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die_zeitgleichung [2024/12/20 01:38] – Externe Bearbeitung 127.0.0.1die_zeitgleichung [2025/07/13 01:53] (aktuell) – hcgreier
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 ====== Die Zeitgleichung ====== ====== Die Zeitgleichung ======
  
-Als Zeitgleichung ($ZGL$) bezeichnet man die Differenz von wahrer und mittlerer Ortszeit. Die mittlere Ortszeit ist jene, die wir auf einer Uhr ablesen. Eine Sonnenuhr hingegen zeigt die wahre Ortszeit.+Als Zeitgleichung ($ZGL$) bezeichnet man die Differenz von wahrer und mittlerer Ortszeit. Die mittlere Ortszeit ist jene, die wir auf einer Uhr ablesen. Eine Sonnenuhr hingegen zeigt die //wahre// Ortszeit an.
  
-<imgcaption image1|Die wahre Bewegung der Sonne verursacht ein Analemma>{{ :analemma.png?800 |}}</imgcaption>+===== Das Analemma =====
  
-Wenn die //mittlere// Sonne den Meridian eines Beobachters durchläuft, ist dort mittlerer Mittag. Wahrer Mittag ist jener Moment, in dem die //wahre// Sonne den Meridian durchläuft. Die $ZGL$ ist die Differenz zwischen der wahren Ortszeit $WOZ$ und mittleren Ortszeit $MOZ$. Mit anderen Worten, die $ZGL$ ist die Differenz zwischen den Stundenwinkeln der wahren Sonne und der mittleren Sonne.+Trägt man den Zeitpunkt der Position der Sonne um $12^h$ mittags (mittlere Ortszeit) gegen die Deklination $\delta_{\odot}$ der Sonne über das ganze Jahr auf, so erhält man eine asymmetrische kurve, das **Analemma**. 
 + 
 +<imgcaption image1|Die wahre Bewegung der Sonne verursacht ein Analemma>{{ :analemma.png?900 |}}</imgcaption> 
 + 
 +Das Analemma kreuzt natürlich 4mal pro Jahr die 0-Linie, an diesen Tagen ist die Zeitgleichung also 0 und die mittlere Ortszeit entspricht der wahren Ortszeit. 
 + 
 +<WRAP center round tip 100%> 
 +Die Asymmetrie des Analemmas beruht darauf, dass die Wintersonnenwende und der Periheldurchgang der Erde derzeit nicht auf einen Tag fallen. Dieser Fall trat zuletzt im Jahr 1246 n.Chr. auf. Im Jahr 6433 n.Chr. wird der Periheldurchgang wieder mit dem Frühlingsäquinoktium temporär zusammenfallen. Dann wird das Analemma wieder (spiegel)symmetrisch sein. 
 +</WRAP> 
 + 
 + 
 + 
 +===== Mittlere und wahre Sonne ===== 
 + 
 +Wenn die //mittlere// Sonne den Meridian eines Beobachters durchläuft, ist dort mittlerer Mittag. Wahrer Mittag ist jener Moment, in dem die //wahre// Sonne den Meridian durchläuft. Die $ZGL$ ist die Differenz zwischen der wahren Ortszeit $WOZ$ und mittleren Ortszeit $MOZ$. Mit anderen Worten, die $ZGL$ ist die Differenz zwischen den Stundenwinkeln der wahren Sonne und der mittleren Sonne. Die Kurve
  
 $$E = WOZ - MOZ\tag{1}$$ $$E = WOZ - MOZ\tag{1}$$
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 Definiert man also diese mittlere Sonne wie beschrieben, ergibt sich ein Zeitunterschied, der durch folgende Beziehung beschrieben werden kann: Definiert man also diese mittlere Sonne wie beschrieben, ergibt sich ein Zeitunterschied, der durch folgende Beziehung beschrieben werden kann:
  
-$$E = {L_0} - 0.0057183 - {\alpha_{\odot}} + \Delta\psi\cdot\cos(\varepsilon)\tag{2}$$+$$E = {L_0} - 0\overset{\circ}{.}0057183 - {\alpha_{\odot}} + \Delta\psi\cdot\cos(\varepsilon)\tag{2}$$
  
-In dieser Gleichung ist die Konstante $0.0057183^{\circ}$ die Summe aus dem Mittelwert der [[:koordinatenreduktion#aberration|Aberration]] in Länge $-20\overset{''}{.}49552$ und der Korrektur zur Reduktion auf das FK5-System (Fundamental-Katalog), $-0\overset{''}{.}09033$. Im Rahmen der Genauigkeit, die hier besprochen wird, kann letztere Korrektur auch weggelassen werden.+In dieser Gleichung ist die Konstante $0\overset{\circ}{.}0057183$ die Summe aus dem Mittelwert der [[:koordinatenreduktion#aberration|Aberration]] in Länge $-20\overset{''}{.}49552$ und der Korrektur zur Reduktion auf das FK5-System (Fundamental-Katalog), $-0\overset{''}{.}09033$. Im Rahmen der Genauigkeit, die hier besprochen wird, kann letztere Korrektur auch weggelassen werden.
          
 $\alpha_{\odot}$ ist die **scheinbare** Rektaszension der Sonne, berechnet unter Berücksichtigung der [[:koordinatenreduktion#aberration|Aberration]] und der [[:koordinatenreduktion#nutation|Nutation]]. Die Größe $\Delta \psi  \cdot \cos \varepsilon$, wobei $\Delta \psi$ die [[:koordinatenreduktion#nutation|Nutation in Länge]] und $\varepsilon$ die wahre Schiefe der Ekliptik ist, wird benötigt, um die scheinbare Rektaszension der Sonne auf das Äquinoktium des Datums zu beziehen, ebenso wie die mittlere Länge $L_0$. $\alpha_{\odot}$ ist die **scheinbare** Rektaszension der Sonne, berechnet unter Berücksichtigung der [[:koordinatenreduktion#aberration|Aberration]] und der [[:koordinatenreduktion#nutation|Nutation]]. Die Größe $\Delta \psi  \cdot \cos \varepsilon$, wobei $\Delta \psi$ die [[:koordinatenreduktion#nutation|Nutation in Länge]] und $\varepsilon$ die wahre Schiefe der Ekliptik ist, wird benötigt, um die scheinbare Rektaszension der Sonne auf das Äquinoktium des Datums zu beziehen, ebenso wie die mittlere Länge $L_0$.
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   &- \frac{1}{2}\cdot y^2\cdot\sin(4\cdot L_0) \\    &- \frac{1}{2}\cdot y^2\cdot\sin(4\cdot L_0) \\ 
   &- \frac{5}{4}\cdot\epsilon^2\cdot\sin(2\cdot M) \\    &- \frac{5}{4}\cdot\epsilon^2\cdot\sin(2\cdot M) \\ 
-\end{align}\tag{5}\]+\end{align}\tag{5}\label{glg5}\]
  
 Die Winkelwerte für $\varepsilon, L_0, M$ werden hier in in Grad berechnet. Für die $ZGL$ achte man auf die Argumente innerhalb der Sinus- bzw. Cosinusfunktionen. Die meisten Programmiersprachen benötigen Bogenmaßwerte als Argumente der trigonometrischen Funktionen und müssen durch Multiplikation mit $\frac{\pi}{180}$ entsprechend konvertiert werden. Die Winkelwerte für $\varepsilon, L_0, M$ werden hier in in Grad berechnet. Für die $ZGL$ achte man auf die Argumente innerhalb der Sinus- bzw. Cosinusfunktionen. Die meisten Programmiersprachen benötigen Bogenmaßwerte als Argumente der trigonometrischen Funktionen und müssen durch Multiplikation mit $\frac{\pi}{180}$ entsprechend konvertiert werden.
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 ===== Zeitgleichung von -2000 bis +5000 ===== ===== Zeitgleichung von -2000 bis +5000 =====
  
-Die Kurve, die den Verlauf der $ZGL$ im Laufe eines Jahres darstellt ist bekannt und in vielen Astronomiebüchern zu finden (**Abb.2**). Gegenwärtig (2024) hat die Kurve ein tiefes Minimum nahe dem 11. Februar, ein hohes Maximum nahe dem 3. November und ein sekundäres Maximum und Minimum um den 14. Mai bzw. am 26. Juli. Der Verlauf der $ZGL$ ändert sich jedoch im Laufe der Jahrhunderte allmählich, weil sich die Schiefe der Ekliptik, die Exzentrizität und die Länge des Perihels der Erdbahn langsam ändern.+Die Kurve, die den Verlauf der $ZGL$ im Laufe eines Jahres darstellt ist bekannt und in vielen Astronomiebüchern zu finden (**Abb.2**). Gegenwärtig (2025) hat die Kurve ein tiefes Minimum nahe dem 11. Februar, ein hohes Maximum nahe dem 3. November und ein sekundäres Maximum und Minimum um den 14. Mai bzw. am 26. Juli. Der Verlauf der $ZGL$ ändert sich jedoch im Laufe der Jahrhunderte allmählich, weil sich die Schiefe der Ekliptik, die Exzentrizität und die Länge des Perihels der Erdbahn langsam ändern.
  
   * Roter Bereich: Die Zeitgleichung ist negativ, die Sonnenuhr geht gegenüber der mittleren Sonne nach.   * Roter Bereich: Die Zeitgleichung ist negativ, die Sonnenuhr geht gegenüber der mittleren Sonne nach.
   * Grüner Bereich: Die Zeitgleichung ist positiv, die Sonnenuhr eilt der mittleren Sonne voraus.   * Grüner Bereich: Die Zeitgleichung ist positiv, die Sonnenuhr eilt der mittleren Sonne voraus.
  
-<imgcaption image2|Zeitgleichung für das Jahr 2024>{{ :zeitgleichung_2024.png |}}</imgcaption>+<imgcaption image2|Zeitgleichung für das Jahr 2025>{{ :zeitgleichung_2024.png |}}</imgcaption>
      
 Die nachstehende **Abb.3** zeigt den Verlauf der $ZGL$ von $-2000$ bis $+5000$. Auf der vertikalen Skala werden die Daten in Abständen von fünf Minuten angegeben. Man sieht zum Beispiel, dass das Minimum im Februar in ferner Zukunft weniger tief sein wird. Die nachstehende **Abb.3** zeigt den Verlauf der $ZGL$ von $-2000$ bis $+5000$. Auf der vertikalen Skala werden die Daten in Abständen von fünf Minuten angegeben. Man sieht zum Beispiel, dass das Minimum im Februar in ferner Zukunft weniger tief sein wird.
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 Im Jahr 1246 n.Chr., als das Perihel der Erde mit der Wintersonnenwende zusammenfiel, war der Graph der $ZGL$ bezüglich der Null-Linie genau symmetrisch: Das Minimum des Februars war genau so tief wie das Maximum im November hoch war, und das kleinere Mai-Maximum war genau so hoch wie der tiefste Wert des Juli-Minimums. Im Jahr 1246 n.Chr., als das Perihel der Erde mit der Wintersonnenwende zusammenfiel, war der Graph der $ZGL$ bezüglich der Null-Linie genau symmetrisch: Das Minimum des Februars war genau so tief wie das Maximum im November hoch war, und das kleinere Mai-Maximum war genau so hoch wie der tiefste Wert des Juli-Minimums.
  
-Zwischen 1600 und 2100 n.Chr. variieren die Extremwerte der Zeitgleichung, wie in der unten stehenden Tabelle gezeigt wird. Dies sind mittlere Werte: Die Berechnung basiert auf einer ungestörten elliptischen Bewegung der Erde, und die Nutation wurde hier nicht berücksichtigt. Die Werte weichen daher von der exakten Berechnung etwas ab.+Zwischen 1600 und 2100 n.Chr. variieren die Extremwerte der Zeitgleichung, wie in der unten stehenden **Tabelle 1** gezeigt wird. Dies sind mittlere Werte: Die Berechnung basiert auf einer ungestörten elliptischen Bewegung der Erde, und die Nutation wurde hier nicht berücksichtigt. Die Werte weichen daher von der exakten Berechnung etwas ab. 
  
-**Tabelle: Haupt- und Nebenmaxima/minima** 
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,130px,130px,130px,130px"&float=center}} {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="100px,130px,130px,130px,130px"&float=center}}
 +^ Tabelle 1: Haupt- und Nebenmaxima/minima |||||
 ^  Jahr    ^  Februar-Minimum   ^  Mai-Maximum      ^  Juli-Minimum     ^  November-Maximum  ^ ^  Jahr    ^  Februar-Minimum   ^  Mai-Maximum      ^  Juli-Minimum     ^  November-Maximum  ^
 |  $1600$  |  $-15^{m} 01^{s}$  |  $+4^{m} 19^{s}$  |  $-5^{m} 40^{s}$  |  $+16^{m} 03^{s}$  | |  $1600$  |  $-15^{m} 01^{s}$  |  $+4^{m} 19^{s}$  |  $-5^{m} 40^{s}$  |  $+16^{m} 03^{s}$  |
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 \end{align}\) \end{align}\)
  
-Für die Zeitgleichung des gegebenen Zeitpunkts erhält man damit+Für die Zeitgleichung des gegebenen Zeitpunkts erhält man mit Gleichung $\eqref{glg5}$
  
 $E = 0\overset{rad}{.}014897883$ $E = 0\overset{rad}{.}014897883$
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 Die Umrechnung in Minuten durch Multiplikation mit $4\frac{m}{\circ}$ ergibt Die Umrechnung in Minuten durch Multiplikation mit $4\frac{m}{\circ}$ ergibt
  
-$E = 3.414343$ Dezimalminuten.+$E = 3\overset{m}{.}414343$ Dezimalminuten.
  
 Eine Umrechnung in das Format $\textrm{mm:ss}$ mithilfe der Funktionen [[:mathematische_grundlagen#trunc_funktion|trunc]] bzw. [[:mathematische_grundlagen#frac_funktion|frac]] ergibt Eine Umrechnung in das Format $\textrm{mm:ss}$ mithilfe der Funktionen [[:mathematische_grundlagen#trunc_funktion|trunc]] bzw. [[:mathematische_grundlagen#frac_funktion|frac]] ergibt
die_zeitgleichung.1734655080.txt.gz · Zuletzt geändert: 2024/12/20 01:38 von 127.0.0.1