Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen der Seite angezeigt.

--- einfache_bahnbestimmung_von_kometen [2024/12/10 18:15] – [Einleitung] quern
+++ einfache_bahnbestimmung_von_kometen [2025/01/03 22:06] (aktuell) – [Literatur] quern
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 <WRAP center round info 100%>
-¹ Der Kern der Olberschen Methode besteht in der Bestimmung des Verhältnisses $\Phi_3$ zu $\Phi_1$ und der Anwendung der Lambertschen Formel. Für das Verhältnis der kurtierten Distanzen $\Phi_3$ und $\Phi_1$ wird die Annahme gemacht, dass man für die Verhältnisse der Flächen $n_1$ zu $n_3$ bzw. $N_3$ zu $N_1$ die Zwischenzeiten setzen kann, d.h., dass die Sehnen der Parabelbahn und der Erdbahn zwischen den äußeren Beobachtungen von den mittleren Radiusvektoren im Verhältnis der Zeiten geschnitten werden. Für Kometenbahnen haben bereits Euler und Lambert diese Voraussetzung gemacht – Olbers dehnte dieses auch auf die Erdbahn aus und fand damit ein recht praktikabeles Verfahren zur Bahnbestimmung von Parabelbahnen. Diese Fußnote wird durch die nachfolgenden Beschreibungen deutlich.
+¹ Der Kern der Olberschen Methode besteht in der Bestimmung des Verhältnisses $\Phi_3$ zu $\Phi_1$ und der Anwendung der Lambertschen Formel. Für das Verhältnis der kurtierten Distanzen $\Phi_3$ und $\Phi_1$ wird die Annahme gemacht, dass man für die Verhältnisse der Flächen $n_1$ zu $n_3$ bzw. $N_3$ zu $N_1$ die Zwischenzeiten setzen kann, d.h., dass die Sehnen der Parabelbahn und der Erdbahn zwischen den äußeren Beobachtungen von den mittleren Radiusvektoren im Verhältnis der Zeiten geschnitten werden. Für Kometenbahnen haben bereits Euler und Lambert diese Voraussetzung gemacht – Olbers dehnte dieses auch auf die Erdbahn aus und fand damit ein recht praktikables Verfahren zur Bahnbestimmung von Parabelbahnen. Diese Fußnote wird durch die nachfolgenden Beschreibungen deutlich.
 </WRAP>
 ===== Parabelbahnen =====
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 ===== Berechnung der Erdposition =====
-Bekannt sein müssen weiterhin die drei Positionen der Erde zu den Zeitpunkten $i = 1\dots 3$ der Beobachtung. Diese beschafft man sich, bezogen auf dasselbe Äquinoktium wie und $\lambda$ und $\beta$, aus einem Jahrbuch oder errechnet diese hinreichend genau mit dem anschließend dargestellten Formelsatz. Benötigt werden die heliozentrische Länge $L$ und der Radiusvektor $R$ der Erde. Die Breite der Erde weicht maximal $1\overset{''}{.}2$ von der Ekliptikebene ab und bleibt unberücksichtigt – ebenso [[koordinatenreduktion#aberration|Aberration]], [[koordinatenreduktion#lichtlaufzeit|Lichtzeitkorrektur]] und Parallaxe für diese erste Bahnbestimmung. \\
+Bekannt sein müssen weiterhin die drei Positionen der Erde zu den Zeitpunkten $i = 1, 2, 3$ der Beobachtung. Diese beschafft man sich, bezogen auf dasselbe Äquinoktium wie und $\lambda$ und $\beta$, aus einem Jahrbuch oder errechnet diese hinreichend genau mit dem anschließend dargestellten Formelsatz. Benötigt werden die heliozentrische Länge $L$ und der Radiusvektor $R$ der Erde. Die Breite der Erde weicht maximal $1\overset{''}{.}2$ von der Ekliptikebene ab und bleibt unberücksichtigt – ebenso [[koordinatenreduktion#aberration|Aberration]], [[koordinatenreduktion#lichtlaufzeit|Lichtzeitkorrektur]] und Parallaxe für diese erste Bahnbestimmung. \\
 Für die drei Zeitpunkte der Beobachtung sind jeweils zu berechnen:
@@ Zeile 103: / Zeile 103: @@
 Aus den Beobachtungszeitpunkten werden die Differenzen
+\[\begin{aligned}
+\tau_1 &= k\cdot (t_3 - t_2) \\
+\tau_2 &= k\cdot (t_3 - t_1) \\
+\tau_3 &= k\cdot (t_2 - t_1)
+\end{aligned}\tag{7}\]
-$$\begin{align}
+mit der [[:wichtige_konstanten#naturkonstanten|Konstante]] $k = 0.01720209895$ gebildet.
-\Theta_1 &= (t_3 - t_2)\cdot k \\
-\Theta_2 &= (t_3 - t_1)\cdot k \\
-\Theta_3 &= (t_2 - t_1)\cdot k
-\end{align}\tag{7}$$
-mit der [[:wichtige_konstanten#naturkonstanten|Konstanten]] $k = 0.01720209895$ gebildet.
 <WRAP center round info 100%>
-Die $t_i$ mit $i = 1\dots 3$ sind als Bruchteile von Jahrhunderten seit dem julianischen Tag $JD = 2415020.0$ in der Notation
+Die $t_i$ mit $i = 1, 2, 3$ sind als Bruchteile von Jahrhunderten seit dem julianischen Tag $JD = 2415020.0$ in der Notation
 $\large t_i = \frac{JD_i - 2415020.0}{36525}$ zu berechnen.
 </WRAP>
@@ Zeile 119: / Zeile 118: @@
 Das Verhältnis $M$ der kurtierten (= auf die Ekliptikebene des Kometen projizierten) Distanzen wird berechnet zu
 \[\begin{align}
-M_1 &= \Theta_1\cdot\big[\tan(\beta_2)\cdot\sin(\lambda_1 - L_2) - \tan(\beta_1)\cdot\sin(\lambda_2 - L_2)\big] \\
+M_1 &= \tau_1\cdot\big[\tan(\beta_2)\cdot\sin(\lambda_1 - L_2) - \tan(\beta_1)\cdot\sin(\lambda_2 - L_2)\big] \\
-M_2 &= \Theta_3\cdot\big[\tan(\beta_3)\cdot\sin(\lambda_2 - L_2) - \tan(\beta_2)\cdot\sin(\lambda_3 - L_2)\big] \\
+M_2 &= \tau_3\cdot\big[\tan(\beta_3)\cdot\sin(\lambda_2 - L_2) - \tan(\beta_2)\cdot\sin(\lambda_3 - L_2)\big] \\
 M &= \frac{M_1}{M_2}
 \end{align}\tag{8}\]
-Unter der Annahme eines geschätzten Wertes der Distanz $\Phi_1$ (Anfangswert im Bereich von 0.5-1.5 AE) wird der tatsächliche Radiusvektor $r_1$ der ersten Beobachtung, der tatsächliche Radiusvektor $r_3$ der dritten Beobachtung und die zwischen $r_1$ und $r_3$ liegende Sehne $s$ mit
+Unter der Annahme eines geschätzten Wertes der Distanz $\Phi_1$ (Anfangswert im Bereich von $0.5 - 1.5 AE$) wird der tatsächliche Radiusvektor $r_1$ der ersten Beobachtung, der tatsächliche Radiusvektor $r_3$ der dritten Beobachtung und die zwischen $r_1$ und $r_3$ liegende Sehne $s$ mit
 \[\begin{align}
-r_{1}^2 &= R_{1}^2 + 2\cdot R_1 \cdot\cos(\lambda_1 - L_1)\cdot\Phi_1 + \frac{\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_1)} \\
+r_{1}^2 &= R_{1}^2 + 2\cdot R_1\cdot\cos(\lambda_1 - L_1)\cdot\Phi_1 + \frac{\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_1)} \\
-r_{3}^2 &= R_{3}^2 + 2\cdot R_3 \cdot\cos(\lambda_3 - L_3)\cdot\Phi_1\cdot M + \frac{M^2\cdot\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_3)} \\
+r_{3}^2 &= R_{3}^2 + 2\cdot R_3\cdot\cos(\lambda_3 - L_3)\cdot\Phi_1\cdot M + \frac{M^2\cdot\Phi_{1}^2}{\cos^2(\beta_3)} \\
 s^2 &= r_{1}^2 + r_{3}^2 - 2\cdot R_1\cdot R_3\cdot\cos(L_3 - L_1) \\
-&- 2\cdot\Phi_1\cdot \big[ R_1\cdot M\cdot\cos(\lambda_3 - L_1) + R_3\cdot\cos(\lambda_1 - L_3)\big] \\
+&- 2\cdot\Phi_1\cdot\big[R_1\cdot M\cdot\cos(\lambda_3 - L_1) + R_3\cdot\cos(\lambda_1 - L_3)\big] \\
 &- 2\cdot M\cdot\Phi_{1}^2\cdot\big[\cos(\lambda_3 - \lambda_1) + \tan(\beta_1)\cdot\tan(\beta_3)\big] \\
 \end{align}\tag{9}\]
 berechnet. Anschließend werden die Werte $r_1, r_3$ und $s$ in die Lambertsche Gleichung
+$$6\cdot k\cdot\tau_2 = \sqrt{(r_1 + r_3 + s)^3} - \sqrt{(r_1 + r_3 - s)^3}\tag{10}$$
-$$6\cdot k\cdot\Theta_2 = \sqrt{(r_1 + r_3 + s)^3} - \sqrt{(r_1 + r_3 - s)^3}\tag{10}$$
 eingesetzt, um deren die Richtigkeit zu prüfen. Ist die Gleichung nicht erfüllt, wird mit einem neuen Wert von $\Phi_1$ gerechnet. Es wird so lange iteriert bis die Gleichung erfüllt ist. Sind die Gleichungen in Glg. 9 mit zwei verschiedenen Werten von $\Phi_1$ durchgerechnet, kann man mittels der [[:iteration#regula_falsi|Regula falsi]] einen neuen Wert berechnen. Ist die Abweichung nur noch $0.001$, kann abgebrochen werden.
@@ Zeile 177: / Zeile 174: @@
 \[\begin{align}
 f &= \frac{u_3 - u_1}{2} \\
-\nu &= \arctan\left(\dfrac{\frac{1}{\sqrt{r_1}\cdot\tan(f)} - \dfrac{1}{\sqrt{r_3}\cdot\sin(f)}}{\dfrac{1}{\sqrt{r_1}}}\right)\\
+\nu &= \arctan\left(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{r_1}\cdot\tan(f)} - \dfrac{1}{\sqrt{r_3}\cdot\sin(f)}}{\dfrac{1}{\sqrt{r_1}}}\right)\\
 &= \arctan\left(\dfrac{1}{\tan(f)} - \dfrac{\sqrt{r_1}}{\sqrt{r_3}\cdot\sin(f)}\right)
 \end{align}\tag{16}\]
-woraus die Länge des Penhel $\pi$, das Argument der Perihellänge $\omega$, die Periheldistanz $q$ und die Zeit $T$ des Periheldurchganges zu
+woraus die Länge des Perihel $\pi$, das Argument der Perihellänge $\omega$, die Periheldistanz $q$ und die Zeit $T$ des Periheldurchganges zu
 \[\begin{align}
 \pi &= u_1 - 2\cdot\nu + \Omega \\
 \omega &= u_1 - 2\cdot\nu \\
 q &= r_1\cdot\cos^2(\nu) \\
-T &= \sqrt{2}\cdot q^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{\tan(\nu) + \frac{1}{3}\cdot\tan^3(\nu)}{k} + t_1
+T &= \frac{\sqrt{2}}{k}\cdot q^{\frac{3}{2}}\cdot\left(\tan(\nu) + \frac{1}{3}\cdot\tan^3(\nu)\right) + t_1
 \end{align}\tag{17}\]
@@ Zeile 251: / Zeile 248: @@
 \Delta &= \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} \\
 \delta &= \arcsin\left(\frac{Z}{\Delta}\right) \\
-\alpha &= \frac{2\cdot\arctan\left(\frac{\Delta\cdot\cos(\delta) - X}{Y}\right)}{15} \\
+\alpha &= \frac{2}{15}\cdot\arctan\left(\dfrac{\Delta\cdot\cos(\delta) - X}{Y}\right) \\
 \end{align}\tag{25}\]
@@ Zeile 351: / Zeile 348: @@
   * [1] Bauschinger, J.: Die Bahnbestimmung der Himmelskörper, Leipzig 1928
-  * [2] Boulet, D. L.: Methods of Orbit Determination for the Micro Computer, Richmond (USA) 1991.
+  * [2] Bucerius, J.: Himmelsmechanik Bd.1, Mannheim 1966.
-  * [3] Bucerius, J.: Himmelsmechanik Bd.1, Mannheim 1966.
+  * [3] Frischauf, J.: Grundriß der theoretischen Astronomie, Leipzig 1922.
-  * [4] Frischauf, J.: Grundriß der theoretischen Astronomie, Leipzig 1922.
+  * [4] Hansen, P. A.: Über die Bestimmung der Bahn eines Himmelskörpers (Nachdruck), Leipzig 1903.
-  * [5] Hansen, P. A.: Über die Bestimmung der Bahn eines Himmelskörpers (Nachdruck), Leipzig 1903.
+  * [5] Stracke, G.: Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Berlin 1929.
-  * [6] Montenbruck, O./Pfleger, T.: Astronomie mit dem Personalcomputer, Berlin, Heidelberg 1989.
+  * [6] Stumpff, K.: Himmelsmechanik Bd.1, Berlin 1973
-  * [7] Stracke, G.: Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Berlin 1929.
-  * [8] Stumpff, K.: Himmelsmechanik Bd.1, Berlin 1973
-  * [9] Wepner, W.: Mathematisches Hilfsbuch für Studierende und Freunde der Astronomie, Düsseldorf 1982
+Zu den weiteren [[:literaturhinweise|Literaturhinweisen]].