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--- einfache_bahnbestimmung_von_planetoiden [2024/12/23 18:07] – [Beispiel (gekürzte Fassung)] quern
+++ einfache_bahnbestimmung_von_planetoiden [2025/07/15 14:23] (aktuell) – hcgreier
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 \end{aligned}\tag{3}\]
-k ist die Gaußsche [[:wichtige_konstanten#naturkonstanten|Gravitationskonstante]]. Die topozentrischen Koordinaten werden ebenfalls zu [[:mathematische_grundlagen#karthesisch_sphaerisch|karthesischen Koordinaten]] $a_i$, $b_i$ und $c_i$ transformiert.
+k ist die Gaußsche [[:wichtige_konstanten#naturkonstanten|Gravitationskonstante]]. Die topozentrischen Koordinaten werden ebenfalls zu [[:mathematische_grundlagen#kartesisch_sphaerisch|kartesischen Koordinaten]] $a_i$, $b_i$ und $c_i$ transformiert.
 \[\vec{d}_i = \left(\begin{aligned}
 & a_i \\ & b_i \\ & c_i
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 <WRAP center round info 100%>
-Es ist in diesem Artikel zwischen einem Skalarprodukt $\vec{a}\cdot\vec{b}$ und einer Multiplikation a $\cdot$ b zu unterscheiden.
+Es ist in diesem Artikel zwischen einem Skalarprodukt $\vec{a}\cdot\vec{b}$ und einer Multiplikation $a\cdot b$ zu unterscheiden.
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 Der Abstand der Sonne $R_i$ lautet:
-$$R_1 = 1.004340728\qquad R_2 = 1.008578019\qquad R_3 = 1.014182174$$.
+$$R_1 = 1.004340728\qquad R_2 = 1.008578019\qquad R_3 = 1.014182174$$
-Es folgen die karthesischen Koordinaten $a_i$, $b_i$ und $c_i$:
+Es folgen die kartesischen Koordinaten $a_i$, $b_i$ und $c_i$:
 \[\begin{array}{lll}
-a_1 =-0.677058216 & a_2 = -0.710956429 & a_3 = -0.763896999 \\
+a_1 = -0.677058216 & a_2 = -0.710956429 & a_3 = -0.763896999 \\
-b_1 =-0.734389345 & b_2 = -0.699606838 & b_3 = -0.640254276 \\
+b_1 = -0.734389345 & b_2 = -0.699606838 & b_3 = -0.640254276 \\
-c_1 =+0.047586366 & c_2 = +0.071352848 & c_3 = +0.080844530
+c_1 = +0.047586366 & c_2 = +0.071352848 & c_3 = +0.080844530
 \end{array}\]
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 $$w_1 = 0.635761636\qquad w_3=0.364238366$$
-Nun startet die Iteration mit 6 Durchläufen. Zu berechnen zu jedem Zeitpunkt i sind: $\Delta_i$, $r_i$, H$^{\dagger}$, $\kappa_i$, $h_i$ und $\Psi_i$. Bei der ersten und zweiten Iteration muß die oben erwähnte Aberrationkorrektur mit berücksichtigt werden:
+Nun startet die Iteration mit 6 Durchläufen. Zu berechnen zu jedem Zeitpunkt i sind: $\Delta_i$, $r_i$, H$^{\dagger}$, $\kappa_i$, $h_i$ und $\Psi_i$. Bei der ersten und zweiten Iteration muss die oben erwähnte Aberrationkorrektur mit berücksichtigt werden:
 . Iteration:
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 \tau_1' = 0.481505901 & \tau_3' = 0.275871645 \\
 w_1 = 0.637201576 & w_2 = 0.365447051
+\end{array}\]
+. Iteration:
+\[\begin{array}{ll}
+w_1 = 0.637211746 & w_2 = 0.365455539
 \end{array}\]
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 \end{array}\]
-mit $r_1$ = 2.909306663 und $r_3$ = 2.939183920.
+mit $r_1$ = 2.909306663 und $r_3$ = 2.939183920. Die für die Bahnlageelemente wichtigen Gaußvektoren sind:
+\[\begin{array}{lll}
+P_1 = -0.987882080 & Q_1 = -0.060403098 & S_1 = +0.142970125 \\
+P_2 = +0.028205763 & Q_2 = -0.975691908 & S_2 = +0.217324040 \\
+P_3 = +0.152621839 & Q_3 = -0.210657944 & S_3 = +0.965572267
+\end{array}\]
-Jetzt werden die Bahnelemente bestimmt:
+Jetzt werden nacheinander und in dieser Reihenfolge die Bahnelemente bestimmt:
+\[\begin{aligned}
+\nu_1 &= 43\overset{\circ}{.}10438568 \\
+\nu_3 &= 52\overset{\circ}{.}05552009 \\
+\epsilon &= 0.094304556 \\
+a &= 3.137523365 AE \\
+M_1 &= 36\overset{\circ}{.}08955082 \\
+M_3 &= 43\overset{\circ}{.}89781710 \\
+n &= 0\overset{\circ}{.}177346911 \\
+T &= -184\overset{d}{.}5840094 \\
+T &= 27.09.1977\text{ um } 9^h 59^m 2\overset{s}{.}4 \\
+i &= 13\overset{\circ}{.}51204632 \\
+\Omega &= 142\overset{\circ}{.}2730440 \\
+\omega &= 33\overset{\circ}{.}45249370
+\end{aligned}\]
+Ein Vergleich mit den (damals) Leningrader Ephemeriden der Kleinplaneten liefert:
+\[\begin{aligned}
+a &= 3.1388031 AE \\
+\epsilon &= 0.0949682 \\
+n &= 0\overset{\circ}{.}17723846 \\
+T &= 27.09.1977\text{ um } 13^h 29^m 16\overset{s}{.}8 \\
+i &= 13\overset{\circ}{.}51219 \\
+\Omega &= 142\overset{\circ}{.}27930 \\
+\omega &= 33\overset{\circ}{.}42716
+\end{aligned}\]
+Die Berechnung der Bahnelemente und damit die Bahnbestimmung ist nun abgeschlossen. In der Regel muss die Bahnberechnung dann wiederholt werden, wenn mehr beobachtete Positionen mit i = 4, 5, 6, etc.. vorliegen.
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