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--- einfache_bahnbestimmung_von_kometen [2024/12/10 19:48] – [Berechnung einer Ephemeride für eine Parabelbahn] quern
+++ einfache_bahnbestimmung_von_kometen [2025/01/03 22:06] (aktuell) – [Literatur] quern
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-¹ Der Kern der Olberschen Methode besteht in der Bestimmung des Verhältnisses $\Phi_3$ zu $\Phi_1$ und der Anwendung der Lambertschen Formel. Für das Verhältnis der kurtierten Distanzen $\Phi_3$ und $\Phi_1$ wird die Annahme gemacht, dass man für die Verhältnisse der Flächen $n_1$ zu $n_3$ bzw. $N_3$ zu $N_1$ die Zwischenzeiten setzen kann, d.h., dass die Sehnen der Parabelbahn und der Erdbahn zwischen den äußeren Beobachtungen von den mittleren Radiusvektoren im Verhältnis der Zeiten geschnitten werden. Für Kometenbahnen haben bereits Euler und Lambert diese Voraussetzung gemacht – Olbers dehnte dieses auch auf die Erdbahn aus und fand damit ein recht praktikabeles Verfahren zur Bahnbestimmung von Parabelbahnen. Diese Fußnote wird durch die nachfolgenden Beschreibungen deutlich.
+¹ Der Kern der Olberschen Methode besteht in der Bestimmung des Verhältnisses $\Phi_3$ zu $\Phi_1$ und der Anwendung der Lambertschen Formel. Für das Verhältnis der kurtierten Distanzen $\Phi_3$ und $\Phi_1$ wird die Annahme gemacht, dass man für die Verhältnisse der Flächen $n_1$ zu $n_3$ bzw. $N_3$ zu $N_1$ die Zwischenzeiten setzen kann, d.h., dass die Sehnen der Parabelbahn und der Erdbahn zwischen den äußeren Beobachtungen von den mittleren Radiusvektoren im Verhältnis der Zeiten geschnitten werden. Für Kometenbahnen haben bereits Euler und Lambert diese Voraussetzung gemacht – Olbers dehnte dieses auch auf die Erdbahn aus und fand damit ein recht praktikables Verfahren zur Bahnbestimmung von Parabelbahnen. Diese Fußnote wird durch die nachfolgenden Beschreibungen deutlich.
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 ===== Parabelbahnen =====
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 ===== Berechnung der Erdposition =====
-Bekannt sein müssen weiterhin die drei Positionen der Erde zu den Zeitpunkten $i = 1\dots 3$ der Beobachtung. Diese beschafft man sich, bezogen auf dasselbe Äquinoktium wie und $\lambda$ und $\beta$, aus einem Jahrbuch oder errechnet diese hinreichend genau mit dem anschließend dargestellten Formelsatz. Benötigt werden die heliozentrische Länge $L$ und der Radiusvektor $R$ der Erde. Die Breite der Erde weicht maximal $1\overset{''}{.}2$ von der Ekliptikebene ab und bleibt unberücksichtigt – ebenso [[koordinatenreduktion#aberration|Aberration]], [[koordinatenreduktion#lichtlaufzeit|Lichtzeitkorrektur]] und Parallaxe für diese erste Bahnbestimmung. \\
+Bekannt sein müssen weiterhin die drei Positionen der Erde zu den Zeitpunkten $i = 1, 2, 3$ der Beobachtung. Diese beschafft man sich, bezogen auf dasselbe Äquinoktium wie und $\lambda$ und $\beta$, aus einem Jahrbuch oder errechnet diese hinreichend genau mit dem anschließend dargestellten Formelsatz. Benötigt werden die heliozentrische Länge $L$ und der Radiusvektor $R$ der Erde. Die Breite der Erde weicht maximal $1\overset{''}{.}2$ von der Ekliptikebene ab und bleibt unberücksichtigt – ebenso [[koordinatenreduktion#aberration|Aberration]], [[koordinatenreduktion#lichtlaufzeit|Lichtzeitkorrektur]] und Parallaxe für diese erste Bahnbestimmung. \\
 Für die drei Zeitpunkte der Beobachtung sind jeweils zu berechnen:
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 \end{aligned}\tag{7}\]
-mit der Konstanten $k = 0.01720209895$ gebildet.
+mit der [[:wichtige_konstanten#naturkonstanten|Konstante]] $k = 0.01720209895$ gebildet.
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-Die $t_i$ mit $i = 1\dots 3$ sind als Bruchteile von Jahrhunderten seit dem julianischen Tag $JD = 2415020.0$ in der Notation
+Die $t_i$ mit $i = 1, 2, 3$ sind als Bruchteile von Jahrhunderten seit dem julianischen Tag $JD = 2415020.0$ in der Notation
 $\large t_i = \frac{JD_i - 2415020.0}{36525}$ zu berechnen.
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 \end{align}\tag{8}\]
-Unter der Annahme eines geschätzten Wertes der Distanz $\Phi_1$ (Anfangswert im Bereich von 0.5-1.5 AE) wird der tatsächliche Radiusvektor $r_1$ der ersten Beobachtung, der tatsächliche Radiusvektor $r_3$ der dritten Beobachtung und die zwischen $r_1$ und $r_3$ liegende Sehne $s$ mit
+Unter der Annahme eines geschätzten Wertes der Distanz $\Phi_1$ (Anfangswert im Bereich von $0.5 - 1.5 AE$) wird der tatsächliche Radiusvektor $r_1$ der ersten Beobachtung, der tatsächliche Radiusvektor $r_3$ der dritten Beobachtung und die zwischen $r_1$ und $r_3$ liegende Sehne $s$ mit
 \[\begin{align}
 r_{1}^2 &= R_{1}^2 + 2\cdot R_1\cdot\cos(\lambda_1 - L_1)\cdot\Phi_1 + \frac{\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_1)} \\
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 \omega &= u_1 - 2\cdot\nu \\
 q &= r_1\cdot\cos^2(\nu) \\
-T &= \sqrt{2}\cdot q^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{\tan(\nu) + \frac{1}{3}\cdot\tan^3(\nu)}{k} + t_1
+T &= \frac{\sqrt{2}}{k}\cdot q^{\frac{3}{2}}\cdot\left(\tan(\nu) + \frac{1}{3}\cdot\tan^3(\nu)\right) + t_1
 \end{align}\tag{17}\]
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   * [1] Bauschinger, J.: Die Bahnbestimmung der Himmelskörper, Leipzig 1928
-  * [2] Boulet, D. L.: Methods of Orbit Determination for the Micro Computer, Richmond (USA) 1991.
+  * [2] Bucerius, J.: Himmelsmechanik Bd.1, Mannheim 1966.
-  * [3] Bucerius, J.: Himmelsmechanik Bd.1, Mannheim 1966.
+  * [3] Frischauf, J.: Grundriß der theoretischen Astronomie, Leipzig 1922.
-  * [4] Frischauf, J.: Grundriß der theoretischen Astronomie, Leipzig 1922.
+  * [4] Hansen, P. A.: Über die Bestimmung der Bahn eines Himmelskörpers (Nachdruck), Leipzig 1903.
-  * [5] Hansen, P. A.: Über die Bestimmung der Bahn eines Himmelskörpers (Nachdruck), Leipzig 1903.
+  * [5] Stracke, G.: Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Berlin 1929.
-  * [6] Montenbruck, O./Pfleger, T.: Astronomie mit dem Personalcomputer, Berlin, Heidelberg 1989.
+  * [6] Stumpff, K.: Himmelsmechanik Bd.1, Berlin 1973
-  * [7] Stracke, G.: Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Berlin 1929.
-  * [8] Stumpff, K.: Himmelsmechanik Bd.1, Berlin 1973
-  * [9] Wepner, W.: Mathematisches Hilfsbuch für Studierende und Freunde der Astronomie, Düsseldorf 1982
+Zu den weiteren [[:literaturhinweise|Literaturhinweisen]].