Unterschiede

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--- der_richtige_quadrant [2023/06/27 18:24] – quern
+++ der_richtige_quadrant [2025/10/15 18:17] (aktuell) – quern
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-===== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant =====
+====== Umkehrfunktionen - Der richtige Quadrant ======
-Wenn der Sinus, der Cosinus oder der Tangens eines Winkels bekannt ist, kann der Winkel selbst mithilfe der Umkehrfunktionen **Arcussinus**, **Arcuscosinus** oder **Arcustangens** ermittelt werden. Diese "inversen" trigonometrischen Funktionen sind jedoch nicht einwertig. \\
+Wenn der Sinus, der Cosinus oder der Tangens eines Winkels bekannt ist, kann der Winkel selbst mithilfe der Umkehrfunktionen **Arcussinus**, **Arcuscosinus** oder **Arcustangens** ermittelt werden. Diese "inversen" trigonometrischen Funktionen sind jedoch nicht einwertig.
-Wenn zum Beispiel $\sin \alpha = 0.5$ ist, dann ist $\alpha$ = $30^\circ$, $150^\circ$, $390^\circ$ usw. \\
+Wenn zum Beispiel $\sin \alpha = 0.5$ ist, dann ist $\alpha$ = $30^\circ$, $150^\circ$, $390^\circ$ usw.
 Aus diesem Grund geben z.B. Taschenrechner oder Programmiersprachen inverse trigonometrische Funktionen nur über den halben Bereich von $0^\circ$ bis $360^\circ$ korrekt zurück:
-  * Arcussinus und Arcustangens ergeben ein Winkel zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ (also zwischen $-\tfrac{\pi}{2}$ und $+\tfrac{\pi}{2}$ im Bogenmaß), während
+  * Arcussinus und Arcustangens ergeben einen Winkel zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ (also zwischen $-\tfrac{\pi}{2}$ und $+\tfrac{\pi}{2}$ im Bogenmaß), während
   * Arcuscosinus einen Wert zwischen $0^\circ$ und $+180^\circ$ (zwischen 0 und $\pi$ im Bogenmaß) angibt.
-  * Der dritte Quadrant fehlt und muß über rechentechnische Verfahren ermittelt werden.
+  * Der dritte Quadrant fehlt und muss über rechentechnische Verfahren ermittelt werden.
 Versucht man es z.B. mit $\cos (143^\circ)$, ist das Ergebnis $-0.79863551$, was bei Verwendung der Umkehrfunktion wieder $143^\circ$ zurückgibt.
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 Daher entsteht immer dann, wenn die Umkehrfunktion von $\sin$, $\cos$ oder $\tan$ verwendet wird, eine Mehrdeutigkeit, die bei Bedarf auf die eine oder andere Weise geklärt werden muss. Jedes Problem sollte dabei separat untersucht werden.
+===== Überprüfung "von Hand" (Taschenrechner) =====
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 Die Gleichung
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="500px"}}
+| $\sin(\delta) = \sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon) + \cos(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)\cdot\sin(\lambda)$ |
-$$ \sin(\delta) = \sin(\beta)\cdot\cos(\varepsilon) + \cos(\beta)\cdot\sin(\varepsilon)\cdot\sin(\lambda) $$
+gibt den Sinus der Deklination $\delta$ eines Himmelskörpers an. Die Funktion ''arcsin'' gibt diese Deklination dann immer im richtigen Quadranten an, da alle Deklinationen zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ Grad liegen. Hier ist alles in Ordnung.
-gibt den Sinus der Deklination $\delta$ eines Himmelskörpers an. Die Funktion Arcussinus gibt diese Deklination dann immer im richtigen Quadranten an, da alle Deklinationen zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ Grad liegen. Hier ist alles in Ordnung.
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 Die Gleichung
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+| $\cos(d) = \sin(\delta_1)\cdot\sin(\delta_2) + \cos(\delta_1)\cos(\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1 - \alpha_2)$ |
-$$\cos(d) = \sin(\delta_1)\cdot\sin(\delta_2)\cdot + \cos(\delta_1)\cos(\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1 - \alpha_2) $$
+gibt den Cosinus des Winkelabstands $d$ zweier Objekte auf der imaginären Himmelkugel an. Tatsächlich liegt jeder Winkelabstand im Bereich von $0^\circ$ bis $+180^\circ$, was auch dem Bereich der ''arccos''-Funktion entspricht. Auch hier passt alles.
-gibt den Cosinus des Winkelabstands $d$ zweier Objekte auf der imaginären Himmelkugel an. Tatsächlich liegt jeder Winkelabstand im Bereich von $0^\circ$ bis $+180^\circ$, was auch dem Bereich der Arcuscosinusfunktion entspricht. Auch hier passt alles.
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 Betrachtet wir aber z.B. die Umrechnung von Rektaszension $\alpha$ und Deklination $\delta$ in die ekliptikalen Größen $\lambda$ und $\beta$ mithilfe der folgenden Formeln:
-\[ \begin{align} I)\quad \cos(\beta)\cdot \sin(\lambda) &= \sin(\delta)\cdot \sin(\varepsilon) + \cos(\delta)\cdot \cos(\varepsilon)\cdot \sin(\alpha) \\
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
-II)\quad \cos(\beta)\cdot \cos(\lambda) &= \cos(\delta)\cdot \cos(\alpha) \end{align} \]
+| \[\begin{align} I)\quad \cos(\beta)\cdot \sin(\lambda) &= \sin(\delta)\cdot \sin(\varepsilon) + \cos(\delta)\cdot \cos(\varepsilon)\cdot \sin(\alpha) \\
+II)\quad \cos(\beta)\cdot \cos(\lambda) &= \cos(\delta)\cdot \cos(\alpha) \end{align}\] |
 Wir bezeichnen der Einfachheit halber die rechten Seiten mit $A$ und $B$. Wenn wir nun die erste Gleichung durch die zweite dividieren, erhalten wir
-\[ \frac{\cos(β)\cdot \sin(λ)}{\cos(β)\cdot \cos(λ)} = \tan \lambda = \frac{A}{B} \]
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="600px"&float=center}}
+| \[\require{\cancel}\frac{I}{II} = \frac{\bcancel{\cos(β)}\cdot \sin(λ)}{\bcancel{\cos(β)}\cdot \cos(λ)} = \tan \lambda = \frac{A}{B}\] |
 Die Anwendung der Umkehrfunktion Arcustangens auf den Quotienten $\tfrac{A}{B}$ ergibt nur den Winkel $\lambda$ zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$ mit einer Mehrdeutigkeit von $\pm 180^\circ$. Diese Mehrdeutigkeit kann man nun mit der folgenden Fallunterscheidung beseitigen:
-**Wenn $B \lt 0$ ist, addiere 180° zum Ergebnis.**
-Damit erhält man $\lambda$ im korrekten Quadranten. Gegebenenfalls sollte der Winkel noch auf das Intervall [0-360°] gebracht werden.
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="570px"&float=center}}
+| **Wenn der Nenner $B \lt 0$ ist, addiere 180° zum Ergebnis.**  |
+Damit erhält man $\lambda$ im korrekten Quadranten. Gegebenenfalls sollte der Winkel noch mit der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktions-Funktion]] auf das Intervall [0-360°] gebracht werden.
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+Viele Programmiersprachen enthalten heute eine nützliche "zweite" Arcustangensfunktion wie z.B. ''ATN2'' oder ''ATAN2'', die die beiden Argumente $A$ und $B$ getrennt verwendet und den Winkel direkt im richtigen Quadranten zurückgeben kann.
+</WRAP>
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+**Beispiel**
+Angenommen, Zähler $A = -0.5712$ und Nenner $B = -0.9139$; dann ergibt $\mathrm{ATN}\left(\tfrac{A}{B}\right)$ den Winkel $32^\circ$, während $\mathrm{ATN2}(A, B)$ den korrekten Wert $-148^\circ$ oder, in das Intervall [0-360°] gebracht, $+212^\circ$ ergibt. Da $B$ negativ ist, muss man $32^\circ + 180^\circ = 212^\circ$ rechnen.
+</WRAP>
+===== Programmiersprachen =====
+Da auf diesen Seiten in vielen Berechnungen mit Winkeln im **Gradmaß** gerechnet wird, zeigen die folgenden Funktionen, wie man den ''arctan'' im korrekten Quadranten in Grad ermitteln könnte. JavaScript benutzt dafür die eingebaute Funktion ''Math.atan2'', Python ''math.atan2''. Für die Rückgabe in Grad muss man nur mehr mit $\tfrac{180}{\pi}$ multiplizieren.
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+==== Beispielcode in JavaScript ====
+<code>
+function arctan2(y, x) {
+  return Math.atan2(y, x) * (180/Math.PI);
+}
+console.log(arctan2(4, 3))   // =>  53.13010235415598 (1. Quardant)
+console.log(arctan2(4, -3))  // =>  126.86989764584402 (2. Quardant)
+console.log(arctan2(-4, -3)) // => -126.86989764584402 (3. Quardant)
+console.log(arctan2(-4, 3))  // => -53.13010235415598 (4. Quardant)
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP center round box 100%>
+==== Beispielcode in Python ====
+<code>
+import math
+def arctan2(y, x):
+    return math.atan2(y, x) * (180 / math.pi)
+print(arctan2(4, 3))    # => 53.13010235415598    (1. Quadrant)
+print(arctan2(4, -3))   # => 126.86989764584402   (2. Quadrant)
+print(arctan2(-4, -3))  # => -126.86989764584402  (3. Quadrant)
+print(arctan2(-4, 3))   # => -53.13010235415598   (4. Quadrant)
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP center round tip 100%>
+In der Berechnung wird der **Zähler** des Bruchs als $y$ und der **Nenner** als $x$ bezeichnet, wobei $y$ der **erste** Parameter der Funktion ''arctan2'' ist, also $\alpha = \textrm{arctan2}\left({\frac{y}{x}}\right)$. \\
+Eventuelle negative Winkelwerte können mit der [[mathematische_grundlagen#reduktionsfunktion#|Reduktions-Funktion]] ''red(...)'' in das Intervall [0°-360°] gebracht werden, um keine negativen Winkel zu erhalten.
+</WRAP>
-Viele Programmiersprachen enthalten heute eine nützliche "zweite" Arcustangensfunktion wie z.B. ATN2 oder ATAN2, die die beiden Argumente $A$ und $B$ getrennt verwendet und den Winkel direkt im richtigen Quadranten zurückgeben kann.
-Angenommen, $A = -0.5712$, $B = -0.9139$; dann ergibt $\mathrm{ATN}\left(\tfrac{A}{B}\right)$ den Winkel $32^\circ$, während $\mathrm{ATN2}(A, B)$ den korrekten Wert $-148^\circ$ oder, in das Intervall [0-360°] gebracht, $+212^\circ$ ergibt.