho$ bezieht sich auf Meereshöhe, topografische Unebenheiten werden hier vernachlässigt.
+$$ R_E = 6378.14\,\textrm{km}$$
+und der Abplattung $f$ der Erde mit
+$$ f = \frac{R_E - R_P}{R_E} = \frac{1}{298.257} \approx 0.0033528132$$
+erhält man den Polradius der Erde durch
+$$ R_{P} = R_{E}\cdot(1 - f) = 6356.755\,\textrm{km}$$
+Für einen Ort auf Meereshöhe kann man dann aus der geografischen Breite $\beta_{0}$ die geozentrische Breite $\beta_{0}'$ ermitteln durch
+$$\beta_{0}' = \arctan\left( \frac{R_P^2}{R_E^2}\cdot \tan\beta_{0}\right)$$
+Befindet sich der Beobachter auf der Höhe $H$ (in Meter) über dem Meeresspiegel, lassen sich die Größen $\varrho\sin\beta_{0}'$ und $\varrho\cos\beta_{0}'$ wie folgt berechnen:
+\[\begin{align}
+\tan u &= \frac{R_P}{R_E}\cdot \tan\beta_{0}\quad\textsf{und damit}\\\\
+\varrho\sin\beta_{0}' &= \frac{R_P}{R_E}\cdot\sin u + \frac{H}{6378140}\cdot\sin\beta_{0}\\\\
+\varrho\cos\beta_{0}' &= \cos u + \frac{H}{6378140}\cdot\cos\beta_{0}\\
+\end{align}\]
+Dabei sind die [[:mathematische_grundlagen#trig_ident|Identitäten der Sinus- bzw. Tangensfunktion]] von Nutzen.
+Die Größe $\varrho\sin\beta_{0}'$ ist in nördlichen Breiten positiv und in südlichen Breiten negativ, während der Wert von $\varrho\cos\beta_{0}'$ immer positiv ist.
+Wie man aus den Formeln erkennen kann, hat die geografische Länge $\lambda_{0}$ keinen Einfluss auf die Berechnung, sondern nur die geografische Breite $\beta_{0}$.
+<WRAP center round box 100%>
+==== Beispiel ====
+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne die Werte von** $\beta_{0}',\,\varrho\sin\beta_{0}'$ **und** $\varrho\cos\beta_{0}'$ **für das Paranal Observatorium in Chile mit** $\beta_{0} = -24^{\circ}37'38''$ **und** $H = 2635\,\textrm{m}$.
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+Das Paranal Observatorium liegt auf der Südhalbkugel, eine Umrechnung liefert die dezimale geografische Breite mit
+\(\begin{align}
+\beta_{0} &= -\left(24^{\circ} + \frac{37'}{60\tfrac{'}{\circ}} + \frac{38''}{3600\tfrac{''}{\circ}}\right)\\
+&= -24\overset{\circ}{.}627222
+\end{align}\)
+Damit gelangt man zu
+\(\begin{align}
+\tan u &= \frac{6356.755}{6378.14}\cdot \tan(-24.627222)\\
+&= -0.456873593789
+\end{align}\)
+und damit
+\(\begin{align}
+u &= \arctan (-0.456873593789)\\
+&= -24\overset{\circ}{.}554409
+\end{align}\)
+Mit den oben angegeben Beziehungen erhält man nun
+\(\begin{align}
+\varrho \sin\beta_{0}' &= \frac{6356.755}{6378.14}\cdot \sin(-24.554409)\\
+&+ \frac{2635}{6378140}\cdot \cos(-24.627222)\\
+&= -0.414336
+\end{align}\)
+\(\begin{align}
+\varrho \cos\beta_{0}' &= \cos(-24.554409)\\
+&+ \frac{2635}{6378140}\cdot \cos(-24.627222)\\
+&= 0.909943
+\end{align}\)
+Die geozentrische Breite $\beta_{0}'$ ist nun gegeben durch
+\(\begin{align}
+\beta_{0}' &= \textrm{arctan2}(-0.414336, 0.909943)\\
+            &= -24\overset{\circ}{.}4818056
+\end{align}\)
+Läge der Beobachtungsort auf **Meereshöhe**, wäre die geozentrische Breite gegeben durch
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="430px"}}
+| \(\begin{align} \beta_{0}' &= \arctan\left( \frac{6356.755^2}{6378.14^2}\cdot \tan(-24.627222)\right)\\ &=-24\overset{\circ}{.}481756 \end{align}\)  |
+Mit der Näherungformel $\eqref{1}$ erhält man für $\beta_{0}'$ auf Meereshöhe
+\(\begin{align}
+\beta_{0}' &= -24\overset{\circ}{.}627222\\
+&- 0.1924\cdot\sin\big(2\cdot (-24.627222)\big)\\
+&= -24\overset{\circ}{.}481457
+\end{align}\)
+Die Differenz zum genaueren Wert beträgt lediglich $1\overset{''}{.}4436$.
+</WRAP>