Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen der Seite angezeigt.

--- finsternisse [2025/11/20 22:54] – [Mondfinsternis] quern
+++ finsternisse [2025/12/02 17:39] (aktuell) – [Bedeckungsgrad] quern
@@ Zeile 415: / Zeile 415: @@
 mit dem geozentrischen Sonnenabstand $\Delta_S = R = 1$ und
 $$\frac{\Delta_M}{\Delta_S} = \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)}\tag{44}$$
 und $\pi_S$, $\pi_M$ als die Sonnen- und Mondparallaxen
 $$\sin(\pi_S) = \frac{R_E}{\Delta_S} \quad \textsf{und} \quad \sin(\pi_M) = \frac{R_E}{\Delta_M}\tag{45}$$
 wieder mit dem modifizierten Mondabstand $\Delta_M$. $g$ hat die Einheit 1 AE und diesen Wert erhält man mit
 $$g = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.\tag{46}$$
@@ Zeile 442: / Zeile 445: @@
 \end{align}\tag{51}\)
-<imgcaption image1|Halbschatten und Kernschatten bei einer totalen SoFi>
+<imgcaption image7|Halbschatten und Kernschatten bei einer totalen SoFi>
 {{ :sofi_winkel_f1_und_f2_3d_closer.png |}}</imgcaption>
-<imgcaption image2|Halbschatten und Kernschatten bei einer ringförmigen SoFi>
+<imgcaption image8|Halbschatten und Kernschatten bei einer ringförmigen SoFi>
 {{ :sofi_winkel_f1_und_f2_3d.png |}}</imgcaption>
-<imgcaption image3|Halbschatten und Kernschatten bei einer Mondfinsternis>{{ :mofi_winkel_f1_und_f2_3d.png?1000 |}}</imgcaption>
+<imgcaption image9|Halbschatten und Kernschatten bei einer Mondfinsternis>{{ :mofi_winkel_f1_und_f2_3d.png?1000 |}}</imgcaption>
 Alle drei Grafiken sind nicht masstabsgetreu.
@@ Zeile 459: / Zeile 462: @@
 Die Größe $G$ der Finsternis wird nun ermittelt. [[:literaturhinweise#books_meeus|Meeus]] schlägt folgende Gleichung vor:
 $$G = \frac{1.5433 + u - |\gamma|}{0.5461 + 2 \cdot u}\tag{52}$$
 Bei einer partiellen Sonnenfinsternis wird die maximale Größe an dem Ort erreicht, der der Schattenachse am nächsten liegt. Eine erste
 Näherung der Sonnenfinsternisgröße ist ([[:literaturhinweise#books_roth|Handbuch für Sternfreunde]]):
 $$G = \frac{\varrho_S - \gamma + \varrho_M}{2 \cdot \varrho_M}\tag{53}$$
@@ Zeile 473: / Zeile 478: @@
 Die Mondfinsternisgröße $G$ ist laut [[:literaturhinweise#books_roth|Handbuch für Sternfreunde]]:
-$$G = \frac{d_S - \rho + \varrho_M}{2 \cdot \varrho_M}\tag{56}$$
+$$G = \frac{d_M - \rho + \varrho_M}{2 \cdot \varrho_M}\tag{56}$$
 [[:literaturhinweise#books_meeus|Meeus]] bietet folgende Gleichungen an:
@@ Zeile 482: / Zeile 487: @@
 ===== Positionswinkel =====
-<imgcaption image7|Positionswinkel>{{ :finsternisse_positionswinkel.png |}}</imgcaption>
+<imgcaption image10|Positionswinkel>{{ :finsternisse_positionswinkel.png |}}</imgcaption>
 Um den Positionswinkel der Ein- und Austrittsrichtung des Mondes vor der Sonnenscheibe (Sonnenfinsternis) oder in und aus dem Erdschatten (Mondfinsternis) zu bestimmen, müssen die Mondkoordinaten $\alpha_M$, $\delta_M$ ins Fundamentalsystem transformiert werden ([[:literaturhinweise#books_mont1|Montenbruck & Pfleger]], [[:literaturhinweise#books_seidelmann|Explanatory Supplement]]):
@@ Zeile 501: / Zeile 506: @@
 mit $\theta$ als der Sternzeit und $\tau_0$ = $\theta - \alpha\pm\lambda_0$ dem Stundenwinkel. $\pm$ gibt die alte/neue Zählrichtung der geografischen Länge an. Die Positionswinkel, die die Ein- und Austrittsrichtung des Mondes an der Sonnenscheibe für die partielle Phase ($L = L_1$) und die totale Phase ($L = L_2$) angibt, haben die Form:
 $$\begin{align}
 \cos(P) & = \frac{1}{L}\cdot (y_M - \eta) \\
@@ Zeile 506: / Zeile 512: @@
 \end{align}\tag{61}$$
-Die Zählrichtung ist von Norden nach Osten im Uhrzeigersinn. Muss der Beobachtungsort wie bei einer Mondfinsternis nicht berücksichtigt
+Die Zählrichtung ist von Norden nach Osten im Uhrzeigersinn. Muss der Beobachtungsort wie bei einer Mondfinsternis nicht berücksichtigt werden, so reduziert sich obiger Vektor zu:
-werden, so reduziert sich obiger Vektor zu:
 $$\begin{align}
 \cos(P) &= y_M \\
@@ Zeile 514: / Zeile 520: @@
 Die Koordinaten des solaren Gegenpunkts ($a, d$) sind $a = \textrm{red}\big(\alpha_S + 12^h, 24^h\big)$ und $d = -\delta_S$ mit der [[:mathematische_grundlagen#reduktions-_und_rundungsfunktion|Reduktionsfunktion]].
+===== Bedeckungsgrad =====
+Die Finsternisgröße $G$ gibt den Sonnen- oder Mondradius an, der vom Mond bzw. Erde verfinstert wurde. Er reduziert sich bei
+$$\gamma\approx\rho\approx 0\tag{63}$$
+(totale oder ringförmige Sonnenfinsternis) auf
+$$G = \frac{\varrho_S}{\varrho_M}\tag{64}$$
+Der Bedeckungsgrad ist der Anteil der verfinsterten Sonnen- bzw. Mondscheibe (**Abb.11**).
+<imgcaption image11|Der Bedeckungsgrad>{{ finsternisgroesse.png?direct |}}</imgcaption>
+Der Rechenweg wird wie folgt illustriert (zwischen dem 1. und 2. Kontakt, sowie zwischen dem 3. und dem 4. Kontakt):
+\[\begin{split}
+Y &= \frac{\varrho_1^2 - \varrho_2^2 + \sigma^2}{2\cdot\sigma} \\[2ex]
+\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) &= \frac{\sigma - Y}{\varrho_1} = \frac{\varrho_2^2 - \varrho_1^2 + \sigma^2}{2\cdot\sigma\cdot\varrho_1} \\[2ex]
+\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) &= \frac{Y}{\varrho_2} = \frac{\varrho_1^2 - \varrho_2^2 + \sigma^2}{2\cdot\sigma\cdot\varrho_2}
+\end{split}\tag{65}\]
+Die normierte verfinsterte Fläche $O$ ermittelt man mit den Gleichungen:
+\[\begin{split}
+A &= \frac{\varrho_1^2}{2}\cdot \left(\frac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\alpha
+- \sin(\alpha)\right) \\[2ex]
+B &= \frac{\varrho_2^2}{2}\cdot \left(\frac{\pi}{180^{\circ}}\cdot\beta
+- \sin(\beta)\right) \\[2ex]
+O &= \frac{A + B}{\pi\cdot\varrho_k^2}
+\end{split}\tag{66}\]
+Bei einer Mondfinsternis wird statt des Sonnenhalbmessers $\varrho$ der Kernschattendurchmesser $d_M$ genommen. Die verfinsterte Fläche kann mit dem Index $k = 1$ oder $k = 2$ genormt werden. Orientierung bietet die Finsternisgröße $G$. Der verbleibende leuchtende Teil $F$ berechnet sich mit
+$$F = 1.0 - O\tag{67}$$
+<WRAP center round info 100%>
+Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ müssen in **Grad** sein. Die Winkelgleichungen gelten nur für die partiellen Finsternisse, aufgrund von $\sigma$ im Nenner. Für die totalen Finsternisse endet die Berechnung bei $Y = \varrho_k$ und $\sigma = \varrho_k - \varrho_l$, mit $\varrho_k \gt \varrho_l$. Die Mondscheibe befindet sich dann zwischen dem 2. und 3. Kontakt entweder vor der Sonne oder im irdischen Kernschatten. Währenddessen gilt für den Bedeckungsgrad $O = 1$. Nach dem 3. Kontakt setzt die Berechnung von $Y$ wieder ein.
+</WRAP>
+===== Helligkeit =====
+Bei Finsternissen nimmt die Helligkeit der Sonne und des Mondes temporär ab und wieder zu. Für den Verlauf bei einer Sonnenfinsternis gilt:
+$$m = - 26\overset{m}{,}74 - 2\overset{m}{,}5 \log_{10}(F)\tag{68}$$
+Und für die Mondfinsternis ist es etwas komplizierter. Die Helligkeit einer Mondfinsternis hängt stark vom Zustand der Erdatmosphäre (Extinktion) ab. Die Gleichung zur Mondhelligkeit setzt sich aus der [[:erdmond#helligkeit|Mondhelligkeit]] $m(0^{\circ})$, der [[:koordinatenreduktion#extinktion|Extinktion]] E(z) und der obigen Gleichung zusammen zu:
+$$m = E(z) - 12\overset{m}{,}74 - 2\overset{m}{,}5 \log_{10}(F)\tag{69}$$
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="40px,1000px"&float=center}}
+^  L  ^  Tabelle 11: Danjon Skala  ^
+|  0  |  Sehr dunkle Finsternis, Mondscheibe erscheint grau - schwarz, zur Finsternismitte ist der Mond kaum zu sehen.  |
+|  1  |  Dunkle Finsternis, Mondscheibe grau oder bräunlich, Oberflächendetails nur schwer erkennbar.  |
+|  2  |  Mond leuchtet dunkelrot oder rostrot, Zentralbereich sehr dunkel, Aufhellung am Rand des Kernschattens.  |
+|  3  |  Ziegelrote Finsternis, Kernschatten am Rand gelblich aufgehellt.  |
+|  4  |  Sehr helle, kupferrote oder orangene Färbung. Kernschatten hat hellen, bläulichen Saum.  |
+Zwischen dem Danjon Parameter L und der Helligkeit m des total verfinsterten Mondes besteht folgender, empirisch gefundener Zusammenhang:
+$$m = 4\overset{m}{,}0 - 2\overset{m}{,}3 \ L\tag{70}$$
+Die obige Gleichung (68) beschreibt nur die Helligkeit während der Finsternis. Die Gleichung (70) hingegen dokumentiert die Helligkeit auch während der Ein- und Austrittsphase.
 ===== Sternbedeckungen =====
@@ Zeile 540: / Zeile 609: @@
 $r_{SE}$ = Erdabstand R von der Sonne \\
 $R_S$, $R_M$, $R_E$ = Radien der Sonne, des Mondes und der Erde \\
+$\varrho_S = \frac{\varnothing_S}{2}$ , $\varrho_M = \frac{\varnothing_M}{2}$ = scheinbare Radien der Sonne und des Mondes \\
 $d_M$ = Durchmesser des Kernschattens bei einer Mondfinsternis \\
 $D_M$ = Durchmesser des Halbschattens bei einer Mondfinsternis \\