Gerade in der Ebene

Darstellungsmöglichkeiten von Geraden in \(\mathbb{R}^2\)

Es gibt im Prinzip drei Möglichkeiten, eine Gerade in der Ebene zu beschreiben.

  • Die explizite Form, z.B. \(y=\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}\)
  • Die implizite Form, z.B. \(-x+3y=11\)
  • Die Parameterform, z.B. \(g:X=\left( \begin{array}{} 1   \\  4 \end{array} \right)+t\cdot \left( \begin{array}{} 3 \\  1 \end{array}\right)\)

Alle drei Formen beschreiben hier dieselbe Gerade. Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, die Normalenform, dazu später.

Die „altbekannte“ Geradengleichung (explizite Form)

Die altbekannte Geradengleichung in der Ebene \(\mathbb{R}^2\) lautet

\(y = k\cdot x+d\)

Dabei sind \(k\) und \(d\) konstante reelle Zahlen, \(k\) ist die Steigung der Geraden und \(d\) der \(y-\)Achsenabschnitt, also wo die Gerade die \(y-\)Achse schneidet. Sowohl \(k\) als auch \(d\) können dabei positiv oder negativ sein.

  • \(k>0\): Die Gerade ist steigend, d.h. mit größeren \(x-\)Werten nehmen auch die \(y-\)Werte zu.
  • \(k<0\): Die Gerade ist fallend, d.h. mit größeren \(x-\)Werten nehmen die \(y-\)Werte ab.
  • \(d>0\): Die Gerade schneidet die \(y-\)Achse im positiven Bereich, d.h. oberhalb der \(x-\)Achse.
  • \(d<0\): Die Gerade schneidet die \(y-\)Achse im negativen Bereich, d.h. unterhalb der \(x-\)Achse.

Man nennt diese Darstellung auch die explizite Form, d.h. es steht das \(y\) alleine auf der linken Seite der Geradengleichung. Für jedes eingesetzte \(x\) erhält man ein zugeordnetes \(y\).

Sonderformen:

  • Für \(k=0\) erhält man \(y = 0\cdot x+d\), also \(y = d\). Die Gerade hat die Steigung 0, ist also parallel zur \(x-\)Achse.
  • Für \(d=0\) erhält man \(y = k\cdot x+0\), also \(y = k\cdot x\). Die Gerade schneidet die hat die \(y-\)Achse im Ursprung.
  • Für \(k=0,\;d=0\) erhält man \(y = 0\cdot x+0\), also \(y = 0\). Die Gerade ist mit der \(x-\)Achse ident.

Wir wollen uns aber hier zunnächst mit der vektoriellen Darstellung (Parameterform) von Geraden beschäftigen und nicht mit der expliziten Form.

Parameterform von Geraden

Man kann eine Gerade in \(\mathbb{R}^2\) auch wie folgt beschreiben. Man nimmt einen Punkt \(P=\left( \begin{array}{} p_x   \\  p_y \end{array} \right)\) und einen Richtungsvektor \(\vec{u}=\left( \begin{array}{} u_x   \\  u_y \end{array} \right)\) und schreibt für die Gerade

\(g:X=\left( \begin{array}{} p_x   \\  p_y \end{array} \right)+t\cdot \left( \begin{array}{} u_x   \\  u_y \end{array}\right)\)

Die Gerade geht dann durch den Punkt \(P\) und ist parallel zum Richtungsvektor \(\vec{u}\). Man nennt \(t\) den Parameter, eine beliebige reelle Zahl. Damit kann man jeden Punkt der Geraden beschreiben, je nachdem, was man für \(t\) wählt. So kann man durch die Wahl des Parameters \(t\) die gesamte Gerade durchlaufen und jeden Punkt erreichen.

Geogebra Applet zum Testen

Im folgenden Applet kann ein Punkt \(P\) und ein Richtungsvektor \(\vec{u}\) festgelegt werden. Durch die Wahl des Parameters \(t\) läuft dann der Punkt \(Q\) die Gerade ab.

Gerade in der Ebene (Popup-Fenster)

Umrechnung implizite Form auf Parameterform

Um von einer gegebenen impliziten Geradengleichung auf die Parameterform umzurechnen, kann man wie folgt vorgehen.\(\definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \) \(\definecolor{green}{RGB}{0,153,0} \)

Man setzt für \(x = t\), also ausführlich geschrieben

\(\color{red}{x=0+1\cdot t}\)

Dies setzt man in die gegebene implizite Gleichung ein und berechnet \(y\). Als Beispiel nehmen wir die oben angegebene Gleichung

\(-x+3y=11\)

Es ist dann mit \(x=t\)

\(\displaystyle \begin{align}{}-t+3y&=11\\3y&=11+1\cdot t\\ \color{green}{y}&=\color{green}{\frac{11}{3}+\frac{1}{3}\cdot t} \end{align}\)

Schreibt man nun die Ergebnisse für \(x\) und \(y\) in Vektorform an, erhält man

\(\left( \begin{array}{} \color{red}{x} \\ \color{green}{y} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{} \color{red}{0}\\ \color{green}{\frac{11}{3}} \end{array} \right)+t\cdot \left( \begin{array}{} \color{red}{1}\\ \color{green}{\frac{1}{3}} \end{array}\right)\)

Die gesuchte Parameterform der Geraden lautet damit

\(g:X=\left( \begin{array}{} 0\\ \frac{11}{3} \end{array} \right)+t\cdot \left( \begin{array}{} 1\\ \frac{1}{3} \end{array}\right)\)

Umrechnung Parameterform auf implizite Form

Im umgekehrten Fall schreibt man die Parameterform als Gleichungen für \(x\) und \(y\) an und versucht dann, den Parameter \(t\) zu eliminieren:

Zum Beispiel:

\(\displaystyle g:X=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ {-4} \end{array}} \right)+t\cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 3 \end{array}} \right)\)

Die obere Zeile liefert \(\displaystyle x=2+6\cdot t\)

Die untere Zeile liefert \(\displaystyle y=-4+3\cdot t\)

Durch Multiplikation der unteren Zeile mit \(-2\) erhält man

\(\displaystyle \begin{align}{}x&=2+6\cdot t\\-2y&=8-6\cdot t\end{align}\)

Nun können die Zeilen addiert werden, wobei der Parameter \(t\) verschwindet und man erhält die

Implizite Form: \(\displaystyle x-2y=10\)

Die explizite Form erhält man daraus, indem man einfach nach \(y\) umstellt:

\(\displaystyle \begin{align}{}x-2y&=10\\-2y&=-x+10\quad \quad |\cdot (-1)\\2y&=x-10\quad \quad \quad |:2\\y&=\frac{1}{2}x-5\end{align}\)

Beispiel

Gegeben sei die Gerade \(\displaystyle g:X=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \end{array}} \right)+t\cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 3 \end{array}} \right)\).

Berechne die implizite bzw. explizite Geradengleichung!

Lösung

Wir schreiben die beiden Zeilen als

\(\displaystyle \begin{array}{l}x=4-1\;t\\y=2+3\;t\end{array}\)

Durch Multiplikation der ersten Zeile mit \(3\) ergibt sich

\(\displaystyle \begin{array}{l}3x=12-3t\\y=2+3t\end{array}\)

Nun addiert man die beiden Zeilen und erhält die implizite Form mit

\(\displaystyle 3x+y=14\)

Nach Umstellung ergibt sich die explizite Form zu

\(\displaystyle y=-3x+14\)

Die Steigung der Geraden ist also \(-3\), also eine fallende Gerade, ihr Schnittpunkt mit der \(y-\)Achse ist bei \(y=14\), also im Punkt \(\left(0|14 \right)\)

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