Ortskurven

OrtskurveMeistens ist eine Schar ähnlicher Funktionen gegeben, die sich nur durch einen Parameter \(a\) unterscheiden. Jede dieser Funktionen hat „besondere Punkte“, z.B. Hoch- oder Tiefpunkte, oder auch Wendepunkte. Ortskurven sind dann jene Kurven (Funktionen), die die besonderen Punkte der gegebenen Funktionenschar verbinden.

Sehen wir uns z.B. die Kurvenschar \(f(x) = x^2 – ax\) an. Im nebenstehenden Bild wurden für den Parameter \(a\) die Werte 0, 2, 4 und 6 eingesetzt und der jeweilige Graph gezeichnet. Alle Graphen haben einen Scheitel, der hier jeweils ein Tiefpunkt ist. Die Frage ist nun, wo genau diese Tiefpunkte liegen, und gibt es eine allgemeine Funktion, auf der alle diese Tiefpunkte der Kurvenschar liegen? Diese Funktion wäre dann die gesuchte Ortskurve.

Ja, diese Funktion gibt es! Es ist in diesem Fall die gepunktete Parabel, auf der alle Tiefpunkte der Kurvenschar liegen. Wie kommt man aber zur Gleichung dieser Parabel? Besser gesagt, wir wissen ja noch gar nicht, dass es in diesem Fall eine Parabel ist…

OK, zuerst müssen wir uns erinnern, dass ein Tiefpunkt einer Funktion dann vorhanden ist, wenn die 1. Ableitung = 0 wird (und die 2. Ableitung muss >0 sein, damit es sich um einen Tiefpunkt handelt!).

Wir leiten unsere gegebene Funktion ab und setzen diese Ableitung = 0, und daraus berechnen wir \(a\)

\(f(x) = x^2 – ax\)

\(f^{\prime} (x) =2 x – a = 0\,\,|+a \)

\(2x = a\,|:2\)

\(x = \frac{a}{2}\)

Wir wissen nun, dass die x-Werte der Tiefpunkte immer bei \(x=\frac{a}{2}\) liegen. Um die y-Werte zu erhalten, setzen wir diesen x-Wert in die ursprüngliche Funktion \(f(x) = x^2 – ax\) ein.

\(f(\frac{a}{2}) = (\frac{a}{2})^2 – a\cdot (\frac{a}{2}) = \frac{a^2}{4} – \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}\)

Jetzt haben wir alle Tiefpunkte berechnet, sie haben die Koordinaten

\(T(x|y)=(\frac{a}{2}| -\frac{a^2}{4})\)

Nun wollen wir \(y\) als Funktion von \(x\)  darstellen, also \(T(x|g(x))\)

Wir sehen, das wir oben bei der Ableitung \(2x = a\) erhalten haben, und das setzen wir einfach in \(T=(\frac{a}{2}| -\frac{a^2}{4})\) für \(a\) ein

\(T(x|g(x)) = T(\frac{2x}{2}|-\frac{(2x)^2}{4}) = T(x|-\frac{4x^2}{4}) = T(x|-x^2)\)

Unser \(g(x)\) ist also \(-x^2\), das ist die gesuchte Parabel (= die Ortskurve)! Alle Tiefpunkte der Kurvenschar \(f(x) = x^2 – ax\) liegen also auf der Parabel \(g(x) = -x^2\)


Beispiel:
Gegeben sei die Kurvenschar der Funktionen \(f(x) = e^{-a x^2}\)  mit Paramter \(a\).
Berechne die Ortskurve, die für alle \(a \in \mathbb{N}\) die Wendepunkte der Funktionen verbindet!
Lösung

Wendepunkte hat eine Funktion dort, wo die zweite Ableitung = 0 ist. Wir müssen daher 2mal ableiten und dann die Gleichung 0 setzen.

1. Ableitung, Achtung Kettenregel (innere Ableitung nicht vergessen)

\[f'(x) =  – 2ax \cdot {e^{ – a\,{x^2}}}\]

2. Ableitung, Produktregel

\(f^{\prime \prime} (x) = -2 a\cdot e^{-a x^2} + \left( (-2 a x) \cdot (-2 a x)e^{-a x^2} \right)= -2 a e^{-a x^2} + 4a^2x^2 e^{-a x^2}\)

Wendepunkte: 2. Ableitung 0 setzen:

\[f^{\prime \prime} (x) =  – 2a{e^{ – a{x^2}}} + 4{a^2}{x^2}{e^{ – a\,{x^2}}} = 0\quad \quad |:{e^{ – a\,{x^2}}}\]

\(4 a^2 x^2 – 2 a  = 0\quad \quad | : 2a\)

\[2a{x^2} – 1 = 0\]

Parameter \(a\) in Abhängigkeit von \(x\) lautet daher

\(a = \frac{1}{2x^2}\)

Einsetzen von \(a\) in die gegebene Funktion \(e^{-a x^2}\) liefert

\(g(x) = e^{-\frac{1}{2x^2} x^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.6065…\)

Die Ortskurve \(g(x)\) der Wendepunkte ist vom Parameter \(a\) unabhängig (der Parameter kommt gar nicht vor!), ist also eine konstante Zahl. Alle Wendepunkte liegen auf der Funktion
\(g(x) = \frac{1}{\sqrt{e}}\) (waagrechte Gerade)

 

Ortskurve Wendepunkte

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