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--- einfache_bahnbestimmung_von_kometen [2024/12/23 17:47] – [Literatur] quern
+++ einfache_bahnbestimmung_von_kometen [2026/02/24 22:44] (aktuell) – [Die Bestimmung der Bahnelemente] quern
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 ====== Einfache Bahnbestimmung von Kometen ======
-Der nachfolgende Text ist eine Abschrift eines Papers von Dieter Ewald "//Eine erste Bahnbestimmung von Kometen//" aus dem Jahr 1993.
+Der nachfolgende Text ist eine Abschrift eines Papers von Dieter Ewald "//Eine erste Bahnbestimmung von Kometen//" aus dem Jahr 1993, die er uns mit der Bitte um Veröffentlichung zusandte, was wir von der Ephempedia gerne hiermit umsetzen. Der Beitrag findet sich sowohl in der Rubrik Bahnbestimmung als auch in der Rubrik der weiterführenden Artikel.
 ===== Vorwort =====
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-¹ Der Kern der Olberschen Methode besteht in der Bestimmung des Verhältnisses $\Phi_3$ zu $\Phi_1$ und der Anwendung der Lambertschen Formel. Für das Verhältnis der kurtierten Distanzen $\Phi_3$ und $\Phi_1$ wird die Annahme gemacht, dass man für die Verhältnisse der Flächen $n_1$ zu $n_3$ bzw. $N_3$ zu $N_1$ die Zwischenzeiten setzen kann, d.h., dass die Sehnen der Parabelbahn und der Erdbahn zwischen den äußeren Beobachtungen von den mittleren Radiusvektoren im Verhältnis der Zeiten geschnitten werden. Für Kometenbahnen haben bereits Euler und Lambert diese Voraussetzung gemacht – Olbers dehnte dieses auch auf die Erdbahn aus und fand damit ein recht praktikables Verfahren zur Bahnbestimmung von Parabelbahnen. Diese Fußnote wird durch die nachfolgenden Beschreibungen deutlich.
+¹ Der Kern der Olberschen Methode besteht in der Bestimmung des Verhältnisses $\Delta_3$ zu $\Delta_1$ und der Anwendung der Lambertschen Formel. Für das Verhältnis der kurtierten Distanzen $\Delta_3$ und $\Delta_1$ wird die Annahme gemacht, dass man für die Verhältnisse der Flächen $n_1$ zu $n_3$ bzw. $N_3$ zu $N_1$ die Zwischenzeiten setzen kann, d.h., dass die Sehnen der Parabelbahn und der Erdbahn zwischen den äußeren Beobachtungen von den mittleren Radiusvektoren im Verhältnis der Zeiten geschnitten werden. Für Kometenbahnen haben bereits Euler und Lambert diese Voraussetzung gemacht – Olbers dehnte dieses auch auf die Erdbahn aus und fand damit ein recht praktikables Verfahren zur Bahnbestimmung von Parabelbahnen. Diese Fußnote wird durch die nachfolgenden Beschreibungen deutlich.
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 ===== Parabelbahnen =====
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   * die Beobachtungszeitpunkte $t_i,\quad i = 1, 2, 3$
   * die ekliptikalen geozentrischen Längen $\lambda_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Grad
-  * die ekliptikalen geozentrischen Längen $\beta_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Grad
+  * die ekliptikalen geozentrischen Breiten $\beta_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Grad
   * die heliozentrischen Längen der Erde $L_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Grad
   * die Entfernungen der Erde zur Sonne $R_i,\quad i = 1, 2, 3$ in Astronomischen Einheiten (AE)
-Aus den Beobachtungszeitpunkten werden die Differenzen
+Aus den Beobachtungszeitpunkten werden die Differenzen (Zwischenzeiten)
 \[\begin{aligned}
 \tau_1 &= k\cdot (t_3 - t_2) \\
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 \end{align}\tag{8}\]
-Unter der Annahme eines geschätzten Wertes der Distanz $\Phi_1$ (Anfangswert im Bereich von $0.5 - 1.5 AE$) wird der tatsächliche Radiusvektor $r_1$ der ersten Beobachtung, der tatsächliche Radiusvektor $r_3$ der dritten Beobachtung und die zwischen $r_1$ und $r_3$ liegende Sehne $s$ mit
+Unter der Annahme eines geschätzten Wertes der Distanz $\Delta_1$ (Anfangswert im Bereich von $0.5 - 1.5 AE$) wird der tatsächliche Radiusvektor $r_1$ der ersten Beobachtung, der tatsächliche Radiusvektor $r_3$ der dritten Beobachtung und die zwischen $r_1$ und $r_3$ liegende Sehne $s$ mit
 \[\begin{align}
-r_{1}^2 &= R_{1}^2 + 2\cdot R_1\cdot\cos(\lambda_1 - L_1)\cdot\Phi_1 + \frac{\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_1)} \\
+r_{1}^2 &= R_{1}^2 + 2\cdot R_1\cdot\cos(\lambda_1 - L_1)\cdot\Delta_1 + \frac{\Delta_{1}^2}{\cos^2(\beta_1)} \\
-r_{3}^2 &= R_{3}^2 + 2\cdot R_3\cdot\cos(\lambda_3 - L_3)\cdot\Phi_1\cdot M + \frac{M^2\cdot\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_3)} \\
+r_{3}^2 &= R_{3}^2 + 2\cdot R_3\cdot\cos(\lambda_3 - L_3)\cdot\Delta_1\cdot M + \frac{M^2\cdot\Delta_{1}^2}{\cos^2(\beta_3)} \\
 s^2 &= r_{1}^2 + r_{3}^2 - 2\cdot R_1\cdot R_3\cdot\cos(L_3 - L_1) \\
-&- 2\cdot\Phi_1\cdot\big[R_1\cdot M\cdot\cos(\lambda_3 - L_1) + R_3\cdot\cos(\lambda_1 - L_3)\big] \\
+&- 2\cdot\Delta_1\cdot\big[R_1\cdot M\cdot\cos(\lambda_3 - L_1) + R_3\cdot\cos(\lambda_1 - L_3)\big] \\
-&- 2\cdot M\cdot\Phi_{1}^2\cdot\big[\cos(\lambda_3 - \lambda_1) + \tan(\beta_1)\cdot\tan(\beta_3)\big] \\
+&- 2\cdot M\cdot\Delta_{1}^2\cdot\big[\cos(\lambda_3 - \lambda_1) + \tan(\beta_1)\cdot\tan(\beta_3)\big] \\
 \end{align}\tag{9}\]
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 $$6\cdot k\cdot\tau_2 = \sqrt{(r_1 + r_3 + s)^3} - \sqrt{(r_1 + r_3 - s)^3}\tag{10}$$
-eingesetzt, um deren die Richtigkeit zu prüfen. Ist die Gleichung nicht erfüllt, wird mit einem neuen Wert von $\Phi_1$ gerechnet. Es wird so lange iteriert bis die Gleichung erfüllt ist. Sind die Gleichungen in Glg. 9 mit zwei verschiedenen Werten von $\Phi_1$ durchgerechnet, kann man mittels der [[:iteration#regula_falsi|Regula falsi]] einen neuen Wert berechnen. Ist die Abweichung nur noch $0.001$, kann abgebrochen werden.
+eingesetzt, um deren die Richtigkeit zu prüfen. Ist die Gleichung nicht erfüllt, wird mit einem neuen Wert von $\Delta_1$ gerechnet. Es wird so lange iteriert bis die Gleichung erfüllt ist. Sind die Gleichungen in Glg. 9 mit zwei verschiedenen Werten von $\Delta_1$ durchgerechnet, kann man mittels der [[:iteration#regula_falsi|Regula falsi]] einen neuen Wert berechnen. Ist die Abweichung nur noch $0.001$, kann abgebrochen werden.
 ===== Die Bestimmung der Bahnelemente =====
-Ist die Iteration nach der Lambertschen Gleichung abgeschlossen, erfolgt die Berechnung der Bahnelemente. Mit $\Phi_1$ und $M$ ergibt sich $\Phi_3 = \Phi_1\cdot M$. Die Breiten $b_1$ und $b_3$ in der Bahn betragen
+Ist die Iteration nach der Lambertschen Gleichung abgeschlossen, erfolgt die Berechnung der Bahnelemente. Mit $\Delta_1$ und $M$ ergibt sich $\Delta_3 = \Delta_1\cdot M$. Die Breiten $b_1$ und $b_3$ in der Bahn betragen
 \[\begin{align}
-b_1 &= \arcsin\left(\frac{\Phi_1\cdot\tan(\beta_1)}{r_1}\right)\\
+b_1 &= \arcsin\left(\frac{\Delta_1\cdot\tan(\beta_1)}{r_1}\right)\\[2ex]
-b_3 &= \arcsin\left(\frac{\Phi_3\cdot\tan(\beta_3)}{r_3}\right)
+b_3 &= \arcsin\left(\frac{\Delta_3\cdot\tan(\beta_3)}{r_3}\right)
 \end{align}\tag{11}\]
 Die Längen $l_1$ und $l_3$ in der Bahn betragen
 \[\begin{align}
-l_1 &= 2\cdot\arctan\left(\frac{r_1\cdot\cos(b_1) - \Phi_1\cdot\cos(\lambda_1) - R_1\cdot\cos(L_1)}{\Phi_1\cdot\sin(\lambda_1) + R_1\cdot\sin(L_1)}\right) \\
+l_1 &= 2\cdot\arctan\left(\frac{r_1\cdot\cos(b_1) - \Delta_1\cdot\cos(\lambda_1) - R_1\cdot\cos(L_1)}{\Delta_1\cdot\sin(\lambda_1) + R_1\cdot\sin(L_1)}\right) \\[2ex]
-l_3 &= 2\cdot\arctan\left(\frac{r_3\cdot\cos(b_3) - \Phi_3\cdot\cos(\lambda_3) - R_3\cdot\cos(L_3)}{\Phi_3\cdot\sin(\lambda_3) + R_3\cdot\sin(L_3)}\right)
+l_3 &= 2\cdot\arctan\left(\frac{r_3\cdot\cos(b_3) - \Delta_3\cdot\cos(\lambda_3) - R_3\cdot\cos(L_3)}{\Delta_3\cdot\sin(\lambda_3) + R_3\cdot\sin(L_3)}\right)
 \end{align}\tag{12}\]
 Die Hilfsgrößen $d$, $c$ und $a$ werden zu
 \[\begin{align}
 d &= \tan(b_1)\cdot\sin(l_3 - l_1) \\
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 \end{align}\tag{15}\]
-wobei für $i = 1,2$ für eine Bahnneigung $i$ von weniger als $90^{\circ}$ $l_1 - \Omega$ und $u$ im selben Quadranten und für eine Bahnneigung von mehr als $90^{\circ}$ $l_1 - \Omega$ und $360^{\circ} - u$ im selben Quadranten zu nehmen sind. Weiter wird die Hilfsgröße $f$ bestimmt zu
+wobei für die Indizes $i = 1,2$ für eine Bahnneigung $i$ von weniger als $90^{\circ}$ $l_1 - \Omega$ und $u$ im selben Quadranten und für eine Bahnneigung von mehr als $90^{\circ}$ $l_1 - \Omega$ und $360^{\circ} - u$ im selben Quadranten zu nehmen sind. Weiter wird die Hilfsgröße $f$ bestimmt zu
 \[\begin{align}
 f &= \frac{u_3 - u_1}{2} \\
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 |  3       |  $05\overset{\circ}{.}897$  |  $343\overset{\circ}{.}483$  |  $0.98409\;AE$  |  $120\overset{\circ}{.}328$  |
-Aus den obengenannten Werten ergibt sich ein Verhältnis der Distanzen $M = 0.928913$. Es wurde jeweils
+Aus den obengenannten Werten ergibt sich ein Verhältnis der Distanzen $M = 0.928913$. Es wurde jeweils mit einem $\Delta_1$ von $1.5\;AE$ und $0.8\; AE$ durchgerechnet und entsprechend überprüft. Die geringste Abweichung von $\lt 0.00001\;AE$ ergab sich bei einem Wert $\Delta_1 = 0.82212\;AE$. Mit diesem $\Delta_1$ ergeben sich folgende Rechenergebnisse:
-mit einem $\Phi_1$ von $1.5\;AE$ und $0.8\; AE$ durchgerechnet und entsprechend überprüft. Die geringste Abweichung von
-$\lt 0.00001\;AE$ ergab sich bei einem Wert $\Phi_1 = 0.82212\;AE$.	Mit diesem $\Phi_1$ ergeben sich folgende Rechenergebnisse:
 \(\begin{align}
-\Phi_3 &= 0.76368\;AE\\
+\Delta_3 &= 0.76368\;AE\\
 b_1 &= 21\overset{\circ}{.}233\\
 b_3 &= 6\overset{\circ}{.}669\\
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 |  3       |  $30\overset{\circ}{.}529$  |  $283\overset{\circ}{.}963$  |  $0.98657\;AE$  |  $65\overset{\circ}{.}107$  |
-Aus den obengenannten Werten ergibt sich ein Verhältnis der Distanzen $M = 1.122378$. Es wurde jeweils
+Aus den obengenannten Werten ergibt sich ein Verhältnis der Distanzen $M = 1.122378$. Es wurde jeweils mit einem $\Delta_1$ von $1.5\; SAE$ und $0.8\; AE$ durchgerechnet und entsprechend überprüft. Die geringste Abweichung von $\lt 0.00002\;AE$ ergab sich bei einem Wert $\Delta_1 = 0.77122\;AE$. Mit diesem $\Delta_1$ ergeben sich folgende Rechenergebnisse:
-mit einem $\Phi_1$ von $1.5\; SAE$ und $0.8\; AE$ durchgerechnet und entsprechend überprüft. Die geringste Abweichung von
-$\lt 0.00002\;AE$ ergab sich bei einem Wert $\Phi_1 = 0.77122\;AE$.	Mit diesem $\Phi_1$ ergeben sich folgende Rechenergebnisse:
 \(\begin{align}
-\Phi_3 &= 1.15117\;AE\\
+\Delta_3 &= 1.15117\;AE\\
 b_1 &= 57\overset{\circ}{.}063\\
 b_3 &= 43\overset{\circ}{.}008\\
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 l_3 &= 342\overset{\circ}{.}221
 \end{align}\)
 Da $l_3 \lt l_1$ ist, liegt die Bahnneigung $i$ zwischen $90^{\circ}$ und $180^{\circ}$. Für das Äquinoktium 1950.0 ergeben sich die in der **Tab.6** aufgelisteten Bahnelemente im Vergleich zu den von der IAU verbreiteten Bahnelementen. Man erkennt, dass diese Bahnbestimmung auch bei Ellipsenbahnen mit großer Exzentrizität gute Werte liefert.
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   * [6] Stumpff, K.: Himmelsmechanik Bd.1, Berlin 1973
+Zu den weiteren [[:literaturhinweise|Literaturhinweisen]].