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--- auf-_und_untergangszeiten [2024/11/28 23:33] – [Sonne, Sterne und Planeten] hcgreier
+++ auf-_und_untergangszeiten [2025/06/12 01:16] (aktuell) – [Alternative Version von J. Meeus] hcgreier
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-Für die Sonne gilt als Auf/Untergangshöhe $h = -50' = -0\overset{\circ}{.}833333$. Man benötigt weiters die geozentrischen äquatorialen Koordinaten $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}$ für die Sonne um $\textrm{00:00}\;UT$ des gegebenen Tages und die mittlere Sternzeit $GMST$ in Greenwich für denselben Zeitpunkt, sowie die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$.
+Für die Sonne gilt als Auf/Untergangshöhe $h = -50' = -0\overset{\circ}{.}833333$. Man benötigt weiter die geozentrischen äquatorialen Koordinaten $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}$ für die Sonne um $\textrm{00:00}\;UT$ des gegebenen Tages und die mittlere Sternzeit $GMST$ in Greenwich für denselben Zeitpunkt, sowie die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$.
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-Man kann die [[:astronomische_begriffe#topozentrisch|topozentrischen Koordinaten]] der Sonne verwenden. Die Sonnenparallaxe ist aber relativ klein mit etwa $8\overset{''}{.}749$ und liegt weit unterhalb der Genauigkeit dieses Algorithmus. Topozentrische Koordinaten lohnen sich nur beim Erdmond.
+Man kann die [[:astronomische_begriffe#topozentrisch|topozentrischen Koordinaten]] der Sonne verwenden. Die Sonnenparallaxe ist aber relativ klein mit etwa $8\overset{''}{.}749$ und liegt weit unterhalb der Genauigkeit dieses Algorithmus. Die topozentrischen Koordinaten lohnen sich nur beim Erdmond.
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-Da man sich nicht allzu weit von der Epoche $J2000$ entfernt befindet kann man die Terme für $T^2$ und $T^3$ hier auch vernachlässigen.
+Da man sich nicht allzu weit von der Epoche $J2000$ entfernt befindet, kann man die Terme für $T^2$ und $T^3$ hier auch vernachlässigen.
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 \end{align}\) |
-Dies ist ein Stundenwert und wird durch Mulitplikation mit $15$ in Grad umgewandelt.
+Dies ist ein Stundenwert und wird durch Multiplikation mit $15$ in Grad umgewandelt.
 \(\begin{align}
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 \end{align}\)
-Nun hat man sämliche Werte für $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}, GMST$ sowie die geografische Länge $\lambda_0 = -10^{\circ}$ (Ost negativ!) in Grad gegeben. Die Kulminationszeit $K$ ist dann
+Nun hat man sämtliche Werte für $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}, GMST$, sowie die geografische Länge $\lambda_0 = -10^{\circ}$ (Ost negativ!) in Grad gegeben. Die Kulminationszeit $K$ ist dann
 \(\begin{align}
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 $$T_{i+1} = T_i + \frac{t_i - \tau_i}{\mu_i}\tag{14}$$
-Hat man den neuen Wert $T_i$ berechnet, so muss man nun die geozentrisch äquatorialen Koordianten des Mondes $\alpha_i$ und $\delta_i$ erneut berechnen und dann mit den neuen Werten zur Sternzeit $\Theta_i$ springen. Der Durchlauf startet solange erneut, bis ein genügend geringer Differenzwert zwischen $T_{i+1}$ und $T_i$ gefunden wird.
+Hat man den neuen Wert $T_i$ berechnet, so muss man nun die geozentrisch äquatorialen Koordinaten des Mondes $\alpha_i$ und $\delta_i$ erneut berechnen und dann mit den neuen Werten zur Sternzeit $\Theta_i$ springen. Der Durchlauf startet solange erneut, bis ein genügend geringer Differenzwert zwischen $T_{i+1}$ und $T_i$ gefunden wird.
 <WRAP center round info>
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 \end{align}\)
-Damit berechnet man nun sukzessive die neuen Mondkoordinaten sowie den neuen Stundenwinkel analog zu Schritt "0" und erhält
+Damit berechnet man nun sukzessive die neuen Mondkoordinaten, sowie den neuen Stundenwinkel analog zu Schritt "0" und erhält
 \(\begin{align}
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 <imgcaption image2|Prinzip der Nullstellensuche mit quadratischer Interpolation>{{ :methodik_auf_unter_montenbruck.png?800 |}}</imgcaption>
-Man beginnt für beide Kurven mit den ersten Zeitpunkt $t = 1^h$ bis $t = 24^h$, berechnet den Stundenwinkel $\tau(t)$ als Startwert und ermittelt daraufhin die drei in der Graphik gezeigten Stützpunkte für
+Man beginnt für beide Kurven mit den ersten Zeitpunkt $t = 1^h$ bis $t = 24^h$, berechnet den Stundenwinkel $\tau(t)$ als Startwert und ermittelt daraufhin die drei in der Graphik gezeigten Stützpunkte für den gesuchten Zeitpunkt $x$:
-den gesuchten Zeitpunkt $x$:
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 Zähle $i = 1$ bis $2$ \\
-$\quad$ Falls |$\alpha_{i+1} > \alpha_i$| > $12^h$ dann gilt: \\
+$\quad$ Falls |$\alpha_{i+1} - \alpha_i$| > $12^h$ dann gilt: \\
 $\qquad$ Falls $\alpha_{i+1} > \alpha_i$ dann gilt: \\
 $\quad\qquad$ $\alpha_i = \alpha_i + 24^h$ \\
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-Als erstes werden die geozentrisch - äquatorialen koordinaten des Mondes für die drei Zeitpunkte am 15.1., am 16.1 und am 17.1. bestimmt, z.B. mit dem "schneller" Algorithmus laut [[:erdmond#mondposition|dieser Methode]]:
+Als erstes werden die geozentrisch - äquatorialen Koordinaten des Mondes für die drei Zeitpunkte am 15.1., am 16.1 und am 17.1. bestimmt, z.B. mit dem "schnellen" Algorithmus laut [[:erdmond#mondposition|dieser Methode]]:
 \(\begin{align}