Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen der Seite angezeigt.

--- finsternisse [2024/05/07 16:10] – [Montenbruck/Pfleger] quern
+++ finsternisse [2025/07/15 14:23] (aktuell) – hcgreier
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 ==== Meeus ====
-Meeus beginnt mit dem Delaunay Argument $F = l - \Omega$ und der [[:mondphasen#berechnung_der_mondphasen|Phasenummer]] $k$:
+[[:literaturhinweise#books_meeus|Meeus]] beginnt mit dem Delaunay Argument $F = l - \Omega$ und der [[:mondphasen#berechnung_der_mondphasen|Phasenummer]] $k$:
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+^  Tabelle 1  ||
 | \[\begin{array}{lll} & |F - 360^{\circ}\cdot k| < 13.9^{\circ} & \textsf{Finsternis sicher} \\ 13.9^{\circ} < & |F - 360^{\circ}\cdot k| < 21^{\circ} & \textsf{Finsternis wahrscheinlich} \\ & |F - 360^{\circ}\cdot k| > 21^{\circ} & \textsf{keine Finsternis} \end{array}\]  |
 Es folgt:
-$$F' = F - 0\overset{\circ}{.}02665\cdot \sin(\Omega)$$
+$$F' = F - 0\overset{\circ}{.}02665\cdot \sin(\Omega)\tag{1}$$
-$$A' = 299\overset{\circ}{.}77 + 0.107408 \cdot k - 0\overset{\circ}{.}09173 \cdot T^2$$
+$$A' = 299\overset{\circ}{.}77 + 0.107408 \cdot k - 0\overset{\circ}{.}09173 \cdot T^2\tag{2}$$
 Man nehme die mittleren Bahnelemente $m, M, F$ und $\Omega$ und den julianischen Tag $JDE_0$ aus dem Kapitel über die [[:mondphasen#berechnung_der_mondphasen|Mondphasen]] und addiere die folgenden Reihenentwicklungen dazu:
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+^  Tabelle 2  ||
 | Sonnenfinsternisse:  | $\Delta JDE_{SF} = -0\overset{d}{.}4075\cdot \sin(m) + 0\overset{d}{.}1721\cdot E \cdot \sin(M)$   |
 | Mondfinsternisse:    | $\Delta JDE_{MF} = - 0\overset{d}{.}4065\cdot \sin(m) + 0\overset{d}{.}1727\cdot E \cdot \sin(M)$  |
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 & -0\overset{d}{.}0002\cdot E\cdot  \sin (2\cdot m - M)\\
 & -0\overset{d}{.}0002\cdot    \sin (\Omega)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{3}\]
 Alles zusammen ergeben die Finsternistermine nach Meeus:
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+^  Tabelle 3  ||
 | Sonnenfinsternis: | $JDE_{SF} = JDE_0 + \Delta JDE_{SF} + \Delta JDE_0$ |
 | Mondfinsternis:   | $JDE_{MF} = JDE_0 + \Delta JDE_{MF} + \Delta JDE_0$ |
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 ==== Montenbruck/Pfleger ====
-Montenbruck & Pfleger beginnen mit dem Delaunay Argument $D = l - L$ und der [[:mondphasen#berechnung_der_mondphasen|Phasennummer]] $k$.
+[[:literaturhinweise#books_mont1|Montenbruck & Pfleger]] beginnen mit dem Delaunay Argument $D = l - L$ und der [[:mondphasen#berechnung_der_mondphasen|Phasennummer]] $k$.
 \[\begin{align}
@@ Zeile 59: / Zeile 62: @@
 ^{\circ} &= D + \Delta l - \Delta L - 90^{\circ}\cdot k\\
 &= D_0 + D_1\cdot T + D_2\cdot T^2 + \Delta l - \Delta L - 90^{\circ}\cdot k
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{4}\]
 Bei einer Sonnenfinsternis ($k=0$) und einer Mondfinsternis ($k=2$) muss $\Delta\lambda = 0^{\circ}$ sein. Jetzt muss der Zeitpunkt $T$ gefunden werden, an dem $\Delta\lambda$ verschwindet. Dies geschieht mit dem [[:iteration#pegasus_verfahren|Pegasus Verfahren]]:
-$$T_2 = T_1 - \frac{T_1 − T_0}{\Delta\lambda(T_1) - \Delta\lambda(T_0)}\cdot \Delta\lambda(T_1)$$
+$$T_2 = T_1 - \frac{T_1 − T_0}{\Delta\lambda(T_1) - \Delta\lambda(T_0)}\cdot \Delta\lambda(T_1)\tag{5}$$
 Man startet mit einem Intervall $[T_0;T_1]$ in dem $\Delta\lambda$ ein Vorzeichenwechsel hat und bestimmt dann $T_2$.
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 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="170px,180px,180px,138px,179px"&float=center}}
-^  Tabelle 1  |||||
+^  Tabelle 4  |||||
 ^  Mondphase                    ^  Länge                                      ^  Breite                          ^  Finsternisart  ^  Sichtbarkeit    ^
 |  Sonnenfinsternis \\ Neumond  |  $|L - \Omega| < 9\overset{\circ}{.}45$     |  $|\beta| < 0^{\circ} 52' 20''$  |  zentral        |  sicher          |
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 | :::                           |  $|L^* - \Omega| < 18\overset{\circ}{.}83$  |  $|\beta| < 1^{\circ} 36' 43''$  |  Halbschatten   |  wahrscheinlich  |
 | :::                           |  $|L^* - \Omega| > 18\overset{\circ}{.}83$  |  $|\beta| > 1^{\circ} 36' 43''$  |  keine          |  nicht möglich   |
 mit $L^* = L +180^{\circ}$. Die Tabelle stammt aus dem Buch [[:literaturhinweise#books_green|Spherical Astronomy]] von R. Green.
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 &\cos(\delta_S) \cdot \sin(\alpha_S) \\
 &\sin(\delta_S) \\
-\end{align}\right) = \Delta_S \cdot \vec{e}_S$$
+\end{align}\right) = \Delta_S \cdot \vec{e}_S\tag{6}$$
 Geozentrisch - äquatoriale Koordinaten des Erdmondes:
@@ Zeile 122: / Zeile 124: @@
 &\cos(\delta_M) \cdot \sin(\alpha_M) \\
 &\sin(\delta_M) \\
-\end{align}\right) = \Delta_M \cdot \vec{e}_M$$
+\end{align}\right) = \Delta_M \cdot \vec{e}_M\tag{7}$$
 Sonnenfinsternisse:
-$$s = - \vec{r}_M\cdot\vec{e}_S - \sqrt{s_0^2 + R_E^2 - r_M^2}$$
+$$s = - \vec{r}_M\cdot\vec{e}_S - \sqrt{s_0^2 + R_E^2 - r_M^2}\tag{8}$$
 mit
-$$\vec{e}_S = \frac{\vec{r}_M - \vec{r}_S}{|\vec{r}_M - \vec{r}_S|}$$
+$$\vec{e}_S = \frac{\vec{r}_M - \vec{r}_S}{|\vec{r}_M - \vec{r}_S|}\tag{9}$$
 Mondfinsternisse:
@@ Zeile 134: / Zeile 136: @@
 &= s_0 - \sqrt{\Delta}\\
 &=  s_0 - \sqrt{R_E^2 - \gamma^2}
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{10}\]
 mit
-$$\vec{e}_M = \frac{\vec{r}_S - \vec{r}_M}{|\vec{r}_S - \vec{r}_M|}$$
+$$\vec{e}_M = \frac{\vec{r}_S - \vec{r}_M}{|\vec{r}_S - \vec{r}_M|}\tag{11}$$
 Der Wert $\gamma$ = $\sqrt{r_M^2 - s_0^2}\;$ (**Abb.2** oben) ist laut J. Meeus der Abstand der Schattenachse vom Erdmittelpunkt (Gamma-Wert), wobei $s_0$ anschaulich die Entfernung des Mondes von der Fundamentalebene ist.
@@ Zeile 147: / Zeile 149: @@
 \vec{r} &= \vec{r}_M + s \cdot \vec{e}\\
 &= \vec{r}_M + \left(- \vec{r}_M\cdot\vec{e}_S - \sqrt{s_0^2 + R_E^2 - r_M^2}\right) \cdot \vec{e}_S
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{12}\]
 Mondfinsternisse:
@@ Zeile 153: / Zeile 155: @@
 \vec{r} &= \vec{r}_M + (s_0 - \sqrt{\Delta}) \cdot \vec{e}\\
 &= \vec{r}_M + \left(- \vec{r}_M\cdot\vec{e}_M - \sqrt{s_0^2 + R_E^2 - r_M^2}\right) \cdot \vec{e}_M
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{13}\]
 ==== Kern- und Halbschatten ====
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 Sonnenfinsternisse:
-\begin{align}
+\[\begin{align}
 d_S(s) &= 2 \cdot R_S\cdot \left(\dfrac{s}{r_{SM}}\right) - 2 \cdot R_M\cdot \left(1 + \dfrac{s}{r_{SM}}\right) \\
 D_S(s) &= 2 \cdot R_S\cdot \left(\dfrac{s}{r_{SM}}\right) + 2 \cdot R_M\cdot \left(1 + \dfrac{s}{r_{SM}}\right)
-\end{align}
+\end{align}\tag{14}\]
 Mondfinsternisse:
-\begin{align}
+\[\begin{align}
 d_M(s) &= 2 \cdot R_S \left(\dfrac{s}{r_{SE}}\right) - 2 \cdot R_E \left(1 + \dfrac{s}{r_{SE}}\right) \\
 D_M(s) &= 2 \cdot R_S \left(\dfrac{s}{r_{SE}}\right) + 2 \cdot R_E \left(1 + \dfrac{s}{r_{SE}}\right)
-\end{align}
+\end{align}\tag{15}\]
 Man berechnet jetzt den Mondabstand von der Sonne $r_{SM}$
-$$r_{SM} = \sqrt{R^2 + \Delta_M^2 - 2 \cdot R \cdot \Delta_M\cdot \cos(\eta)}$$
+$$r_{SM} = \sqrt{R^2 + \Delta_M^2 - 2 \cdot R \cdot \Delta_M\cdot \cos(\eta)}\tag{16}$$
-mit der [[:erdmond#physische_ephemeriden|Mondelongation]] $\eta$ und dem modifizierten Mondabstand $\Delta_M = \frac{\Delta}{149\,597\,870.662}$.\\
+mit der [[:erdmond#physische_ephemeriden|Mondelongation]] $\eta$ und dem modifizierten Mondabstand $\Delta_M = \frac{\Delta}{149\,597\,870.662}$. $d(s)$ ist so gehalten, dass $d$ negativ bei einer totalen Finsternis und positiv bei einer partiellen Finsternis wird.
-$d(s)$ ist so gehalten, dass $d$ negativ bei einer totalen Finsternis und positiv bei einer partiellen Finsternis wird.
 ==== Sichtbarkeit der Finsternisse ====
@@ Zeile 187: / Zeile 188: @@
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="150px,340px,330px"&float=center}}
-^  Tabelle 2  |||
+^  Tabelle 5  |||
 ^ Finsternisart  ^ Sichtbarkeit der Sonnenfinsternisse                         ^ Sichtbarkeit der Mondfinsternisse                           ^
 | zentral:       | $R_E > |\gamma|$                                            | $R_M > |\gamma|$                                            |
@@ Zeile 197: / Zeile 198: @@
 Sonnenfinsternisse:
-$$\dfrac{d_S}{2} = \pi_M - \pi_S + \dfrac{\varnothing_S}{2} - \dfrac{\varnothing_M}{2}$$
+$$\dfrac{d_S}{2} = \pi_M - \pi_S + \dfrac{\varnothing_S}{2} - \dfrac{\varnothing_M}{2}\tag{17}$$
-$$\dfrac{D_S}{2} = \pi_M - \pi_S + \dfrac{\varnothing_S}{2} + \dfrac{\varnothing_M}{2}$$
+$$\dfrac{D_S}{2} = \pi_M - \pi_S + \dfrac{\varnothing_S}{2} + \dfrac{\varnothing_M}{2}\tag{18}$$
 Mondfinsternisse:
-$$\dfrac{d_M^\pm}{2} = 1.02 \cdot \left(0.99834 \cdot \pi_M + \pi_S - \dfrac{\varnothing_S}{2}\right) \pm \dfrac{\varnothing_M}{2}$$
+$$\dfrac{d_M^\pm}{2} = 1.02 \cdot \left(0.99834 \cdot \pi_M + \pi_S - \dfrac{\varnothing_S}{2}\right) \pm \dfrac{\varnothing_M}{2}\tag{19}$$
 $$\dfrac{D_M}{2} = 1.02 \cdot \left(0.99834 \cdot  \pi_M + \pi_S + \dfrac{\varnothing_S}{2}\right) +
-\dfrac{\varnothing_M}{2}$$
+\dfrac{\varnothing_M}{2}\tag{20}$$
 $d^{+}$ ist partielle Phase und $d^{-}$ die totale Phase. Die Parallaxen der Sonne $\pi_S$ und des Mondes $\pi_M$ stammen von [[:mondposition_nach_montenbruck#die_geozentrischen_koordinaten_des_mondes|hier]] und [[:mondposition_nach_meeus#summieren_der_terme|hier]].
@@ Zeile 214: / Zeile 215: @@
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="220px,240px"&float=center}}
-^  Tabelle 3: Sonnenfinsternisse:  ||
+^  Tabelle 6: Sonnenfinsternisse:  ||
 | keine Sonnenfinsternis:  | $\sigma \gt \dfrac{D_S}{2}$                                  |
 | partielle Phase:         | $\sigma \lt \dfrac{D_S}{2}$ und $\sigma \gt \dfrac{d_S}{2}$  |
@@ Zeile 220: / Zeile 221: @@
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="220px,240px"&float=center}}
-^  Tabelle 4: Mondfinsternisse:  ||
+^  Tabelle 7: Mondfinsternisse:  ||
 | keine Mondfinsternis:  | $\sigma \gt \dfrac{D_M}{2}$                                      |
 | Halbschattenphase:     | $\sigma \lt\dfrac{D_M}{2}$ und $\sigma \gt \dfrac{d_M^+}{2}$     |
@@ Zeile 236: / Zeile 237: @@
 \\
 T_M &= 24^h \cdot JDE_{MF} = JDE_V
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{21}\]
 === Sonnenfinsternis ===
@@ Zeile 242: / Zeile 243: @@
 Die Schattenachse schneidet zwei gegebene Orte auf der Erdoberfläche mit den geografischen Koordinaten $\vec{r}(\lambda_0, \beta_0$) zum Zeitpunkt $t$ und $\vec{r}'(\lambda_0', \beta_0')$ zum Zeitpunkt $t' = t + \Delta t$. $\Delta t$ ist die Zeitdifferenz, in der der Mondschatten über den Erdglobus wandert. In demselben Zeitraum dreht sich die Erde um den Betrag
-$$w = \frac{360^{\circ}}{1436^m} \cdot \Delta t$$
+$$w = \frac{360^{\circ}}{1436^m} \cdot \Delta t\tag{22}$$
 weiter. Das Stück muss nochmals addiert werden. Es gilt dann für den Ort $\vec{r}$' zum Zeitpunkt $t' = t + \Delta t$: $\;\lambda_0' + w$.
@@ Zeile 248: / Zeile 249: @@
 Der Weg, den der Kernschatten auf der Erdoberfläche relativ zur Eigendrehung der Erde zurücklegt, ist dann:
-$$\Delta\vec{r} = \vec{r}''(\lambda_0' + w, \beta_0') - \vec{r}(\lambda_0, \beta_0)$$
+$$\Delta\vec{r} = \vec{r}''(\lambda_0' + w, \beta_0') - \vec{r}(\lambda_0, \beta_0)\tag{23}$$
 Mit Hilfe der Vektors $\vec{e}_s$ kann man dann die Dauer der Sonnenfinsternis $\tau$ berechnen:
-$$\tau = \frac{|d_S(s)| \cdot \Delta t}{\sqrt{\Delta\vec{r}^2 - \Delta\vec{r}\cdot\vec{e}_s}}$$
+$$\tau = \frac{|d_S(s)| \cdot \Delta t}{\sqrt{\Delta\vec{r}^2 - \Delta\vec{r}\cdot\vec{e}_s}}\tag{24}$$
 Aus der obigen Gleichung für $\Delta\lambda$ in der Vorausberechnung ergibt sich der Zeitpunkt der Finsternismitte:
-$$t = T_M - \frac{36525}{D_1}\cdot \big[D(T_M) + \Delta l(T_M) - \Delta L(T_M)\big]$$
+$$t = T_M - \frac{36525}{D_1}\cdot \big[D(T_M) + \Delta l(T_M) - \Delta L(T_M)\big]\tag{25}$$
 Montenbruck & Pfleger empfehlen hier eine kurze Iteration mit $T_M = t$ und dann erneutes Einsetzen mit dann finalem $t$. Als Finsternisbeginn wählt man daraufhin $t_{D-} = t - \frac{\tau}{2}$ und damit für das Finsternisende $t_{D+} = t + \frac{\tau}{2}$. Dies unterscheidet noch nicht zwischen der partiellen Phase und der eigentlichen, sehr kurzen Totalität. Für die partielle Phase setze man $D_S(s)$ statt $d_S(s)$ in die obige Gleichung ein. Eine andere Möglichkeit ist die Einführung von $f(t)$:
-$$f(t) = (x_M - \xi)^2 + (y_M - \eta)^2 - L^2 = \gamma^2 - L^2$$
+$$f(t) = (x_M - \xi)^2 + (y_M - \eta)^2 - L^2 = \gamma^2 - L^2\tag{26}$$
-Wieder kann durch das  [[:iteration#pegasus_verfahren|Pegasus Verfahren]] die Nullstelle $t$ (d.h. der Zeitpunkt des Ein- und Austritts aus der Finsternis) gefunden werden, an der $f(t) = 0$ gilt. $L$ ist der Radius des Halb- oder Kernschattenkegels auf der Fundamentalebene und $\xi$, $\eta$ sind die karthesisch-geografischen Koordinaten des Beobachters.
+Wieder kann durch das  [[:iteration#pegasus_verfahren|Pegasus Verfahren]] die Nullstelle $t$ (d.h. der Zeitpunkt des Ein- und Austritts aus der Finsternis) gefunden werden, an der $f(t) = 0$ gilt. $L$ ist der Radius des Halb- oder Kernschattenkegels auf der Fundamentalebene und $\xi$, $\eta$ sind die kartesisch-geographischen Koordinaten des Beobachters.
 === Mondfinsternis ===
@@ Zeile 271: / Zeile 272: @@
 \[\begin{align}
-\alpha_G &= \textrm{red}(\alpha_S + 12^h,\;24^h)\\
+\alpha_G &= \textrm{red}(\alpha_S + 12^h,\;24^h) \\
-\\
 \delta_G &= - \delta_S
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{27}\]
-$$$$
 und dann die Differenz daraus:
-$$\alpha_M - \alpha_G = \Delta\alpha = 0^{\circ}$$.
+$$\alpha_M - \alpha_G = \Delta\alpha = 0^{\circ}\tag{28}$$
 Für Mondfinsternisse muss diese Differenz zu einem gesuchten Zeitpunkt $T$ Null sein. Als Startzeit kann man $T_0 = T_M - 0.5^h$ und $T_1 = T_M + 0.5^h$ nehmen. Die Suche nach der gewünschten Zeit $T$ wird wieder mit dem [[:iteration#pegasus_verfahren|Pegasus Verfahren]] gelöst:
-$$T_2 = T_1 - \frac{T_1 - T_0} {\Delta \alpha (T_1) - \Delta \alpha(T_0)} \cdot \Delta \alpha(T_1)$$
+$$T_2 = T_1 - \frac{T_1 - T_0} {\Delta\alpha (T_1) - \Delta\alpha(T_0)} \cdot \Delta\alpha(T_1)\tag{29}$$
 Man startet mit diesem Zeitintervall [$T_0;\; T_1$] in dem ein Vorzeichenwechsel von $\Delta\alpha$ stattfindet. Das Pegasus Verfahren ist nur ein Austauschverfahren.
-$$\Delta \alpha(T_2) \cdot \Delta \alpha(T_1) \leq 0$$
+$$\Delta \alpha(T_2) \cdot \Delta \alpha(T_1) \leq 0\tag{30}$$
 ersetze $t_0$ und $\Delta \alpha(T_0)$ durch $t_1$ und $\Delta \alpha(T_1)$
-$$\Delta \alpha(T_2) \cdot \Delta \alpha(T_1) \gt 0$$
+$$\Delta \alpha(T_2) \cdot \Delta \alpha(T_1) \gt 0\tag{31}$$
 ersetze $t_0$ und $\Delta \alpha(T_0)$ durch $t_1$ und $\frac{\Delta \alpha(T_0)\cdot \Delta \alpha(T_1)}{\Delta \alpha(T_1) + \Delta \alpha(T_2)}$
@@ Zeile 299: / Zeile 298: @@
 Der Zeitpunkt der Finsternismitte ist dann:
-$$t = T_M - \frac{\delta_S + \delta_M}{\Delta\delta_S + \Delta\delta_M}$$
+$$t = T_M - \frac{\delta_S + \delta_M}{\Delta\delta_S + \Delta\delta_M}\tag{32}$$
 Mit der lokalen Neigung der Mondbahn $i$ gegen die Ekliptik am Mondort ([[:der_richtige_quadrant|quadrantenkorrekte Darstellung]] beachten)
-$$i = \textrm{arctan2}\left(-\frac{\Delta \delta_S + \Delta \delta_M}{15^h\cdot \cos(\delta_S)\cdot (\Delta \alpha_M - \Delta \alpha_S)}\right)$$
+$$i = \textrm{arctan2}\left(-\frac{\Delta \delta_S + \Delta \delta_M}{15^h\cdot \cos(\delta_S)\cdot (\Delta \alpha_M - \Delta \alpha_S)}\right)\tag{33}$$
 und dem kleinsten Abstand $\rho$ des Mondes von dem Kernschattenzentrum zur Finsternismitte
-$$\rho = (\delta_S + \delta_M)\cdot\cos(i)$$
+$$\rho = (\delta_S + \delta_M)\cdot\cos(i)\tag{34}$$
 kann man die Finsternisdauer nun berechnen. Der Beginn ($-$) und das Ende ($+$) der Halbschattenfinsternis $t_D$ ist (mit $t_G$ als der Gesamtdauer):
 \[\begin{align}
-t_{D\mp} &= t \mp \frac{\sqrt{D_M^2 - \rho^2}}{\Delta \delta_S + \Delta \delta_M}\cdot \sin(i)\\
+t_{D\mp} &= t \mp \frac{\sqrt{D_M^2 - \rho^2}}{\Delta \delta_S + \Delta \delta_M}\cdot \sin(i) \\
-\\
 \tau &= t_{D+} - t_{D-}
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{35}\]
 Der Beginn ($-$), das Ende ($+$) und die Gesamtdauer $\tau$ der Totalität erhält man mit dem Austausch von $D_M$ gegen $d_M^-$. Tauscht man ebenso $D_M$ gegen $d_M^+$, so erhält man die Gesamtdauer $\tau$ für die partielle Phase.
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 ==== Meeus ====
-Meeus geht da einen alternativen und einfacheren Weg. Mit den Hilfswerten $P$ und $Q$ wird der Abstand $\gamma$ der Schattenachse vom Erdmittelpunkt ermittelt. Die Einheit ist in Erdäquatorradien und $E$ ist die normierte num. Exzentrizität der Erdbahn:
+[[:literaturhinweise#books_meeus|Meeus]] geht da einen alternativen und einfacheren Weg. Mit den Hilfswerten $P$ und $Q$ wird der Abstand $\gamma$ der Schattenachse vom Erdmittelpunkt ermittelt. Die Einheit ist in Erdäquatorradien und $E$ ist die normierte num. Exzentrizität der Erdbahn:
 \[\begin{align}
-P =&+ 0.2070 \cdot E \sin(M)\\
+P =&+ 0.2070 \cdot E \cdot  \sin(M)\\
-&+ 0.0097 \cdot E \sin(2 \cdot M)\\
+&+ 0.0097 \cdot E \cdot  \sin(2 \cdot M)\\
-&- 0.0392 \cdot E \sin(m)\\
+&- 0.0392 \cdot E \cdot  \sin(m)\\
-&+ 0.0116 \cdot E \sin(2 \cdot m)\\
+&+ 0.0116 \cdot E \cdot  \sin(2 \cdot m)\\
 &- 0.0073 \cdot \sin(m + M)\\
-&+ 0.0067 \cdot E \sin(m - M)\\
+&+ 0.0067 \cdot E \cdot  \sin(m - M)\\
 &+ 0.0118 \cdot \sin(2 \cdot F') \\\\
-Q = &+ 5.2207 - 0.0048 \cdot E \cos(M)\\
+Q = &+ 5.2207 - 0.0048 \cdot E \cdot  \cos(M)\\
-&+ 0.0020 \cdot E \cos(2 \cdot M)\\
+&+ 0.0020 \cdot E \cdot  \cos(2 \cdot M)\\
-&- 0.3299 \cdot E \cos(m)\\
+&- 0.3299 \cdot E \cdot  \cos(m)\\
-&- 0.0060 \cdot E \cos(m + M)\\
+&- 0.0060 \cdot E \cdot  \cos(m + M)\\
-&+ 0.0041 \cdot E \cos(m - M)
+&+ 0.0041 \cdot E \cdot  \cos(m - M)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{36}\]
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="550px"&float=center}}
+$$\gamma = \big[P \cdot \cos(F') + Q \cdot \sin(F')\big]\cdot (1 - 0.0048 \cdot \lvert\cos(F')\rvert)\tag{37}$$
-| $$\gamma = \big[P \cdot \cos(F') + Q \cdot \sin(F')\big]\cdot (1 - 0.0048 \cdot \lvert\cos(F')\rvert)$$  |
 $\gamma$ ist positiv für eine nördliche Passage vom Erd- bzw. Mondmittelpunkt, negativ für eine südliche Passage. $u$ ist der Radius des Kernschattenkegels des Mondes auf der Erde (in Erdäquatorradien) und wird jetzt zur Berechnung des Erdkernschattens auf dem Mond herangezogen:
 \[\begin{align}
-u =& + 0.0059\\
+u =& + 0.0059 \\
-& - 0.0182 \cdot \cos(m)\\
+& - 0.0182 \cdot \cos(m) \\
-& + 0.0048 \cdot  E \cdot \cos(M)\\
+& + 0.0048 \cdot  E \cdot \cos(M) \\
-& + 0.0004 \cdot \cos(2 \cdot m)\\
+& + 0.0004 \cdot \cos(2 \cdot m) \\
 & - 0.0005 \cdot \cos(M + m)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{38}\]
 === Sonnenfinsternis ===
@@ Zeile 355: / Zeile 352: @@
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="450px,270px"&float=center}}
-^  Tabelle 5                                                                            ||
+^  Tabelle 8  ||
 | Halbschatten:                                     | $D_S = 0.5461 + u$                  |
 | Kernschatten:                                     | $d_S = u$                           |
@@ Zeile 367: / Zeile 364: @@
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="480px,150px"&float=center}}
-^  Tabelle 6                                                              ||
+^  Tabelle 9  ||
 | totale Sonnenfinsternis:                              | $u < 0$           |
 | ringförmige Sonnenfinsternis:                         | $u > 0.0047$      |
 | ringförmig-totale oder ringförmige Sonnenfinsternis:  | $0 < u < 0.0047$  |
-$$\omega = 0.00464\cdot \sqrt{1 - \gamma^2} \gt 0$$
+Mit
+$$\omega = 0.00464\cdot \sqrt{1 - \gamma^2} \gt 0\tag{39}$$
 stellt man fest, ob eine zentrale Sonnenfinsternis ringförmig-total ($u \lt \omega$) oder nur ringförmig ($u\geq \omega$) ist. Man sollte den Wert |$\gamma$| auf $1.0$ oder $1.005$ vergrößern, um alle möglichen totalen Finsternisse zu erfassen.
@@ Zeile 380: / Zeile 378: @@
 Die Radien (in Erdäquatorradien) der Halb- und Kernschattenkegel der Erde haben im Mondabstand folgende Größen ([[:literaturhinweise#books_roth|Handbuch für Sternfreunde]]):
-$$\text{Halbschatten: } D_M = 1.2848 + u$$
+$$\text{Halbschatten: } D_M = 1.2848 + u\tag{40}$$
-$$\text{Kernschatten: } d_M = 0.7403 - u$$
+$$\text{Kernschatten: } d_M = 0.7403 - u\tag{41}$$
 Die halbe Dauer der partiellen Phase $P$, der totalen Phase $T$ und der Halbschattenphase $H$ der Kernschattenfinsternis berechnet man folgenderweise:
@@ Zeile 390: / Zeile 388: @@
 T &= 0.4678 - u\\
 n &= 0\overset{\circ}{.}5458 + 0\overset{\circ}{.}04\cdot \cos(m)
-\end{align}\]
+\end{align}\tag{42}\]
 Dann ist die halbe Dauer $\frac{\tau}{2}$ in Minuten:
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-^  Tabelle 7                                                                   ||
+^  Tabelle 10  ||
 | Halbschatten:  | $\frac{\tau_h}{2} = \frac{60}{n}\cdot \sqrt{H^2 - \gamma^2}$  |
 | partiell:      | $\frac{\tau_p}{2} = \frac{60}{n}\cdot \sqrt{P^2 - \gamma^2}$  |
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 ===== Besselsche Elemente =====
-Zur Berechnung der lokalen Umstände einer Sonnenfinsternis benötigt man die Koordinaten der Sonne $\vec{r}_S$ und des Mondes $\vec{r}_M$
+Zur Berechnung der lokalen Umstände einer Sonnenfinsternis benötigt man die Koordinaten der Sonne $\vec{r}_S$ und des Mondes $\vec{r}_M$ in Bezug auf die Fundamentalebene (kurz: die geozentrisch-äquatorialen Koordinaten der Schattenachse, auch Besselsche Elemente genannt, [[:literaturhinweise#books_seidelmann|Explanatory Supplement]]). Es gilt:
-in Bezug auf die Fundamentalebene (kurz: die geozentrisch-äquatorialen Koordinaten der Schattenachse, auch Besselsche
-Elemente genannt, [[:literaturhinweise#books_seidelmann|Explanatory Supplement]]). Es gilt:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="680px"&float=center}}
-| \[\begin{align} g \cdot \cos(d) \cdot \cos(a) = & x = \cos(\delta_S) \cdot \cos(\alpha_S) - \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)} \cdot \cos(\delta_M) \cdot  \cos(\alpha_M) \\ g \cdot \cos(d) \cdot \sin(a) = & y = \cos(\delta_S) \cdot \sin(\alpha_S) - \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)} \cdot \cos(\delta_M) \cdot \sin(\alpha_M) \\ g \cdot \sin(d) = & z = \sin(\delta_S) - \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)} \cdot \sin(\delta_M) \end{align}\]  |
-mit dem geozentrischen Sonnenabstand $\Delta_S = R = 1$ und $$\frac{\Delta_M}{\Delta_S} = \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)}$$
+\[\begin{align}
+g \cdot \cos(d) \cdot \cos(a) = & x = \cos(\delta_S) \cdot \cos(\alpha_S) - \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)} \cdot \cos(\delta_M) \cdot  \cos(\alpha_M) \\
+g \cdot \cos(d) \cdot \sin(a) = & y = \cos(\delta_S) \cdot \sin(\alpha_S) - \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)} \cdot \cos(\delta_M) \cdot \sin(\alpha_M) \\
+g \cdot \sin(d) = & z = \sin(\delta_S) - \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)} \cdot \sin(\delta_M)
+\end{align}\tag{43}\]
+mit dem geozentrischen Sonnenabstand $\Delta_S = R = 1$ und
+$$\frac{\Delta_M}{\Delta_S} = \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)}\tag{44}$$
 und $\pi_S$, $\pi_M$ als die Sonnen- und Mondparallaxen
-$$\sin(\pi_S) = \frac{R_E}{\Delta_S} \quad \textsf{und} \quad \sin(\pi_M) = \frac{R_E}{\Delta_M}$$
+$$\sin(\pi_S) = \frac{R_E}{\Delta_S} \quad \textsf{und} \quad \sin(\pi_M) = \frac{R_E}{\Delta_M}\tag{45}$$
-wieder mit dem modifizierten Mondabstand $\Delta_M$. \\
+wieder mit dem modifizierten Mondabstand $\Delta_M$. $g$ hat die Einheit 1 AE und diesen Wert erhält man mit
-$g$ hat die Einheit 1 AE und diesen Wert erhält man mit
+$$g = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.\tag{46}$$
-$$g = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$$
 Damit gilt für die halben Öffnungswinkel der Schattenkegel $f_1$ und $f_2$:
-$$\text{Halbschattenkegel: }\sin(f_1) = \frac{R_S + R_M}{g \ R_S}$$
+$$\text{Halbschattenkegel: }\sin(f_1) = \frac{R_S + R_M}{g \ R_S}\tag{47}$$
-$$\text{Kernschattenkegel: } \sin(f_2) = \frac{R_S - R_M}{g \ R_S}$$
+$$\text{Kernschattenkegel: } \sin(f_2) = \frac{R_S - R_M}{g \ R_S}\tag{48}$$
 <imgcaption image6|Halbschatten- und Kernschattenkegel in einer SoFi>{{ :sofi_winkel_f1_f2.png |}}</imgcaption>
 Die Radien der Schattenkegel auf der Fundamentalebene sind $L_1$ für den Halbschattenkegel und $L_2$ für den Kernschattenkegel beim Beobachter sind nun einfach zu ermitteln:
-$$L_1 = \frac{R_M}{R_E} + (z - R_E \cos(\beta_0)) \ \tan(f_1)$$
+$$L_1 = \frac{R_M}{R_E} + (z - R_E \cos(\beta_0)) \ \tan(f_1)\tag{49}$$
-$$L_2 = \frac{R_M}{R_E} - (z + R_E \cos(\beta_0)) \ \tan(f_2)$$
+$$L_2 = \frac{R_M}{R_E} - (z + R_E \cos(\beta_0)) \ \tan(f_2)\tag{50}$$
 Die $z$-Komponente der auf die Fundamentalebene bezogenen Mondkoordinaten $\vec{r}_M$ lautet:
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="500px"&float=center}}
+\(\begin{align}
-| \(\begin{align}
+z &= g \cdot \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)} \cdot \big[\cos(\delta_M) \cdot \cos(\alpha_M) \cdot \cos(d) \cdot \cos(a) \\
-z &= g \cdot \frac{\sin(\pi_S)}{\sin(\pi_M)} \cdot \big[\cos(\delta_M) \cdot \cos(\alpha_M) \cdot \cos(d) \cdot \cos(a)\\
+&+ \cos(\delta_M) \cdot \sin(\alpha_M) \cdot \cos(d) \cdot \sin(a) \\
-&+ \cos(\delta_M) \cdot \sin(\alpha_M) \cdot \cos(d) \cdot \sin(a)\\
 &+ \sin(\delta_M) \cdot \sin(d)\big]
-\end{align}\) |
+\end{align}\tag{51}\)
 <imgcaption image1|Halbschatten und Kernschatten bei einer totalen SoFi>
@@ Zeile 460: / Zeile 459: @@
 Die Größe $G$ der Finsternis wird nun ermittelt. [[:literaturhinweise#books_meeus|Meeus]] schlägt folgende Gleichung vor:
-$$G = \frac{1,5433 + u - |\gamma|}{0,5461 + 2 \ u}$$
+$$G = \frac{1,5433 + u - |\gamma|}{0,5461 + 2 \ u}\tag{52}$$
 Bei einer partiellen Sonnenfinsternis wird die maximale Größe an dem Ort erreicht, der der Schattenachse am nächsten liegt. Eine erste
 Näherung der Sonnenfinsternisgröße ist ([[:literaturhinweise#books_roth|Handbuch für Sternfreunde]]):
-$$G = \frac{|\sigma| - \gamma + R_M}{2 \ R_M}$$
+$$G = \frac{|\sigma| - \gamma + R_M}{2 \ R_M}\tag{53}$$
 Die alternative Größe $G$ der Sonnenfinsternis ([[:literaturhinweise#books_mont1|Montenbruck & Pfleger]]) ergibt sich mit den Schattenkegelradien $L_1$ und $L_2$ aus dem vorigen Abschnitt zu:
-$$\text{totale Phase: } G = \frac{L_1 - L_2}{L_1 + L_2}$$
+$$\text{totale Phase: } G = \frac{L_1 - L_2}{L_1 + L_2}\tag{54}$$
-$$\text{partielle Phase: } G = \frac{L_1 - \gamma}{L_1 + L_2}$$
+$$\text{partielle Phase: } G = \frac{L_1 - \gamma}{L_1 + L_2}\tag{55}$$
 ==== Mondfinsternis ====
 Die Mondfinsternisgröße $G$ ist laut [[:literaturhinweise#books_roth|Handbuch für Sternfreunde]]:
-$$G = \frac{\sigma - \rho + R_M}{2 \ R_M}$$
+$$G = \frac{\sigma - \rho + R_M}{2 \ R_M}\tag{56}$$
 [[:literaturhinweise#books_meeus|Meeus]] bietet folgende Gleichungen an:
-$$\text{Halbschattenfinsternis: } G = \frac{1,5573 + u - |\gamma|}{0,5450}$$
+$$\text{Halbschattenfinsternis:}\qquad G = \frac{1,5573 + u - |\gamma|}{0,5450}\tag{57}$$
-$$\text{Kernschattenfinsternis: } G = \frac{1,0128 - u - |\gamma|}{0,5450}$$
+$$\text{Kernschattenfinsternis:}\qquad G = \frac{1,0128 - u - |\gamma|}{0,5450}\tag{58}$$
 ===== Positionswinkel =====
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 Um den Positionswinkel der Ein- und Austrittsrichtung des Mondes vor der Sonnenscheibe (Sonnenfinsternis) oder in und aus dem Erdschatten (Mondfinsternis) zu bestimmen, müssen die Mondkoordinaten $\alpha_M$, $\delta_M$ ins Fundamentalsystem transformiert werden ([[:literaturhinweise#books_mont1|Montenbruck & Pfleger]], [[:literaturhinweise#books_seidelmann|Explanatory Supplement]]):
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="750px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
 \cos(d_M) \cdot \cos(a_M) = &\; x_M = + \cos(\delta_M) \cdot \sin(\alpha_M - a) \\
 \cos(d_M) \cdot \sin(a_M) = &\; y_M = - \cos(\delta_M) \cdot \cos(\alpha_M - a) \cdot \sin(d) + \sin(\delta_M) \cdot \cos(d) \\
-\sin(d_M)           = &\; z_M = + \cos(\delta_M) \cdot \cos(\alpha_M - a) \cdot \cos(d) + \sin(\delta_M) \cdot \sin(d)
+\sin(d_M) = &\; z_M = + \cos(\delta_M) \cdot \cos(\alpha_M - a) \cdot \cos(d) + \sin(\delta_M) \cdot \sin(d)
-\end{align}\] |
+\end{align}\tag{59}\]
-Ebenso muss die geografische Position $\lambda_0$, $\beta_0'$, samt Zählrichtung des Beobachters $\vec{e}_G$($\lambda_0$, $\beta_0'$)
+Ebenso muss die geografische Position $\lambda_0$, $\beta_0'$, samt Zählrichtung des Beobachters $\vec{e}_G$($\lambda_0$, $\beta_0'$) berücksichtigt und ins Fundamentalsystem transformiert werden
-berücksichtigt und ins Fundamentalsystem transformiert werden
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="700px"&float=center}}
+\[\begin{align}
-| \[\begin{align}
 \cos(d_G) \cdot \cos(a_G) = &\; \xi = + \cos(\beta_0') \cdot \sin(\tau_0) \\
 \cos(d_G) \cdot \sin(a_G) = &\; \eta = - \cos(\beta_0') \cdot \cos(\tau_0) \cdot \sin(d) + \sin(\beta_0') \cdot \cos(d) \\
-\sin(d_G)           = &\; \zeta = + \cos(\beta_0') \cdot \cos(\tau_0) \cos(d) + \sin(\beta_0') \cdot \sin(d)
+\sin(d_G) = &\; \zeta = + \cos(\beta_0') \cdot \cos(\tau_0) \cos(d) + \sin(\beta_0') \cdot \sin(d)
-\end{align})\] |
+\end{align})\tag{60}\]
 mit $\theta$ als der Sternzeit und $\tau_0$ = $\theta - \alpha\pm\lambda_0$ dem Stundenwinkel. $\pm$ gibt die alte/neue Zählrichtung der geografischen Länge an. Die Positionswinkel, die die Ein- und Austrittsrichtung des Mondes an der Sonnenscheibe für die partielle Phase ($L = L_1$) und die totale Phase ($L = L_2$) angibt, haben die Form:
@@ Zeile 508: / Zeile 504: @@
 \cos(P) & = \frac{1}{L}\cdot (y_M - \eta) \\
 \sin(P) & = \frac{1}{L}\cdot (x_M - \xi)
-\end{align}$$
+\end{align}\tag{61}$$
 Die Zählrichtung ist von Norden nach Osten im Uhrzeigersinn. Muss der Beobachtungsort wie bei einer Mondfinsternis nicht berücksichtigt
@@ Zeile 515: / Zeile 511: @@
 \cos(P) &= y_M \\
 \sin(P) &= x_M
-\end{align}$$
+\end{align}\tag{62}$$
 Die Koordinaten des solaren Gegenpunkts ($a, d$) sind $a = \textrm{red}\big(\alpha_S + 12^h, 24^h\big)$ und $d = -\delta_S$ mit der [[:mathematische_grundlagen#reduktions-_und_rundungsfunktion|Reduktionsfunktion]].