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--- auf-_und_untergangszeiten [2024/07/11 13:46] – [Alternative Version von J. Meeus] hcgreier
+++ auf-_und_untergangszeiten [2025/10/12 17:36] (aktuell) – quern
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 ^  Tabelle 1  ||||
 ^  Himmelsobjekt  ^  Höhe $h$  ^  Dämmerungen  ^  Höhe $h$  ^
-| Sonne:         | $h$ = $-0^{\circ} 50'$  | bürgerlich:    | $h$ = $-6^{\circ}$   |
+|  Sonne:     |  $h$ = $-0^{\circ} 50'$  |  bürgerlich:    |  $h$ = $-6^{\circ}$   |
-| Mond:          | $h$ = $+0^{\circ} 08'$  | nautisch:      | $h$ = $-12^{\circ}$  |
+|  Mond:      |  $h$ = $+0^{\circ} 08'$  |  nautisch:      |  $h$ = $-12^{\circ}$  |
-| Sonstige:      | $h$ = $-0^{\circ} 34'$  | astronomisch:  | $h$ = $-18^{\circ}$  |
+|  Sonstige:  |  $h$ = $-0^{\circ} 34'$  |  astronomisch:  |  $h$ = $-18^{\circ}$  |
-Hat man die Höhen gefunden, so berechnet man als nächstes den halben Tagbogen, der zwischen $0^h$ und $12^h$ liegen muß:
+Hat man die Höhen gefunden, so berechnet man als nächstes den halben Tagbogen, der zwischen $0^h$ und $12^h$ liegen muss:
 $$\cos(15^h\cdot t) = \frac{\sin(h) - \sin(\beta_0) \cdot \sin(\delta)}{\cos(\beta_0) \cdot \cos(\delta)}\tag{1}$$
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 ^   Tabelle 2  ||
 ^  Himmelsobjekt  ^  $\mu$ - Wert   ^
-| {{:sign_stern.png?20&nolink}} Sterne:     | $\mu_s$ = 1.00273790931  |
+|  {{:sign_stern.png?20&nolink}} Sterne:     |  $\mu_s$ = 1.00273790931  |
-| {{:sign_sonne.png?20&nolink}} Sonne:      | $\mu_S$ = 1.0            |
+|  {{:sign_sonne.png?20&nolink}} Sonne:      |  $\mu_S$ = 1.0            |
-| {{:sign_mercury.png?20&nolink}} Merkur:   | $\mu_1$ = 0.99137019529  |
+|  {{:sign_mercury.png?20&nolink}} Merkur:   |  $\mu_1$ = 0.99137019529  |
-| {{:sign_venus.png?20&nolink}} Venus:      | $\mu_2$ = 0.99828744065  |
+|  {{:sign_venus.png?20&nolink}} Venus:      |  $\mu_2$ = 0.99828744065  |
-| {{:sign_earth.png?20&nolink}} Erde:       | $\mu_3$ = $\mu_S$        |
+|  {{:sign_earth.png?20&nolink}} Erde:       |  $\mu_3$ = $\mu_S$        |
-| {{:sign_mars2.png?20&nolink}} Mars:       | $\mu_4$ = 1.00128215634  |
+|  {{:sign_mars2.png?20&nolink}} Mars:       |  $\mu_4$ = 1.00128215634  |
-| {{:sign_jupiter.png?20&nolink}} Jupiter:  | $\mu_5$ = 1.00250699424  |
+|  {{:sign_jupiter.png?20&nolink}} Jupiter:  |  $\mu_5$ = 1.00250699424  |
-| {{:sign_saturn.png?20&nolink}} Saturn:    | $\mu_6$ = 1.00264485961  |
+|  {{:sign_saturn.png?20&nolink}} Saturn:    |  $\mu_6$ = 1.00264485961  |
-| {{:sign_uranus.png?20&nolink}} Uranus:    | $\mu_7$ = 1.00270521758  |
+|  {{:sign_uranus.png?20&nolink}} Uranus:    |  $\mu_7$ = 1.00270521758  |
-| {{:sign_neptun.png?20&nolink}} Neptun:    | $\mu_8$ = 1.00272118691  |
+|  {{:sign_neptun.png?20&nolink}} Neptun:    |  $\mu_8$ = 1.00272118691  |
-| {{:sign_pluto.png?20&nolink}} Pluto:      | $\mu_9 \approx \mu_s$    |
+|  {{:sign_pluto.png?20&nolink}} Pluto:      |  $\mu_9 \approx \mu_s$    |
 Die Kulminationszeit lautet:
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 <WRAP center round box 100%>
 $t$ = halber Tagbogen \\
-$\lambda_0$, $\beta_0$ = geographische Koordinaten des Beobachters \\
+$\lambda_0$, $\beta_0$ = geografische Koordinaten des Beobachters \\
 $\alpha$, $\delta$ = äquatoriale Koordinaten des Himmelsobjekts \\
-$GMST$ = [[:zeiteingabe#sternzeit|mittlere Greenwich Sternzeit]] (Greenwich mean siderial time) um 00:00 Uhr $UT$
+$GMST$ = [[:zeiteingabe#sternzeit|mittlere Greenwich Sternzeit]] (Greenwich mean sidereal time) um 00:00 Uhr $UT$
 </WRAP>
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-Für die Sonne gilt als Auf/Untergangshöhe $h = -50' = -0\overset{\circ}{.}833333$. Man benötigt weiters die geozentrischen äquatorialen Koordinaten $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}$ für die Sonne um $\textrm{00:00}\;UT$ des gegebenen Tages und die mittlere Sternzeit $GMST$ in Greenwich für denselben Zeitpunkt, sowie die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$.
+Für die Sonne gilt als Auf/Untergangshöhe $h = -50' = -0\overset{\circ}{.}833333$. Man benötigt weiter die geozentrischen äquatorialen Koordinaten $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}$ für die Sonne um $\textrm{00:00}\;UT$ des gegebenen Tages und die mittlere Sternzeit $GMST$ in Greenwich für denselben Zeitpunkt, sowie die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$.
 <WRAP center round tip 100%>
-Man kann die [[:astronomische_begriffe#topozentrisch|topozentrischen Koordinaten]] der Sonne verwenden. Die Sonnenparallaxe ist aber relativ klein mit etwa $8\overset{''}{.}749$ und liegt weit unterhalb der Genauigkeit dieses Algorithmus. Topozentrische Koordinaten lohnen sich nur beim Erdmond.
+Man kann die [[:astronomische_begriffe#topozentrisch|topozentrischen Koordinaten]] der Sonne verwenden. Die Sonnenparallaxe ist aber relativ klein mit etwa $8\overset{''}{.}749$ und liegt weit unterhalb der Genauigkeit dieses Algorithmus. Die topozentrischen Koordinaten lohnen sich nur beim Erdmond.
 </WRAP>
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 <WRAP center round tip 100%>
-Da man sich nicht allzu weit von der Epoche $J2000$ entfernt befindet kann man die Terme für $T^2$ und $T^3$ hier auch vernachlässigen.
+Da man sich nicht allzu weit von der Epoche $J2000$ entfernt befindet, kann man die Terme für $T^2$ und $T^3$ hier auch vernachlässigen.
 </WRAP>
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 \end{align}\) |
-Dies ist ein Stundenwert und wird durch Mulitplikation mit $15$ in Grad umgewandelt.
+Dies ist ein Stundenwert und wird durch Multiplikation mit $15$ in Grad umgewandelt.
 \(\begin{align}
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 \end{align}\)
-Nun hat man sämliche Werte für $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}, GMST$ sowie die geografische Länge $\lambda_0 = -10^{\circ}$ (Ost negativ!) in Grad gegeben. Die Kulminationszeit $K$ ist dann
+Nun hat man sämtliche Werte für $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}, GMST$, sowie die geografische Länge $\lambda_0 = -10^{\circ}$ (Ost negativ!) in Grad gegeben. Die Kulminationszeit $K$ ist dann
 \(\begin{align}
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 Die Astronomiesoftware GUIDE gibt für den gegebenen Tag die folgenden Daten an:
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=Auto&colwidth="130px,130px,130px"}}
-^ Event ^ hier ^ GUIDE ^
+^  Event  ^  hier  ^  GUIDE  ^
-| Aufgang      |  $3^h 27^m  \;UT$  |  $3^h 27^m \;UT$  |
+|  Aufgang:      |  $3^h 27^m  \;UT$  |  $3^h 27^m \;UT$   |
-| Kulmination  |  $11^h 17^m \;UT$  |  $11^h 17^m \;UT$ |
+|  Kulmination:  |  $11^h 17^m \;UT$  |  $11^h 17^m \;UT$  |
-| Untergang    |  $19^h 6^m  \;UT$  |  $19^h 7^m \;UT$  |
+|  Untergang:    |  $19^h 6^m  \;UT$  |  $19^h 7^m \;UT$   |
 </WRAP>
 <WRAP center round important 100%>
-Bei Höhen von wenigen Grad bzw. wenn sich Objekte an ihrem Auf-/Untergangspunkt befinden, sind die Ergebnisse der Formeln für die [[:koordinatenreduktion#refraktion|Refraktion]] mit Vorsicht zu beurteilen. In der Nähe des Horizonts spielen unvorhersehbare Störungen der Atmosphäre eine große Rolle. Nach Untersuchungen von [[:literaturhinweise#paper_schaelill|B. Schaefer und W. Liller]] (1990) schwankt die Refraktion am Horizont normalerweise um $0\overset{\circ}{.}3 = 18'$ um den Mittelwert, teilweise auch deutlich mehr. **Es macht daher keinen Sinn, die Auf- oder Untergangszeiten eines Himmelskörpers genauer als auf ganze Minuten anzugeben**.
+Bei Höhen von wenigen Grad bzw. wenn sich Objekte an ihrem Auf-/Untergangspunkt befinden, sind die Ergebnisse der Formeln für die [[:koordinatenreduktion#refraktion|Refraktion]] mit Vorsicht zu beurteilen. In der Nähe des Horizonts spielen unvorhersehbare Störungen der Atmosphäre eine große Rolle. Nach Untersuchungen von [[:literaturhinweise#paper_schaelill|B. Schaefer und W. Liller]] (1990) schwankt die Refraktion am Horizont normalerweise um $0\overset{\circ}{.}3 = 18'$ um den Mittelwert, teilweise auch deutlich mehr. **Es macht daher keinen Sinn, die Auf- oder Untergangszeiten eines Himmelskörpers genauer als auf //ganze Minuten// anzugeben**.
 </WRAP>
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 $$T_{i+1} = T_i + \frac{t_i - \tau_i}{\mu_i}\tag{14}$$
-Hat man den neuen Wert $T_i$ berechnet, so muss man nun die geozentrisch äquatorialen Koordianten des Mondes $\alpha_i$ und $\delta_i$ erneut berechnen und dann mit den neuen Werten zur Sternzeit $\Theta_i$ springen. Der Durchlauf startet solange erneut, bis ein genügend geringer Differenzwert zwischen $T_{i+1}$ und $T_i$ gefunden wird.
+Hat man den neuen Wert $T_i$ berechnet, so muss man nun die geozentrisch äquatorialen Koordinaten des Mondes $\alpha_i$ und $\delta_i$ erneut berechnen und dann mit den neuen Werten zur Sternzeit $\Theta_i$ springen. Der Durchlauf startet solange erneut, bis ein genügend geringer Differenzwert zwischen $T_{i+1}$ und $T_i$ gefunden wird.
 <WRAP center round info>
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 \end{align}\)
-Damit berechnet man nun sukzessive die neuen Mondkoordinaten sowie den neuen Stundenwinkel analog zu Schritt "0" und erhält
+Damit berechnet man nun sukzessive die neuen Mondkoordinaten, sowie den neuen Stundenwinkel analog zu Schritt "0" und erhält
 \(\begin{align}
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 <imgcaption image2|Prinzip der Nullstellensuche mit quadratischer Interpolation>{{ :methodik_auf_unter_montenbruck.png?800 |}}</imgcaption>
-Man beginnt für beide Kurven mit den ersten Zeitpunkt $t = 1^h$ bis $t = 24^h$, berechnet den Stundenwinkel $\tau(t)$ als Startwert und ermittelt daraufhin die drei in der Graphik gezeigten Stützpunkte für
+Man beginnt für beide Kurven mit den ersten Zeitpunkt $t = 1^h$ bis $t = 24^h$, berechnet den Stundenwinkel $\tau(t)$ als Startwert und ermittelt daraufhin die drei in der Grafik gezeigten Stützpunkte für den gesuchten Zeitpunkt $x$:
-den gesuchten Zeitpunkt $x$:
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="220px,170px"&float=center}}
 ^  Tabelle 3  ||
 ^  Auf-/Untergang  ^  Resultat  ^
-| $y_{-} = f(t - 1^h)$  | $y_+ = a + b + c$  |
+|  $y_{-} = f(t - 1^h)$  |  $y_+ = a + b + c$  |
-| $y_0 = f(t)$          | $y_0 = c$          |
+|  $y_0 = f(t)$          |  $y_0 = c$          |
-| $y_{+} = f(t + 1^h)$  | $y_- = a - b + c$  |
+|  $y_{+} = f(t + 1^h)$  |  $y_- = a - b + c$  |
 Dann bestimmt man $a, b$ und $c$ und damit die beiden Nullstellen der obigen Tagbogen-Funktion.
@@ Zeile 520: / Zeile 519: @@
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="100px,300px"&float=center}}
 ^  $t(h)$  ^ Höhe $h$ [°]            ^
-|  $\color{#cc0000}{-1}$    | $\color{#cc0000}{-9.9174564728524164}$   |
+|  $\color{#cc0000}{-1}$    |  $\color{#cc0000}{-9.9174564728524164}$   |
-|  $0$     | $-1.4008879269623948$   |
+|  $0$     |  $-1.4008879269623948$   |
-|  $1$     | $+7.6619905974511200$   |
+|  $1$     |  $+7.6619905974511200$   |
-|  $2$     | $+16.264024232490367$   |
+|  $2$     |  $+16.264024232490367$   |
-|  $3$     | $+23.966091982009797$   |
+|  $3$     |  $+23.966091982009797$   |
-|  $4$     | $+30.230720083427663$   |
+|  $4$     |  $+30.230720083427663$   |
-|  $5$     | $+34.439308630383543$   |
+|  $5$     |  $+34.439308630383543$   |
-|  $6$     | $+36.030017284660161$   |
+|  $6$     |  $+36.030017284660161$   |
-|  $7$     | $+34.743031979369547$   |
+|  $7$     |  $+34.743031979369547$   |
-|  $8$     | $+30.770848659482951$   |
+|  $8$     |  $+30.770848659482951$   |
-|  $9$     | $+24.639260861006612$   |
+|  $9$     |  $+24.639260861006612$   |
-|  $10$    | $+16.959030561803836$   |
+|  $10$    |  $+16.959030561803836$   |
-|  $11$    | $+8.2681369546535599$   |
+|  $11$    |  $+8.2681369546535599$   |
-|  $12$    | $-0.99967795779209334$  |
+|  $12$    |  $-0.99967795779209334$  |
-|  $13$    | $-10.481806306675004$   |
+|  $13$    |  $-10.481806306675004$   |
-|  $14$    | $-19.832722193158880$   |
+|  $14$    |  $-19.832722193158880$   |
-|  $15$    | $-28.660280873493534$   |
+|  $15$    |  $-28.660280873493534$   |
-|  $16$    | $-36.452091347905856$   |
+|  $16$    |  $-36.452091347905856$   |
-|  $17$    | $-42.511934105372944$   |
+|  $17$    |  $-42.511934105372944$   |
-|  $18$    | $-46.002569282772313$   |
+|  $18$    |  $-46.002569282772313$   |
-|  $19$    | $-46.256329565749390$   |
+|  $19$    |  $-46.256329565749390$   |
-|  $20$    | $-43.232253621070868$   |
+|  $20$    |  $-43.232253621070868$   |
-|  $21$    | $-37.554964310685151$   |
+|  $21$    |  $-37.554964310685151$   |
-|  $22$    | $-30.076882290628159$   |
+|  $22$    |  $-30.076882290628159$   |
-|  $23$    | $-21.531024404194824$   |
+|  $23$    |  $-21.531024404194824$   |
-|  $\color{#cc0000}{24}$    | $\color{#cc0000}{-1.4008879269623948}$   |
+|  $\color{#cc0000}{24}$    |  $\color{#cc0000}{-1.4008879269623948}$   |
-|  $\color{#cc0000}{25}$    | $\color{#cc0000}{-3.9230286546594542}$   |
+|  $\color{#cc0000}{25}$    |  $\color{#cc0000}{-3.9230286546594542}$   |
 $t(h) = -1^h$ liegt im Vortag ($23$ Uhr), $t(h) = 24^h$ und $t(h) = 25^h$ liegen im nächsten Tag ($0$ Uhr bzw. $1$ Uhr)
@@ Zeile 589: / Zeile 588: @@
 \end{split}\tag{23}\]
-$m_k$ steht für $m_0$ , $m_1$, $m_2$ und muß zwischen $0^h$ und $24^h$ liegen ([[:mathematische_grundlagen#reduktions-_und_rundungsfunktion|Reduktionsfunktion]]: red($m_k$,$24^h$)). Es wurde bereits oben gezeigt, daß man bei Sonne, Sterne und den Planeten bereits mit $m_1$ den Aufgangszeitpunkt, mit $m_2$ den Untergangszeitpunkt und mit $m_0$ die Kulminationszeit hat. Berechnet man jedoch den Mond, sind zusätzliche Gleichungen nötig. Aus der [[:zeiteingabe#sternzeit|LMST]] bestimmt man wieder die lokale Sternzeit $\Theta_k$:
+$m_k$ steht für $m_0$ , $m_1$, $m_2$ und muss zwischen $0^h$ und $24^h$ liegen ([[:mathematische_grundlagen#reduktions-_und_rundungsfunktion|Reduktionsfunktion]]: red($m_k$,$24^h$)). Es wurde bereits oben gezeigt, dass man bei Sonne, Sterne und den Planeten bereits mit $m_1$ den Aufgangszeitpunkt, mit $m_2$ den Untergangszeitpunkt und mit $m_0$ die Kulminationszeit hat. Berechnet man jedoch den Mond, sind zusätzliche Gleichungen nötig. Aus der [[:zeiteingabe#sternzeit|LMST]] bestimmt man wieder die lokale Sternzeit $\Theta_k$:
 $$\Theta_k = LMST + 1.00273790931 \cdot m_k\tag{24}$$
@@ Zeile 597: / Zeile 596: @@
 Für $y_i$ ist der jeweilige Wert von $\alpha_i$ oder $\delta_i$ einzusetzen. Man erhält dann die interpolierten Koordinaten y = $\alpha$ oder y = $\delta$. Um einen Sprung in der Darstellung von $24^h$ auf $0^h$ zu vermeiden, muss folgende Relation beachtet werden:
-<code>
+Zähle $i = 1$ bis $2$ \\
-Zähle i = 1 bis 2
+$\quad$ Falls |$\alpha_{i+1} - \alpha_i$| > $12^h$ dann gilt: \\
-Falls |α(i+1) > α(i)| > 12h dann gilt:
+$\qquad$ Falls $\alpha_{i+1} > \alpha_i$ dann gilt: \\
-α(i) = α(1) + 24h
+$\quad\qquad$ $\alpha_i = \alpha_i + 24^h$ \\
-sonst gilt:
+$\qquad$ sonst gilt: \\
-α(i+1) = α(i+1) + 24h
+$\quad\qquad$ $\alpha_{i+1} = \alpha_{i+1} + 24^h$ \\
-Ende
+$\qquad$ Ende \\
-Ende
+$\quad$ Ende \\
-Nächstes i
+Nächstes $i$
-</code>
 Ab hier werden nur noch die interpolierten Koordinaten des Mondes gebraucht. Der Stundenwinkel $\tau$ stammt aus Gleichung (10):
@@ Zeile 631: / Zeile 629: @@
 ----
-Als erstes werden die geozentrisch - äquatorialen koordinaten des Mondes für die drei Zeitpunkte am 15.1., am 16.1 und am 17.1. bestimmt, z.B. mit dem "schneller" Algorithmus laut [[:erdmond#mondposition|dieser Methode]]:
+Als erstes werden die geozentrisch - äquatorialen Koordinaten des Mondes für die drei Zeitpunkte am 15.1., am 16.1 und am 17.1. bestimmt, z.B. mit dem "schnellen" Algorithmus laut [[:erdmond#mondposition|dieser Methode]]:
 \(\begin{align}
@@ Zeile 671: / Zeile 669: @@
 \end{align}\)
-Die Korrektur ist damit sehr klein. Daraus resultiert, daß die Meeus-Variante sehr effektiv ist. Und damit hat man die Aufgangszeit des Erdmondes am 16.1.2001:
+Die Korrektur ist damit sehr klein. Daraus resultiert, dass die Meeus-Variante sehr effektiv ist. Und damit hat man die Aufgangszeit des Erdmondes am 16.1.2001:
 \(\begin{align}
@@ Zeile 681: / Zeile 679: @@
 in Übereinstimmung mit den Beispielen 2 und 3.
 </WRAP>
+===== Sichtweite und Kimmtiefe =====
+Diesen beiden Themen ist eine eigene [[sichtweite_und_kimmtiefe|Seite]] gewidmet.