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--- auf-_und_untergangszeiten [2024/05/30 20:41] – [Numerisches Interpolationsverfahren] quern
+++ auf-_und_untergangszeiten [2025/06/12 01:16] (aktuell) – [Alternative Version von J. Meeus] hcgreier
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 | Sonstige:      | $h$ = $-0^{\circ} 34'$  | astronomisch:  | $h$ = $-18^{\circ}$  |
-Hat man die Höhen gefunden, so berechnet man als nächstes den halben Tagbogen:
+Hat man die Höhen gefunden, so berechnet man als nächstes den halben Tagbogen, der zwischen $0^h$ und $12^h$ liegen muß:
 $$\cos(15^h\cdot t) = \frac{\sin(h) - \sin(\beta_0) \cdot \sin(\delta)}{\cos(\beta_0) \cdot \cos(\delta)}\tag{1}$$
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-Für die Sonne gilt als Auf/Untergangshöhe $h = -50' = -0\overset{\circ}{.}833333$. Man benötigt weiters die geozentrischen äquatorialen Koordinaten $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}$ für die Sonne um $\textrm{00:00}\;UT$ des gegebenen Tages und die mittlere Sternzeit $GMST$ in Greenwich für denselben Zeitpunkt, sowie die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$.
+Für die Sonne gilt als Auf/Untergangshöhe $h = -50' = -0\overset{\circ}{.}833333$. Man benötigt weiter die geozentrischen äquatorialen Koordinaten $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}$ für die Sonne um $\textrm{00:00}\;UT$ des gegebenen Tages und die mittlere Sternzeit $GMST$ in Greenwich für denselben Zeitpunkt, sowie die mittlere Schiefe der Ekliptik $\varepsilon_0$.
 <WRAP center round tip 100%>
-Man kann die [[:astronomische_begriffe#topozentrisch|topozentrischen Koordinaten]] der Sonne verwenden. Die Sonnenparallaxe ist aber relativ klein mit etwa $8\overset{''}{.}749$ und liegt weit unterhalb der Genauigkeit dieses Algorithmus. Topozentrische Koordinaten lohnen sich nur beim Erdmond.
+Man kann die [[:astronomische_begriffe#topozentrisch|topozentrischen Koordinaten]] der Sonne verwenden. Die Sonnenparallaxe ist aber relativ klein mit etwa $8\overset{''}{.}749$ und liegt weit unterhalb der Genauigkeit dieses Algorithmus. Die topozentrischen Koordinaten lohnen sich nur beim Erdmond.
 </WRAP>
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 <WRAP center round tip 100%>
-Da man sich nicht allzu weit von der Epoche $J2000$ entfernt befindet kann man die Terme für $T^2$ und $T^3$ hier auch vernachlässigen.
+Da man sich nicht allzu weit von der Epoche $J2000$ entfernt befindet, kann man die Terme für $T^2$ und $T^3$ hier auch vernachlässigen.
 </WRAP>
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 \end{align}\) |
-Dies ist ein Stundenwert und wird durch Mulitplikation mit $15$ in Grad umgewandelt.
+Dies ist ein Stundenwert und wird durch Multiplikation mit $15$ in Grad umgewandelt.
 \(\begin{align}
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 \end{align}\)
-Nun hat man sämliche Werte für $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}, GMST$ sowie die geografische Länge $\lambda_0 = -10^{\circ}$ (Ost negativ!) in Grad gegeben. Die Kulminationszeit $K$ ist dann
+Nun hat man sämtliche Werte für $\alpha_{\odot}, \delta_{\odot}, GMST$, sowie die geografische Länge $\lambda_0 = -10^{\circ}$ (Ost negativ!) in Grad gegeben. Die Kulminationszeit $K$ ist dann
 \(\begin{align}
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 \end{align}\)
-Diese Zeitpunkte sind natürlich in Weltzeit $UT$. Die Umrechnung in die gewünschte [[:zeiteingabe#zeitzone|Zeitzone]] kann noch angebracht werden.
+Diese Zeitpunkte gelten natürlich für die lokale [[:zeiteingabe#zeitzone|Zeit]] (hier: MOZ). Die Umrechnung in die Sommerzeit kann noch angebracht werden. Sie gilt dann allerdings für den lokalen Meridian.
 Die Astronomiesoftware GUIDE gibt für den gegebenen Tag die folgenden Daten an:
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 <WRAP center round important 100%>
-Bei Höhen von wenigen Grad bzw. wenn sich Objekte an ihrem Auf-/Untergangspunkt befinden, sind die Ergebnisse der Formeln für die [[:koordinatenreduktion#refraktion|Refraktion]] mit Vorsicht zu beurteilen. In der Nähe des Horizonts spielen unvorhersehbare Störungen der Atmosphäre eine große Rolle. Nach Untersuchungen von [[:literaturhinweise#paper_schaelill|B. Schaefer und W. Liller]] (1990) schwankt die Refraktion am Horizont normalerweise um $0\overset{\circ}{.}3 = 18'$ um den Mittelwert, teilweise auch deutlich mehr. **Es macht daher keinen Sinn, die Auf- oder Untergangszeiten eines Himmelskörpers genauer als auf ganze Minuten anzugeben**.
+Bei Höhen von wenigen Grad bzw. wenn sich Objekte an ihrem Auf-/Untergangspunkt befinden, sind die Ergebnisse der Formeln für die [[:koordinatenreduktion#refraktion|Refraktion]] mit Vorsicht zu beurteilen. In der Nähe des Horizonts spielen unvorhersehbare Störungen der Atmosphäre eine große Rolle. Nach Untersuchungen von [[:literaturhinweise#paper_schaelill|B. Schaefer und W. Liller]] (1990) schwankt die Refraktion am Horizont normalerweise um $0\overset{\circ}{.}3 = 18'$ um den Mittelwert, teilweise auch deutlich mehr. **Es macht daher keinen Sinn, die Auf- oder Untergangszeiten eines Himmelskörpers genauer als auf //ganze Minuten// anzugeben**.
 </WRAP>
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 $$\Theta_{i+1} = \Theta_i + 1.00273790931\cdot (T_{i+1} − T_i)\tag{8}$$
-im nachfolgenden Durchgang. Die Höhe lautet:
+im nachfolgenden Durchgang. Es wird die "//geozentrische//" Höhe verwendet, sie lautet für den Mond:
 $$h_0 = + 0^{\circ} 08' = 0\overset{\circ}{.}1333\dots\tag{9}$$
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 $$T_{i+1} = T_i + \frac{t_i - \tau_i}{\mu_i}\tag{14}$$
-Hat man den neuen Wert $T_i$ berechnet, so muss man nun die geozentrisch äquatorialen Koordianten des Mondes $\alpha_i$ und $\delta_i$ erneut berechnen und dann mit den neuen Werten zur Sternzeit $\Theta_i$ springen. Der Durchlauf startet solange erneut, bis ein genügend geringer Differenzwert zwischen $T_{i+1}$ und $T_i$ gefunden wird.
+Hat man den neuen Wert $T_i$ berechnet, so muss man nun die geozentrisch äquatorialen Koordinaten des Mondes $\alpha_i$ und $\delta_i$ erneut berechnen und dann mit den neuen Werten zur Sternzeit $\Theta_i$ springen. Der Durchlauf startet solange erneut, bis ein genügend geringer Differenzwert zwischen $T_{i+1}$ und $T_i$ gefunden wird.
 <WRAP center round info>
-Das iterative Verfahren wird in Stunden berechnet, nicht in Grad. Man sollte während der Iteration eine [[mathematische grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktion]] auf ein Intervall zwischen $0^h$ und $24^h$ vermeiden, denn das stört die Iteration erheblich.
+Das iterative Verfahren wird in **Stunden** berechnet, nicht in Grad. Man sollte während der Iteration eine [[mathematische grundlagen#reduktionsfunktion|Reduktion]] auf ein Intervall zwischen $0^h$ und $24^h$ vermeiden, denn das stört die Iteration erheblich.
 </WRAP>
@@ Zeile 381: / Zeile 381: @@
 \end{align}\)
-Damit berechnet man nun sukzessive die neuen Mondkoordinaten sowie den neuen Stundenwinkel analog zu Schritt "0" und erhält
+Damit berechnet man nun sukzessive die neuen Mondkoordinaten, sowie den neuen Stundenwinkel analog zu Schritt "0" und erhält
 \(\begin{align}
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 <imgcaption image2|Prinzip der Nullstellensuche mit quadratischer Interpolation>{{ :methodik_auf_unter_montenbruck.png?800 |}}</imgcaption>
-Man beginnt für beide Kurven mit den ersten Zeitpunkt $t = 1^h$ bis $t = 24^h$, berechnet den Stundenwinkel $\tau(t)$ als Startwert und ermittelt daraufhin die drei in der Graphik gezeigten Stützpunkte für
+Man beginnt für beide Kurven mit den ersten Zeitpunkt $t = 1^h$ bis $t = 24^h$, berechnet den Stundenwinkel $\tau(t)$ als Startwert und ermittelt daraufhin die drei in der Graphik gezeigten Stützpunkte für den gesuchten Zeitpunkt $x$:
-den gesuchten Zeitpunkt $x$:
 {{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="220px,170px"&float=center}}
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 ==== Beispiel 3 ====
-{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Zeitpunkt (in $MEZ$) des Mondaufgangs am 16.1.2001 für den Ort $\lambda_0 = 15^{\circ}\;$Ost und $\beta_0 = 50^{\circ}\;$Nord.
+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Zeitpunkt (in $MEZ$) des Mondaufgangs am 16.1.2001 für den Ort $\lambda_0 = 10^{\circ}\;$Ost und $\beta_0 = 50^{\circ}\;$Nord.
 **
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-<WRAP center round info 100%>
+Man berechnet als erstes die Höhe $h$ im einem Intervall von 26 Stunden mit Hilfe von Gleichung (16):
-Beim Mond kann es vorkommen, dass er an einem bestimmten Datum nicht aufgeht oder auch nicht untergeht. Das entsprechende Event findet dann jeweils einen Tag davor oder einen Tag danach statt. Im nachfolgenden Beispiel ist dies der Fall. Natürlich führt man die praktische Berechnung mit Hilfe einer Schleife durch, hier werden die einzelnen Schritte explizit angeführt.
+{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="100px,300px"&float=center}}
+^  $t(h)$  ^ Höhe $h$ [°]            ^
+|  $\color{#cc0000}{-1}$    | $\color{#cc0000}{-9.9174564728524164}$   |
+|  $0$     | $-1.4008879269623948$   |
+|  $1$     | $+7.6619905974511200$   |
+|  $2$     | $+16.264024232490367$   |
+|  $3$     | $+23.966091982009797$   |
+|  $4$     | $+30.230720083427663$   |
+|  $5$     | $+34.439308630383543$   |
+|  $6$     | $+36.030017284660161$   |
+|  $7$     | $+34.743031979369547$   |
+|  $8$     | $+30.770848659482951$   |
+|  $9$     | $+24.639260861006612$   |
+|  $10$    | $+16.959030561803836$   |
+|  $11$    | $+8.2681369546535599$   |
+|  $12$    | $-0.99967795779209334$  |
+|  $13$    | $-10.481806306675004$   |
+|  $14$    | $-19.832722193158880$   |
+|  $15$    | $-28.660280873493534$   |
+|  $16$    | $-36.452091347905856$   |
+|  $17$    | $-42.511934105372944$   |
+|  $18$    | $-46.002569282772313$   |
+|  $19$    | $-46.256329565749390$   |
+|  $20$    | $-43.232253621070868$   |
+|  $21$    | $-37.554964310685151$   |
+|  $22$    | $-30.076882290628159$   |
+|  $23$    | $-21.531024404194824$   |
+|  $\color{#cc0000}{24}$    | $\color{#cc0000}{-1.4008879269623948}$   |
+|  $\color{#cc0000}{25}$    | $\color{#cc0000}{-3.9230286546594542}$   |
+$t(h) = -1^h$ liegt im Vortag ($23$ Uhr), $t(h) = 24^h$ und $t(h) = 25^h$ liegen im nächsten Tag ($0$ Uhr bzw. $1$ Uhr)
+Man kann bereits erkennen, zur welcher Uhrzeit der Mond aufgeht. Die Auswahl liefert jedoch das Programm: $t = 1^h$. Jetzt gilt es, die Parabel zu bestimmen. Mit den Parabelkoeffizienten $a, b$ und $c$
+$a = -0.23042244468713324$ \\
+$b = +8.8324560797263807$ \\
+$c = +7.6619905974511200$
+bekommt man die $y$-Werte:
+$y_- = -1.4008879269623948$ \\
+$y_0 = +7.6619905974511200$ \\
+$y_+ = +16.264024232490367$ \\
+Die Nullstellen ermittelt man mit der Mitternachtsformel (18):
+$x_2 = -0.84869064901308278$, $x_1$ ist mit $+39.180269379197370$ zu groß und entfällt somit.
+Jetzt muss festgestellt werden, ob man einen Aufgangs- oder Untergangspunkt gefunden hat. Das läuft über das Extremum (Gleichung 19). Mit $x_N = +19.165789365092142$ ist $x_N \gt 0$ und damit hat man den **Aufgangzeitpunkt** gefunden.
+Es gilt: $T_a = t_0 + x_2 = 1^h - 0\overset{h}{.}84869064901308278 = 0\overset{h}{.}151309351 = 00^h 09^m$, in Übereinstimmung mit dem Resultat aus Beispiel 2.
 </WRAP>
-Man berechnet als erstes die Höhe h im einem Intervall von 26 Stunden:
+==== Alternative Version von J. Meeus ====
-{{tablelayout?rowsHeaderSource=1&colwidth="60px,260px"&float=center}}
+J. Meeus geht ebenfalls den Weg über die Interpolation, aber das Ziel sind die äquatorialen Koordinaten des Himmelsobjekts, die über einem kurzen Zeitraum von drei Tagen berechnet werden müssen. Die Vorgehensweise ist in Analogie zum Abschnitt [[:auf-_und_untergangszeiten#sonne_sterne_und_planeten|Sonne, Sterne und Planeten]]. Es folgt nun die Berechnung der [[:koordinatentransformation#geozentrische_koordinaten|geozentrisch - äquatorialen Koordinaten]] des entsprechenden Himmelskörpers zu folgenden drei Zeitpunkten um 0$^h$ dynamischer Zeit:
-^ t[h] ^ Höhe h[°] ^
-| $-$1 | $-$9.9174564728524164 |
-| 0 | $-$1.4008879269623948 |
-| 1 | 7.6619905974511200 |
-| 2 | 16.264024232490367 |
-| 3 | 23.966091982009797 |
-| 4 | 30.230720083427663 |
-| 5 | 34.439308630383543 |
-| 6 | 36.030017284660161 |
-| 7 | 34.743031979369547 |
-| 8 | 30.770848659482951 |
-| 9 | 24.639260861006612 |
-| 10 | 16.959030561803836 |
-| 11 | 8.2681369546535599 |
-| 12 | $-$0.99967795779209334 |
-| 13 | $-$10.481806306675004 |
-| 14 | $-$19.832722193158880 |
-| 15 | $-$28.660280873493534 |
-| 16 | $-$36.452091347905856 |
-| 17 | $-$42.511934105372944 |
-| 18 | $-$46.002569282772313 |
-| 19 | $-$46.256329565749390 |
-| 20 | $-$43.232253621070868 |
-| 21 | $-$37.554964310685151 |
-| 22 | $-$30.076882290628159 |
-| 23 | $-$21.531024404194824 |
-| 24 | $-$1.4008879269623948 |
-| 25 | $-$3.9230286546594542 |
--1 liegt im Vortag (23h Uhr), 24h und 25 liegen im nächsten Tag (0 Uhbr bzw. 1 Uhr)
+\[\begin{align}
+\alpha_1,& \delta_1 \quad\textsf{am Tag}\quad d - 1^d \quad\textsf{um}\quad 0^h \\
+\alpha_2,& \delta_2 \quad\textsf{am Tag}\quad d \quad\textsf{um}\quad 0^h \\
+\alpha_3,& \delta_3 \quad\textsf{am Tag}\quad d + 1^d \quad\textsf{um}\quad 0^h
+\end{align}\]
-Man kann bereits erkennen, zur welcher Uhrzeit der Mond aufgeht. Die Auswahl liefert jedoch das Programm: t = 1. Jetzt gilt es, die Parabel zu bestimmen. Mit den Parabelkoeffizienten a, b und c
+Mit Hilfe der maßgebenden Koordinaten $\alpha_2$, $\delta_2$ wird über Gleichung (1) der halbe Tagbogen t berechnet. Es gilt mit $\mu_p$ = 1 und den Gleichungen (2), (4) und (5):
-a = $-$0.23042244468713324 \\
+\[\begin{split}
-b = 8.8324560797263807 \\
+m_0 &= K\\
-c = 7.6619905974511200
+m_1 &= K - t\\
+m_2 &= K + t
+\end{split}\tag{23}\]
-bekommt man die y Werte:
+$m_k$ steht für $m_0$ , $m_1$, $m_2$ und muß zwischen $0^h$ und $24^h$ liegen ([[:mathematische_grundlagen#reduktions-_und_rundungsfunktion|Reduktionsfunktion]]: red($m_k$,$24^h$)). Es wurde bereits oben gezeigt, daß man bei Sonne, Sterne und den Planeten bereits mit $m_1$ den Aufgangszeitpunkt, mit $m_2$ den Untergangszeitpunkt und mit $m_0$ die Kulminationszeit hat. Berechnet man jedoch den Mond, sind zusätzliche Gleichungen nötig. Aus der [[:zeiteingabe#sternzeit|LMST]] bestimmt man wieder die lokale Sternzeit $\Theta_k$:
+$$\Theta_k = LMST + 1.00273790931 \cdot m_k\tag{24}$$
-$y_-$ = $-$1.4008879269623948 \\
+Nun wird die Interpolation der drei Mondpositionen gebraucht:
-$y_0$ = +7.6619905974511200 \\
+$$y = y_2 + \frac{n}{2}\cdot\left[ y_3 - y_1 + n \cdot (y_1 + y_3 - 2\cdot y_2) \right] \quad\text{mit}\quad n = \frac{m_k}{24^h}\tag{25}$$
-$y_+$ = +16.264024232490367 \\
-Die Nullstellen ermittelt man mit der Mitternachtsformel:
+Für $y_i$ ist der jeweilige Wert von $\alpha_i$ oder $\delta_i$ einzusetzen. Man erhält dann die interpolierten Koordinaten y = $\alpha$ oder y = $\delta$. Um einen Sprung in der Darstellung von $24^h$ auf $0^h$ zu vermeiden, muss folgende Relation beachtet werden:
-$x_2$ = $-$0.84869064901308278, $x_1$ ist mit +39.180269379197370 zu groß und entfällt somit.
+Zähle $i = 1$ bis $2$ \\
+$\quad$ Falls |$\alpha_{i+1} - \alpha_i$| > $12^h$ dann gilt: \\
+$\qquad$ Falls $\alpha_{i+1} > \alpha_i$ dann gilt: \\
+$\quad\qquad$ $\alpha_i = \alpha_i + 24^h$ \\
+$\qquad$ sonst gilt: \\
+$\quad\qquad$ $\alpha_{i+1} = \alpha_{i+1} + 24^h$ \\
+$\qquad$ Ende \\
+$\quad$ Ende \\
+Nächstes $i$
-Jetzt muss festgestellt werden, ob man einen Aufgangs- oder Untergangspunkt gefunden hat. Das läuft über das Extremum. Mit $x_N$ = 19.165789365092142 ist $x_N$ größer Null und damit hat man den Aufgangzeitpunkt gefunden.
+Ab hier werden nur noch die interpolierten Koordinaten des Mondes gebraucht. Der Stundenwinkel $\tau$ stammt aus Gleichung (10):
+$$\tau = \Theta_k - \frac{\alpha}{15^h}\tag{26}$$
-Es gilt: $T_a = t_0 + x_2$ = 1 $-$0.84869064901308278 = 0.151309351 = $00^h 09^m$ in Übereinstimmung mit dem Resultat aus Beispiel 2.
+Durchgang:
+$$\Delta m = - \tau\tag{27}$$
+Auf-/Untergang:
+$$\Delta m = \frac{H-h_0}{15^h\cdot\cos(\delta)\cdot\cos(\beta_0)\cdot\sin(15^h\cdot\tau)}\tag{28}$$
+Die Höhe $h_0$ stammt aus Tabelle 1. Die Höhe $H$ bekommt man mit:
+$$\sin(H) = \sin(\beta_0)\cdot\sin(\delta) + \cos(\beta_0)\cdot\cos(\delta) \cdot \cos(15^h\cdot\tau)\tag{29}$$
+Der gesuchte Zeitpunkt $T$ ist dann:
+$$T = m_k + \Delta m\tag{30}$$
+<WRAP center round box 100%>
+==== Beispiel 4 ====
+{{:beispiel_calculator.png?nolink| }} **Man berechne den Zeitpunkt (in $MEZ$) des Mondaufgangs am 16.1.2001 für den Ort $\lambda_0 = 10^{\circ}\;$Ost und $\beta_0 = 50^{\circ}\;$Nord.
+**
+----
+Als erstes werden die geozentrisch - äquatorialen Koordinaten des Mondes für die drei Zeitpunkte am 15.1., am 16.1 und am 17.1. bestimmt, z.B. mit dem "schnellen" Algorithmus laut [[:erdmond#mondposition|dieser Methode]]:
+\(\begin{align}
+.01.2001:\quad \alpha_1 &= 12\overset{h}{.}455588640675865 & \delta_1 = +2\overset{\circ}{.}7180513083004127 \\
+.01.2001:\quad \alpha_2 &= 13\overset{h}{.}295955922809693 & \delta_2 = -2\overset{\circ}{.}5095094272111229 \\
+.01.2001:\quad \alpha_3 &= 14\overset{h}{.}116613997835508 & \delta_3 = -7\overset{\circ}{.}4619042104156623
+\end{align}\)
+Der halbe Tagbogen und die Durchgangszeit $m_0$ wurde ermittelt zu:
+\(\begin{align}
+t &= 5\overset{h}{.}7865382720225993\\
+m_0 &= 5\overset{h}{.}9320637476530429
+\end{align}\)
+Daraus ergibt sich die erste Abschätzung der Aufgangszeit:
+$m_1 = 0\overset{h}{.}14552547563044360 = 00^h 08^m 44^s$
+Die interpolierten Koordinaten des Erdtrabanten sind:
+\(\begin{align}
+\alpha &= 13\overset{h}{.}300991425177983\\
+\delta &= -2\overset{\circ}{.}5403677618275222
+\end{align}\)
+Der Stundenwinkel $\tau$ und die Höhe $H$ sind:
+\(\begin{align}
+\tau &= -5\overset{h}{.}7911753388363190\\
+H &= 6\overset{\circ}{.}5070941042247865 \cdot 10^{-2} \approx 4'
+\end{align}\)
+Die Korrektur $\Delta m$ lautet:
+\(\begin{align}
+\Delta m &= 7\overset{h}{.}0973970892369157 \cdot 10^{-3} \\
+&= 00^h 00^m 25\overset{s}{.}6
+\end{align}\)
+Die Korrektur ist damit sehr klein. Daraus resultiert, daß die Meeus-Variante sehr effektiv ist. Und damit hat man die Aufgangszeit des Erdmondes am 16.1.2001:
+\(\begin{align}
+T &= m_1 + \Delta m\\
+T &= 0\overset{h}{.}14552547563044360 + 7\overset{h}{.}0973970892369157 \cdot 10^{-3}\\
+&= 0\overset{h}{.}152622872719 = 00^h 09^m 10^s
+\end{align}\)
+in Übereinstimmung mit den Beispielen 2 und 3.
 </WRAP>
+===== Sichtweite und Kimmtiefe =====
+Diesen beiden Themen ist eine eigene [[sichtweite_und_kimmtiefe|Seite]] gewidmet.