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--- der_richtige_quadrant [2024/01/31 01:12] – [Beispielcode in JavaScript] hcgreier
+++ der_richtige_quadrant [2024/12/20 01:38] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 Aus diesem Grund geben z.B. Taschenrechner oder Programmiersprachen inverse trigonometrische Funktionen nur über den halben Bereich von $0^\circ$ bis $360^\circ$ korrekt zurück:
-  * Arcussinus und Arcustangens ergeben ein Winkel zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ (also zwischen $-\tfrac{\pi}{2}$ und $+\tfrac{\pi}{2}$ im Bogenmaß), während
+  * Arcussinus und Arcustangens ergeben einen Winkel zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ (also zwischen $-\tfrac{\pi}{2}$ und $+\tfrac{\pi}{2}$ im Bogenmaß), während
   * Arcuscosinus einen Wert zwischen $0^\circ$ und $+180^\circ$ (zwischen 0 und $\pi$ im Bogenmaß) angibt.
-  * Der dritte Quadrant fehlt und muß über rechentechnische Verfahren ermittelt werden.
+  * Der dritte Quadrant fehlt und muss über rechentechnische Verfahren ermittelt werden.
 Versucht man es z.B. mit $\cos (143^\circ)$, ist das Ergebnis $-0.79863551$, was bei Verwendung der Umkehrfunktion wieder $143^\circ$ zurückgibt.
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 **Beispiel**
 Die Gleichung
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 | $\sin(\delta) = \sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon) + \cos(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)\cdot\sin(\lambda)$ |
-gibt den Sinus der Deklination $\delta$ eines Himmelskörpers an. Die Funktion Arcussinus gibt diese Deklination dann immer im richtigen Quadranten an, da alle Deklinationen zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ Grad liegen. Hier ist alles in Ordnung.
+gibt den Sinus der Deklination $\delta$ eines Himmelskörpers an. Die Funktion ''arcsin'' gibt diese Deklination dann immer im richtigen Quadranten an, da alle Deklinationen zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ Grad liegen. Hier ist alles in Ordnung.
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 Die Gleichung
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-| $\cos(d) = \sin(\delta_1)\cdot\sin(\delta_2)\cdot + \cos(\delta_1)\cos(\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1 - \alpha_2)$ |
+| $\cos(d) = \sin(\delta_1)\cdot\sin(\delta_2) + \cos(\delta_1)\cos(\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1 - \alpha_2)$ |
-gibt den Cosinus des Winkelabstands $d$ zweier Objekte auf der imaginären Himmelkugel an. Tatsächlich liegt jeder Winkelabstand im Bereich von $0^\circ$ bis $+180^\circ$, was auch dem Bereich der Arcuscosinusfunktion entspricht. Auch hier passt alles.
+gibt den Cosinus des Winkelabstands $d$ zweier Objekte auf der imaginären Himmelkugel an. Tatsächlich liegt jeder Winkelabstand im Bereich von $0^\circ$ bis $+180^\circ$, was auch dem Bereich der ''arccos''-Funktion entspricht. Auch hier passt alles.
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 Betrachtet wir aber z.B. die Umrechnung von Rektaszension $\alpha$ und Deklination $\delta$ in die ekliptikalen Größen $\lambda$ und $\beta$ mithilfe der folgenden Formeln:
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+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
 | \[\begin{align} I)\quad \cos(\beta)\cdot \sin(\lambda) &= \sin(\delta)\cdot \sin(\varepsilon) + \cos(\delta)\cdot \cos(\varepsilon)\cdot \sin(\alpha) \\
 II)\quad \cos(\beta)\cdot \cos(\lambda) &= \cos(\delta)\cdot \cos(\alpha) \end{align}\] |
 Wir bezeichnen der Einfachheit halber die rechten Seiten mit $A$ und $B$. Wenn wir nun die erste Gleichung durch die zweite dividieren, erhalten wir
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="800px"&float=center}}
-| \[\frac{\cos(β)\cdot \sin(λ)}{\cos(β)\cdot \cos(λ)} = \frac{\sin(λ)}{\cos(λ)} = \tan \lambda = \frac{A}{B}\] |
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
+| \[\require{\cancel}\frac{I}{II} = \frac{\bcancel{\cos(β)}\cdot \sin(λ)}{\bcancel{\cos(β)}\cdot \cos(λ)} = \frac{\sin(λ)}{\cos(λ)} = \tan \lambda = \frac{A}{B}\] |
 Die Anwendung der Umkehrfunktion Arcustangens auf den Quotienten $\tfrac{A}{B}$ ergibt nur den Winkel $\lambda$ zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ mit einer Mehrdeutigkeit von $\pm 180^\circ$. Diese Mehrdeutigkeit kann man nun mit der folgenden Fallunterscheidung beseitigen:
-**Wenn $B \lt 0$ ist, addiere 180° zum Ergebnis.**
-Damit erhält man $\lambda$ im korrekten Quadranten. Gegebenenfalls sollte der Winkel noch auf das Intervall [0-360°] gebracht werden.
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="560px"&float=center}}
+| **Wenn der Nenner $B \lt 0$ ist, addiere 180° zum Ergebnis.** |
+Damit erhält man $\lambda$ im korrekten Quadranten. Gegebenenfalls sollte der Winkel noch mit der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] auf das Intervall [0-360°] gebracht werden.
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+Viele Programmiersprachen enthalten heute eine nützliche "zweite" Arcustangensfunktion wie z.B. ''ATN2'' oder ''ATAN2'', die die beiden Argumente $A$ und $B$ getrennt verwendet und den Winkel direkt im richtigen Quadranten zurückgeben kann.
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-Viele Programmiersprachen enthalten heute eine nützliche "zweite" Arcustangensfunktion wie z.B. ATN2 oder ATAN2, die die beiden Argumente $A$ und $B$ getrennt verwendet und den Winkel direkt im richtigen Quadranten zurückgeben kann.
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 In der Berechnung wird der Zähler des Bruchs als $y$ und der Nenner als $x$ bezeichnet, wobei $y$ der erste Parameter der Funktion ''arctan2'' ist, also $\alpha = \textrm{arctan2}\left({\frac{y}{x}}\right)$. \\
-Eventuelle negative Winkelwerte können mit der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion_mathrm_red_ldots#|Reduktions-Funktion]] ''red(...)'' in das Intervall [0°-360°] gebracht werden.
+Eventuelle negative Winkelwerte können mit der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion#|Reduktions-Funktion]] ''red(...)'' in das Intervall [0°-360°] gebracht werden.
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