Partielles Wurzelziehen

Manchmal kann man den Radikanden eines Wurzelausdrucks in ein Produkt aufspalten, wobei ein Teil des Produktes eine Zahl ist, aus der man die Wurzel ziehen kann.

Dafür ist es günstig, wenn man die wichtigsten Quadratzahlen und Kubikzahlen kennt. Weiters ist es hilfreich, wenn man die wichtigsten Zweierpotenzen kennt!

Quadratzahlen bis 20 Kubikzahlen bis 10 2er Potenzen bis 10
12 1 112 121
22 4 122 144
32 9 132 169
42 16 142 196
52 25 152 225
62 36 162 256
72 49 172 289
82 64 182 324
92 81 192 361
102 100 202 400
13 1
23 8
33 27
43 64
53 125
63 216
73 343
83 512
93 729
103 1000
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
29 512
210 1024

Beispiele:

\(\sqrt{8}=\sqrt{{2\cdot 4}}=\sqrt{{2\cdot {{2}^{2}}}}=2\sqrt{2}\)

\(\sqrt{{300}}=\sqrt{{3\cdot 100}}=\sqrt{{3\cdot {{{10}}^{2}}}}=10\sqrt{3}\)

\(\sqrt{{128}}=\sqrt{{2\cdot 64}}=\sqrt{{2\cdot {{8}^{2}}}}=8\sqrt{2}\)

\(\sqrt{{243}}=\sqrt{{3\cdot 81}}=\sqrt{{3\cdot {{9}^{2}}}}=9\sqrt{3}\)

\(\sqrt[3]{{81}}=\sqrt[3]{{3\cdot 27}}=\sqrt[3]{{3\cdot {{3}^{3}}}}=3\sqrt[3]{3}\)

\(\sqrt[4]{{64}}=\sqrt[4]{{16\cdot 4}}=\sqrt[4]{{{{2}^{4}}\cdot {{2}^{2}}}}=2\sqrt[4]{{{{2}^{2}}}}=2\cdot {{2}^{{\frac{2}{4}}}}=2\cdot {{2}^{{\frac{1}{2}}}}=2\sqrt{2}\)

Warum ist das notwendig?

Notwendig ist das eigentlich nicht, aber hilfreich. Man bekommt ein Gespür für Zahlen.

Früher musste man in der Schule noch die wichtigsten Wurzeln lernen, wie z.B.

\(\sqrt{2}\approx 1,4142\)

\(\sqrt{3}\approx 1,732\)

\(\sqrt{5}\approx 2,236\)

Solche Zahlen kommen bei Berechnungen recht häufig vor.

Ein kleines Beispiel:

Bei der Berechnung des Sprungs (freier Fall) von einem 10-Meter-Turm kommt man auf die Beziehung für die Geschwindigkeit

\(v = \sqrt{2\,g\,h}\)

Mit \(h=10\) und mit \(g\approx 10\) ergibt sich damit

\(v = \sqrt{2\cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{200}\)

Kennt man die Quadratzahlen, dann weiß man dass \(14^2 = 196\) ist, das Ergebnis wird also ein klein wenig größer als 14 sein. Durch partielles Wurzelziehen weiß man aber, dass

\(v = \sqrt{200} = \sqrt{2\cdot 100} = \sqrt{2\cdot 10^{2}} = 10\sqrt{2}\)

Weiß man nun auch noch die Wurzel aus 2, dann erhält man sofort

\(v = 10\sqrt{2} = 10\cdot 1,4142 = 14,142\)

Und das ganz ohne Taschenrechner!

Anmerkung: Das Ergebnis ist hier natürlich in Meter/Sekunde gegeben. Um Kilometer/Stunde zu erhalten, muss man mit dem Faktor 3,6 multiplizieren. Das Ergebnis lautet

\(v  = 50,9 \frac{km}{h}\)

 


 

Den Nenner wurzelfrei machen (Nenner rational machen)

Mathematiker haben es gar nicht gern, wenn im Nenner eines Ausdrucks Wurzeln auftauchen. Manchmal ist es möglich, den Nenner eines Bruchs ohne Wurzel darzustellen. Man kann dafür den Bruch mit dem Nenner erweitern. Bei einem Nenner-Term mit einer Summe kann man mit dem „entgegengesetzten“ Term (Vorzeichen umdrehen) erweitern.

Beispiele:

\(\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}\cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\)

\(\displaystyle \frac{{-2}}{{\sqrt{2}-2}}=\frac{{-2}}{{\sqrt{2}-2}}\cdot \frac{{\sqrt{2}+2}}{{\sqrt{2}+2}}=\frac{{-2\left( {\sqrt{2}+2} \right)}}{{2-4}}=\frac{{-2\left( {\sqrt{2}+2} \right)}}{{-2}}=\sqrt{2}+2\)

Im 2. Beispiel wird im Nenner die Beziehung \(\left( {a+b} \right)\cdot \left( {a-b} \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\) benutzt.

Im Nenner ergibt sich dadurch

\(\left( {\sqrt{2}-2} \right)\cdot \left( {\sqrt{2}+2} \right)={{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{2}}-\underbrace{{2\cdot \sqrt{2}+2\cdot \sqrt{2}}}_{{=\,0}}-{{2}^{2}}=\)

\(\displaystyle ={{\left( {\sqrt{2}} \right)}^{2}}-{{2}^{2}}=2-4=-2\)

Der Trick ist also, mit jenem Term zu erweitern, der das entgegengesetzte Vorzeichen hat.

Beispiel

Mache im folgenden Ausdruck den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich: \(\displaystyle \frac{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}}}{{\sqrt{8}-\sqrt{7}}}=?\)

Lösung

Zunächst sieht es so aus, als könnte man hier gar nichts erreichen. Im Nenner steht eine Differenz zweier Wurzeln.

Man erweitert aber den gegebenen Term mit jenem Nenner, der das entgegengesetzte Vorzeichen hat:

\(\displaystyle \frac{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}}}{{\sqrt{8}-\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}}}{{\sqrt{8}-\sqrt{7}}}\cdot \underbrace{{\frac{{\sqrt{8}\color{red}{{+}} \sqrt{7}}}{{\sqrt{8}\color{red}{{+}} \sqrt{7}}}}}_{{=\ 1}}\)

Nun multipliziert man Zähler · Zähler und Nenner · Nenner aus, wobei man im Nenner weiß, dass \((a-b)\cdot (a+b) = a^2 – b^2\) ist, daher folgt

\(\displaystyle = \frac{{\left( {\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{8}+\sqrt{7}} \right)}}{{{{{\left( {\sqrt{8}} \right)}}^{2}}-{{{\left( {\sqrt{7}} \right)}}^{2}}}}\)

\(\displaystyle = \frac{{\left( {\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{8}+\sqrt{7}} \right)}}{{8-7}}\)

\(\displaystyle =\frac{{\left( {\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{8}+\sqrt{7}} \right)}}{1}\)

\(\displaystyle =\left( {\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{8}+\sqrt{7}} \right)\)

Letztlich ist nur mehr der Zähler des Ausdrucks übriggeblieben! Dieser sollte nun noch ausmultipliziert werden, um zu sehen, ob man eine Vereinfachung erreichen kann.

\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{8}+\sqrt{7}} \right)=\\\sqrt{{24}}\cdot \sqrt{8}+\sqrt{{24}}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{{21}}\cdot \sqrt{8}-\sqrt{{21}}\cdot \sqrt{7}=\\\sqrt{{3\cdot 8}}\cdot \sqrt{8}+\sqrt{{3\cdot 8}}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{{3\cdot 7}}\cdot \sqrt{8}-\sqrt{{3\cdot 7}}\cdot \sqrt{7}\end{array}\)

Es wurde dabei die \(\sqrt{24}\) in \(\sqrt{3\cdot 8}\) und die \(\sqrt{21}\) in \(\sqrt{3\cdot 7}\) jeweils in ein Produkt aufgespalten.

Wenn ein Produkt unter einer Wurzel steht, kann man es getrennt schreiben: (Nicht so bei einer Summe/Differenz!)

\(\sqrt{{3\cdot 8}}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}\)

\(\sqrt{{3\cdot 7}}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}\)

Daher folgt

\(=\sqrt{3}\cdot \underbrace{{\sqrt{8}\cdot \sqrt{8}}}_{{=\ 8}}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{8}-\sqrt{3}\cdot \underbrace{{\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}}_{{=\ 7}}\)

\(\displaystyle =8\cdot \sqrt{3}+\underbrace{{\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}\cdot \sqrt{7}}}_{{=\,0}}-7\cdot \sqrt{3}\)

Zusätzlich fallen auch die mittleren Terme weg, und es bleibt

\(=8\cdot \sqrt{3}-7\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}\)

Die Lösung lautet daher

\(\displaystyle \frac{{\sqrt{{24}}-\sqrt{{21}}}}{{\sqrt{8}-\sqrt{7}}}=\sqrt{3}\)

 

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