Nullstellen und Scheitelpunkt

Beispiel:

Gegeben sei die quadratische Funktion \(f(x)=2x^2-3x+1\)

  1. Berechne die Nullstellen dieser Funktion.
  2. Gibt die Koordinaten des Scheitelpunktes \(S\) an.
  3. Zeichne den Graphen der Funktion und beschrifte die Nullstellen und den Scheitelpunkt.
Lösung

1.) Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion erhält man, indem man \(f(x)= 0\) setzt und jene Werte für \(x\) berechnet, bei denen das zutrifft. Mit anderen Worten, man muss die quadratische Gleichung \(f(x)=2x^2-3x+1 = 0\) lösen.

Die allgemeine Form der quadratischen Funktion lautet: \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Allgemein: \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Unsere Gleichung: \(f(x)=2x^2-3x+1\)

Wir vergleichen die Zahlen und schreiben in unserem Fall:

\(a = 2, b = -3, c = 1\)

Nun setzen wir diese Werte in die bekannte „Mitternachtsformel“ ein: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c} }{2a}\)

\(x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(2\cdot 1)} }{2\cdot2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 8} }{4} = \frac{3 \pm \sqrt{1} }{4} = \frac{3 \pm 1 }{4}\)

\(x_1 =  \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

\(x_2 =  \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Nullstellen sind also \(N_1 = (1|0)\) und \(N_2 = (\frac{1}{2}|0)\)

2.) Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \(S = \left( \frac{-b}{2a} | c – \frac{b^2}{4a} \right)\)

Wir setzen für a, b, c unsere Werte ein und erhalten

\(S = \left( \frac{-(-3)}{2\cdot2} | 1 – \frac{(-3)^2}{4\cdot2} \right) = \left( \frac{3}{4} | 1 – \frac{9}{8} \right) = \left( \frac{3}{4} | -\frac{1}{8} \right)\)

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S = \left( \frac{3}{4} | -\frac{1}{8} \right)\)

3.) Graph der Funktion

f(x)=2x^2-3x+1

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