Quadratische Gleichungen lösen

Einfache lineare Gleichungen kennt man noch aus der Unterstufe. Meistens kommt darin ein unbekannter Faktor \(\displaystyle x\) vor, und man sollte die Gleichung „auflösen“, um an den Wert von diesem \(\displaystyle x\) zu kommen.

\(\displaystyle 4x-7=5\)

Man bringt die 7 auf die rechte Seite, indem man auf beiden Seiten \(\displaystyle +7\) addiert:

\(\displaystyle 4x=12\)

Dann dividiert man durch den Faktor \(\displaystyle 4\), denn man will ja \(\displaystyle x\) berechnen und nicht \(\displaystyle 4\cdot x\) und erhält

\(\displaystyle x=3\)

So weit, so einfach. Was tut man, wenn in der Gleichung das \(\displaystyle x\) mit der 2. Potenz, also quadratisch auftaucht?

Als Beispiel: \(\displaystyle 4{{x}^{2}}-7x=2\)

Nun kann man nicht mehr mit einfachem Umgruppieren das \(\displaystyle x\) ermitteln, denn es kommt in der Gleichung als \(\displaystyle x^2\) und als \(\displaystyle x\) vor, neben ein paar konstanten Zahlen. Man kann aber zumindest die Gleichung so umformen, dass auf der rechten Seite eine Null steht:

\(\begin{align}4{{x}^{2}}-7x & =2\quad \quad |\,-2\\4{{x}^{2}}-7x-2 & =0\end{align}\)

Was hier steht nennt man eine quadratische Gleichung. Die höchste Potenz, mit der \(\displaystyle x\) vorkommt, ist die 2, also \(\displaystyle x^2\). Weiters kommt \(\displaystyle x\) noch in der 1. Potenz vor, also als \(\displaystyle x\) selbst, der Rest sind konstante Zahlen, und auf der rechten Seite der Gleichung steht die \(\displaystyle 0\).

Man kann nun verschiedene Werte für \(\displaystyle x\) in die Gleichung einsetzen und eine Wertetabelle erstellen:

x Wert
-2 28
-1 9
0 -2
1 -5
2 0
3 13

Quadratische Gleichung lösenWenn man diese Punkte in einem x-y-Koordinatensystem einträgt, ergibt sich die nebenstehende Kurve. Diese Kurvenform nennt man eine Parabel, sie ist typisch für quadratische Gleichungen.

Wenn wir uns die quadratische Gleichung genau ansehen, steht auf der rechten Seite eine Null. Das bedeutet, wenn wir die Gleichung für \(\displaystyle x\) lösen, erhalten wir jene Punkte auf der Kurve, die auf der x-Achse liegen, also keinen senkrechten Abstand (y-Wert = 0) besitzen. Diese Punkte nennt man die Nullstellen der quadratischen Gleichung. In unserem Fall schneidet die Parabel die (waagrechte) x-Achse zweimal, also erwarten wir, das es zwei x-Werte geben wird, bei denen dies der Fall ist, also zwei Nullstellen.

Das Lösen einer quadratischen Gleichung bedeutet also, dass man die Nullstellen dieser Gleichung sucht.

Lösung der quadratischen Gleichung

Natürlich haben sich schon viele Mathematiker vor Jahrhunderten darüber den Kopf zerbrochen, wie man so ein Problem lösen kann. Man hat zwei Standard-Formeln entwickelt, die nur mit den Zahlen in der Gleichung – den Koeffizienten – auskommen. Eine dieser Formeln lautet

\(\displaystyle \large{{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c}}}}{{2\cdot a}}}\)

Man bezeichnet diese Formel oft als „Mitternachtsformel“. In dieser Formel bezeichnen die Faktoren \(\displaystyle a,\,b,\,c\) die Zahlen, die in der Gleichung vorkommen, und zwar ist

  • \(\displaystyle a\) der Faktor vor dem \(\displaystyle x^2\)
  • \(\displaystyle b\) der Faktor vor dem \(\displaystyle x\)
  • \(\displaystyle c\) der Faktor, der alleine steht und kein \(\displaystyle x\) enthält

Die Vorzeichen dieser Koeffizienten muss man ebenfalls beachten!

In unserem Fall haben wir die Gleichung

\(\displaystyle 4{{x}^{2}}-7x-2=0\),  also sind die Koeffizienten hier

  • \(\displaystyle a=4\)
  • \(\displaystyle b=-7\)
  • \(\displaystyle c=-2\)

Setzten wir diese Werte in die Mitternachtsformel ein, erhalten wir

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-(-7)\pm \sqrt{{{{{(-7)}}^{2}}-4\cdot 4\cdot (-2)}}}}{{2\cdot 4}}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{{+7\pm \sqrt{{49-(-32)}}}}{8}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{{7\pm \sqrt{{81}}}}{8}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{{7\pm 9}}{8}\end{array}\)

Das \(x_{1,2}\) bedeutet: Den ersten Wert \(\displaystyle x_{1}\) erhält man, wenn man in der Formel das \(\displaystyle +\) nimmt, und den zweiten Wert \(\displaystyle x_{2}\) erhält man, wenn man in der Formel das \(\displaystyle -\) nimmt, also

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{{7+9}}{8}=\frac{{16}}{8}=2\\{{x}_{2}}=\frac{{7-9}}{8}=\frac{{-2}}{8}=-\frac{1}{4}\end{array}\)

Wir haben beide Werte für \(\displaystyle x\) und damit die beiden Nullstellen \(\displaystyle {{N}_{1}},\,{{N}_{2}}\) der Gleichung berechnet:

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{N}_{1}}=\left( {2|0} \right)\\{{N}_{2}}=\left( {-\frac{1}{4}|0} \right)\end{array}\)

Tatsächlich sehen wir im obigen Graphen der Gleichung, dass die Parabel die x-Achse in diesen Punkten schneidet.


Es gibt noch eine weitere, einfachere Formel, um quadratische Gleichungen zu lösen. Diese Gleichung kann jedoch nur angewendet werden, wenn der Faktor \(\displaystyle a\) vor dem \(\displaystyle x^2\) gleich \(\displaystyle 1\) ist!

Die Formel wird oft als „p-q-Formel“ bezeichnet und lautet

\(\displaystyle \large{{{x}_{{1,2}}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{{{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}}^{2}}-q}}}\)

Die quadratische Gleichung muss dazu die Form

\(\displaystyle {{x}^{2}}+p\cdot x+q=0\)

haben, also der Faktor vor dem \(\displaystyle x^2\) muss eine \(\displaystyle 1\) sein!

Die Faktoren \(\displaystyle p\) und \(\displaystyle q\) bezeichnen darin wieder die vorkommenden Zahlen:

  • \(\displaystyle p\) ist der Faktor vor dem \(\displaystyle x\)
  • \(\displaystyle q\) ist der Faktor, der alleine steht und kein \(\displaystyle x\) enthält
  • Vor dem \(\displaystyle x^2\) darf nur der Faktor \(\displaystyle 1\) stehen, um diese Formel zu verwenden!

Unsere vorheriges Beispiel können wir also mit dieser „p-q-Formel“ nicht lösen, weil der Faktor vor dem \(\displaystyle x^2\) eine \(\displaystyle 4\) war, und nicht \(\displaystyle 1\)!

Das folgende Beispiel kann aber mit der „p-q-Formel“ gelöst werden.

Beispiel

Löse die quadratische Gleichung

\(\displaystyle {{x}^{2}}-3x=4\)

Lösung

Zuerst bringen wir die Gleichung in die Form, dass rechts eine Null steht:

\(\displaystyle \begin{align}{{x}^{2}}-3x & =4\quad \quad |-4\\{{x}^{2}}-3x-4 & =0\end{align}\)

Wir erkennen, dass vor dem \(\displaystyle x^2\) der Faktor \(\displaystyle 1\) steht, also können wir die Gleichung mit der einfacheren „p-q-Formel“ lösen.

\(\displaystyle \large{{{x}_{{1,2}}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{{{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}}^{2}}-q}}}\)

Wir erkennen

  • \(\displaystyle p=-3\)
  • \(\displaystyle q=-4\)

Einsetzen in die Formel liefert (aufpassen auf die Vorzeichen!)

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{{1,2}}}=-\frac{{(-3)}}{2}\pm \sqrt{{{{{\left( {\frac{{-3}}{2}} \right)}}^{2}}-(-4)}}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{3}{2}\pm \sqrt{{\frac{9}{4}+4}}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{3}{2}\pm \sqrt{{\frac{9}{4}+\frac{{16}}{4}}}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{3}{2}\pm \sqrt{{\frac{{25}}{4}}}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\end{array}\)

Quadratische Gleichung Bsp. 2Wir erhalten also die beiden Lösungen

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4\\{{x}_{2}}=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{2}{2}=-1\end{array}\)

Die Nullstellen dieser Gleichung liegen demnach bei

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{N}_{1}}=\left( {4|0} \right)\\{{N}_{2}}=\left( {-1|0} \right)\end{array}\)

 

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Keine Nullstellen? Error?

Natürlich kann es auch vorkommen, dass die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, wenn man sie in die Formeln einsetzt, keine Nullstellen (Lösungen) liefern. Das ist dann der Fall, wenn unter der Wurzel in der Formel negative Zahlen auftauchen. Aus einer negativen Zahl lässt sich bekanntlich keine (reelle) Quadratwurzel ziehen! Mehr dazu unter ⇒ Diskriminante der Mitternachtsformel.